Quy ước kí hiệu: $a \vdots b$ đọc là “$a$ chia hết cho $b$”; $a \not\vdots b$ đọc là “$a$ không chia hết cho $b$”.

1. Số nguyên tố và hợp số

Hoạt động 1 (trang 38)

Đề bài: Tìm các ước và số ước của các số trong Bảng 2.1 (các số $2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11$).

Lời giải:

Với mỗi số, ta lần lượt chia cho các số tự nhiên từ $1$ đến chính nó để tìm ước.

Hoạt động 2 (trang 38)

Đề bài: Hãy chia các số trong Bảng 2.1 thành hai nhóm: nhóm $A$ gồm các số chỉ có hai ước, nhóm $B$ gồm các số có nhiều hơn hai ước.

Lời giải:

Dựa vào cột “Số ước” ở Hoạt động 1:

• Nhóm $A$ (chỉ có hai ước): $2;\ 3;\ 5;\ 7;\ 11$.
• Nhóm $B$ (có nhiều hơn hai ước): $4;\ 6;\ 8;\ 9;\ 10$.

Hoạt động 3 (trang 38)

Đề bài:

a) Số $1$ có bao nhiêu ước?

b) Số $0$ có chia hết cho $2; 5; 7; 2\ 017; 2\ 018$ không? Em có nhận xét gì về số ước của $0$?

Lời giải:

a) Số $1$ chỉ chia hết cho chính nó, nên số $1$ chỉ có một ước (là số $1$).

b) Ta nhớ: $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên khác $0$ (vì $0 = 0 \cdot b$ với mọi $b$). Do đó:

$$0 \vdots 2;\quad 0 \vdots 5;\quad 0 \vdots 7;\quad 0 \vdots 2\ 017;\quad 0 \vdots 2\ 018$$

Nói cách khác, mọi số tự nhiên khác $0$ đều là ước của $0$. Vì có vô số số như vậy, nên số $0$ có vô số ước.

Ghi nhớ: Vì số $0$ và số $1$ không có đúng hai ước, nên chúng không phải số nguyên tố và cũng không phải hợp số.

Luyện tập 1 (trang 39)

Đề bài: Em hãy tìm “nhà” thích hợp cho các số trong Bảng 2.1 (nhà “Số nguyên tố” hoặc nhà “Hợp số”).

Lời giải:

• Số nguyên tố là số chỉ có hai ước (1 và chính nó), tức nhóm $A$.
• Hợp số là số có nhiều hơn hai ước, tức nhóm $B$.

Vậy:

• Nhà Số nguyên tố: $2;\ 3;\ 5;\ 7;\ 11$.
• Nhà Hợp số: $4;\ 6;\ 8;\ 9;\ 10$.

Luyện tập 2 (trang 39)

Đề bài: Trong các số cho dưới đây, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số? Vì sao?

a) $1\ 930$; $\qquad$ b) $23$.

Lời giải:

a) Số $1\ 930$ có chữ số tận cùng là $0$ nên $1\ 930 \vdots 2$ (và cũng $\vdots 5$). Như vậy, ngoài hai ước là $1$ và $1\ 930$, số này còn có thêm ước là $2$. Vì có nhiều hơn hai ước nên $1\ 930$ là hợp số.

b) Số $23$ chỉ có hai ước là $1$ và $23$ (kiểm tra: $23$ không chia hết cho $2; 3; 5$…). Vì chỉ có đúng hai ước nên $23$ là số nguyên tố.

Thử thách nhỏ (trang 39)

Đề bài: Bạn Hà đang ở một ô, cần tìm đường đến phòng chiếu phim. Biết rằng chỉ có thể đi từ một ô sang ô chung cạnh có chứa số nguyên tố. Em hãy giúp Hà đến được phòng chiếu phim nhé.

Lời giải:

Hà chỉ được bước vào ô chứa số nguyên tố. Vậy ta xét từng số trong các ô, dùng dấu hiệu chia hết để loại nhanh các hợp số:

Các ô chứa số nguyên tố (đi được):

$$43;\ 89;\ 251;\ 29;\ 31;\ 41;\ 73;\ 23;\ 17;\ 13;\ 11;\ 71;\ 7;\ 19;\ 5;\ 53;\ 37$$

Các ô chứa hợp số (không đi được): $2\ 000$ (chẵn); $135$ (tận cùng $5$); $105$ ($\vdots 5$); $111$ (tổng chữ số $\vdots 3$); $104$ (chẵn); $57$ ($\vdots 3$); $423$ ($\vdots 3$); $1\ 945$ (tận cùng $5$); $62$ (chẵn); $102$ (chẵn); $81$ ($\vdots 3$); $35$ ($\vdots 5$); $1\ 954$ (chẵn); $51$ ($\vdots 3$); $63$ ($\vdots 3$); $2\ 018$ (chẵn); $1\ 975$ (tận cùng $5$).

Dựa vào danh sách “đi được” ở trên, em hãy chọn đường nối các ô số nguyên tố liền cạnh nhau từ chỗ Hà đến phòng chiếu phim.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Câu hỏi (trang 40)

Đề bài: Bạn Việt phân tích số $60$ ra thừa số nguyên tố và cho kết quả $60 = 3 \cdot 4 \cdot 5$. Kết quả của Việt đúng hay sai? Nếu sai, em hãy sửa lại cho đúng.

Lời giải:

Kết quả của Việt sai, vì trong tích $3 \cdot 4 \cdot 5$ có thừa số $4$ không phải là số nguyên tố ($4 = 2 \cdot 2$).

Ta phân tích lại: $60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Viết gọn dưới dạng lũy thừa:

$$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$

Tranh luận (trang 40)

Đề bài: Bạn nào đúng? Một bạn nói “Số $7$ không phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố”, bạn kia nói “Phân tích ra thừa số nguyên tố của số $7$ là $7$”.

Lời giải:

Bạn nói “phân tích ra thừa số nguyên tố của $7$ là $7$” là đúng.

Lí do: theo quy ước, dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố chính là bản thân số đó. Vì $7$ là số nguyên tố nên phân tích của $7$ là $7$.

Vậy bạn nói “$7$ không phân tích được” là sai.

Câu hỏi (trang 40) – Sơ đồ cây phân tích số 18

Đề bài: Tìm các số còn thiếu trong phân tích số $18$ ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây ở Hình 2.3.

Lời giải:

Ta tách $18$ thành tích hai thừa số, rồi tiếp tục tách cho đến khi tất cả là số nguyên tố:

$$18 = 3 \times 6, \qquad \text{mà } 6 = 2 \times 3$$

Vậy hai số còn thiếu là $6$ (ở nhánh trên) và $3$ (ở nhánh dưới). Kết quả:

$$18 = 3 \times 2 \times 3 = 2 \cdot 3^2$$

Câu hỏi (trang 41) – Sơ đồ cột phân tích số 30

Đề bài: Tìm các số còn thiếu trong phân tích số $30$ ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột.

Lời giải:

Ta lần lượt chia $30$ cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn cho đến khi thương bằng $1$:

$$30 \xrightarrow{\ :2\ } 15 \xrightarrow{\ :3\ } 5 \xrightarrow{\ :5\ } 1$$

Vậy hai số còn thiếu ở cột bên trái là $15$, và thừa số nguyên tố còn thiếu ở cột bên phải là $5$. Kết quả:

$$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$$

Luyện tập 3 (trang 41)

Đề bài: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột:

a) $36$; $\qquad$ b) $105$.

Lời giải:

a) Ta lần lượt chia $36$ cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn:

$$36 \xrightarrow{\ :2\ } 18 \xrightarrow{\ :2\ } 9 \xrightarrow{\ :3\ } 3 \xrightarrow{\ :3\ } 1$$

Vậy: $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$.

b) Ta lần lượt chia $105$ (số lẻ, không chia hết cho $2$; bắt đầu thử với $3$):

$$105 \xrightarrow{\ :3\ } 35 \xrightarrow{\ :5\ } 7 \xrightarrow{\ :7\ } 1$$

Vậy: $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Bài tập (trang 41 – 42)

Bài 2.17 (trang 41)

Đề bài: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: $70;\ 115$.

Lời giải:

Số $70$:

$$70 \xrightarrow{\ :2\ } 35 \xrightarrow{\ :5\ } 7 \xrightarrow{\ :7\ } 1$$

Vậy: $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

Số $115$: ($115$ tận cùng là $5$ nên chia hết cho $5$)

$$115 \xrightarrow{\ :5\ } 23 \xrightarrow{\ :23\ } 1$$

Vậy: $115 = 5 \cdot 23$.

Bài 2.18 (trang 41)

Đề bài: Kết quả phân tích các số $120;\ 102$ ra thừa số nguyên tố của bạn Nam như sau:

$$120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5; \qquad 102 = 2 \cdot 51$$

Theo em, kết quả của Nam đúng hay sai? Nếu sai, em hãy sửa lại cho đúng.

Lời giải:

Cả hai kết quả đều sai, vì còn chứa thừa số chưa phải là số nguyên tố.

Với số $120$: thừa số $4$ không phải số nguyên tố ($4 = 2 \cdot 2$). Phân tích lại:

$$120 \xrightarrow{\ :2\ } 60 \xrightarrow{\ :2\ } 30 \xrightarrow{\ :2\ } 15 \xrightarrow{\ :3\ } 5 \xrightarrow{\ :5\ } 1$$

Vậy $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.

Với số $102$: thừa số $51$ không phải số nguyên tố ($51 = 3 \cdot 17$). Phân tích lại:

$$102 \xrightarrow{\ :2\ } 51 \xrightarrow{\ :3\ } 17 \xrightarrow{\ :17\ } 1$$

Vậy $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$.

Bài 2.19 (trang 41)

Đề bài: Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) Ước nguyên tố của $30$ là $5$ và $6$;

b) Tích của hai số nguyên tố bất kì luôn là số lẻ;

c) Ước nguyên tố nhỏ nhất của số chẵn là $2$;

d) Mọi bội của $3$ đều là hợp số;

e) Mọi số chẵn đều là hợp số.

Lời giải:

a) Sai. Vì $6$ không phải là số nguyên tố ($6 = 2 \cdot 3$). Phân tích $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, nên các ước nguyên tố của $30$ là $2;\ 3;\ 5$.

b) Sai. Vì nếu một trong hai số nguyên tố là $2$ thì tích sẽ là số chẵn. Ví dụ $2 \cdot 3 = 6$ là số chẵn.

c) Đúng. Số chẵn luôn chia hết cho $2$, mà $2$ là số nguyên tố nhỏ nhất, nên ước nguyên tố nhỏ nhất của một số chẵn luôn là $2$.

d) Sai. Vì $3$ là bội của $3$ nhưng $3$ là số nguyên tố, không phải hợp số.

e) Sai. Vì $2$ là số chẵn nhưng $2$ là số nguyên tố, không phải hợp số.

Bài 2.20 (trang 42)

Đề bài: Kiểm tra xem các số sau là số nguyên tố hay hợp số bằng cách dùng dấu hiệu chia hết hoặc tra bảng số nguyên tố: $89;\ 97;\ 125;\ 541;\ 2\ 013;\ 2\ 018$.

Lời giải:

Ta dùng dấu hiệu chia hết để loại bớt các hợp số, các số còn lại thì tra bảng số nguyên tố.

• $125$: tận cùng là $5$ nên $125 \vdots 5$. Ngoài $1$ và $125$ còn có ước $5$ $\Rightarrow$ hợp số.
• $2\ 013$: tổng các chữ số $2 + 0 + 1 + 3 = 6 \vdots 3$ nên $2\ 013 \vdots 3$ $\Rightarrow$ hợp số.
• $2\ 018$: tận cùng là $8$ (chẵn) nên $2\ 018 \vdots 2$ $\Rightarrow$ hợp số.
• $89$: không chia hết cho $2; 3; 5; 7$; tra bảng số nguyên tố thấy $89$ có trong bảng $\Rightarrow$ số nguyên tố.
• $97$: không chia hết cho $2; 3; 5; 7$; tra bảng số nguyên tố thấy $97$ có trong bảng $\Rightarrow$ số nguyên tố.
• $541$: không chia hết cho $2; 3; 5; 7; 11; 13; \ldots$; tra bảng số nguyên tố thấy $541$ có trong bảng $\Rightarrow$ số nguyên tố.

Vậy: số nguyên tố là $89;\ 97;\ 541$; hợp số là $125;\ 2\ 013;\ 2\ 018$.

Bài 2.21 (trang 42)

Đề bài: Hãy phân tích $A$ ra thừa số nguyên tố: $A = 4^4 \cdot 9^5$.

Lời giải:

Ta phân tích từng thừa số về dạng lũy thừa của số nguyên tố.

• $4 = 2 \cdot 2$, nên $4^4 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)$. Đếm có $8$ thừa số $2$, vậy $4^4 = 2^8$.
• $9 = 3 \cdot 3$, nên $9^5 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3)$. Đếm có $10$ thừa số $3$, vậy $9^5 = 3^{10}$.

Do đó:

$$A = 4^4 \cdot 9^5 = 2^8 \cdot 3^{10}$$

Bài 2.22 (trang 42)

Đề bài: Tìm các số còn thiếu trong các sơ đồ phân tích một số ra thừa số nguyên tố sau:

a) Sơ đồ cột (phân tích số $210$);

b) Sơ đồ cây.

Lời giải:

a) Sơ đồ cột: ta lần lượt chia $210$ cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn:

$$210 \xrightarrow{\ :2\ } 105 \xrightarrow{\ :3\ } 35 \xrightarrow{\ :5\ } 7 \xrightarrow{\ :7\ } 1$$

Vậy các số còn thiếu là $105$ (cột trái), $5$ và $7$ (cột phải). Kết quả:

$$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$$

b) Sơ đồ cây: ta lần lượt tách các nhánh:

• Nhánh nhỏ nhất: $5 \times 7 = 35$.
• Nhánh trên nó: $3 \times 35 = 105$.
• Nhánh $6 = 2 \times 3$.
• Số ở đỉnh: $6 \times 105 = 630$.

Vậy các số còn thiếu là $35;\ 105$ và $630$ (ở đỉnh). Kết quả:

$$630 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$$

Bài 2.23 (trang 42)

Đề bài: Một lớp có $30$ học sinh. Cô giáo muốn chia lớp thành các nhóm để thực hiện các dự án học tập nhỏ. Biết rằng các nhóm đều có số người bằng nhau và có nhiều hơn $1$ người trong mỗi nhóm. Hỏi mỗi nhóm có thể có bao nhiêu người?

Lời giải:

Vì các nhóm có số người bằng nhau, nên số người mỗi nhóm phải là ước của $30$.

Phân tích $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, ta liệt kê các ước:

$$Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}$$

Đề yêu cầu mỗi nhóm có nhiều hơn $1$ người (loại $1$), và chia lớp thành các nhóm nên phải có từ $2$ nhóm trở lên (loại $30$ — vì $30$ người mỗi nhóm thì chỉ có một nhóm).

Vậy mỗi nhóm có thể có: $2;\ 3;\ 5;\ 6;\ 10$ hoặc $15$ người.

Bài 2.24 (trang 42)

Đề bài: Trong nghi lễ thượng cờ lúc $6$ giờ sáng và hạ cờ lúc $21$ giờ hằng ngày ở Quảng trường Ba Đình, đội tiêu binh có $34$ người gồm $1$ sĩ quan chỉ huy đứng đầu và $33$ chiến sĩ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp $33$ chiến sĩ thành các hàng sao cho mỗi hàng có số người như nhau?

Lời giải:

Vì mỗi hàng có số người bằng nhau, nên số người mỗi hàng phải là ước của $33$.

Phân tích $33 = 3 \cdot 11$, ta có các ước:

$$Ư(33) = {1; 3; 11; 33}$$

Mỗi ước cho ta một cách sắp xếp:

• Mỗi hàng $1$ người $\Rightarrow$ có $33$ hàng;
• Mỗi hàng $3$ người $\Rightarrow$ có $11$ hàng;
• Mỗi hàng $11$ người $\Rightarrow$ có $3$ hàng;
• Mỗi hàng $33$ người $\Rightarrow$ có $1$ hàng.

Vậy có tất cả $4$ cách sắp xếp $33$ chiến sĩ thành các hàng có số người như nhau.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du