1. Điểm nằm giữa hai điểm

Hoạt động (trang 48)

Đề bài: Em hãy quan sát hình ảnh bên. Em có nhận xét gì về vị trí của ngọn nến, quả lắc và bóng của quả lắc ở trên tường?

Lời giải:

Ánh sáng từ ngọn nến đi theo đường thẳng. Quả lắc chắn ánh sáng nên tạo ra bóng của nó trên tường. Vì vậy ngọn nến, quả lắc và bóng của quả lắc trên tường cùng nằm trên một đường thẳng.

Trên đường thẳng đó, quả lắc nằm giữa ngọn nến và bóng của quả lắc (ngọn nến ở một phía, bóng ở phía bên kia so với quả lắc).

Câu hỏi 1 (trang 48)

Đề bài: Em hãy quan sát Hình 8.15 và cho biết:

a) Điểm $D$ nằm giữa hai điểm nào?

b) Hai điểm nào nằm cùng phía đối với điểm $B$?

c) Hai điểm nào nằm khác phía đối với điểm $E$?

Lời giải:

Quan sát Hình 8.15: ba điểm $B$, $D$, $C$ cùng nằm trên đường thẳng phía dưới (theo thứ tự $B – D – C$); ba điểm $A$, $E$, $D$ cùng nằm trên một đường thẳng (theo thứ tự $A – E – D$).

a) Trên đường thẳng phía dưới, thứ tự là $B – D – C$, nên điểm $D$ ở giữa.

Vậy điểm $D$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$.

b) Trên đường thẳng $B – D – C$, xét đối với điểm $B$: cả $D$ và $C$ đều ở về một phía (cùng bên phải $B$).

Vậy hai điểm $D$ và $C$ nằm cùng phía đối với điểm $B$.

c) Trên đường thẳng $A – E – D$, xét đối với điểm $E$: điểm $A$ ở một phía, điểm $D$ ở phía bên kia.

Vậy hai điểm $A$ và $D$ nằm khác phía đối với điểm $E$.

Luyện tập 1 (trang 49)

Đề bài: Cho hai điểm phân biệt $A$, $B$ như Hình 8.16. Em hãy lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho:

– Điểm $C$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$;

– Điểm $C$ và điểm $D$ nằm khác phía đối với điểm $B$.

Khi đó điểm $A$ và điểm $B$ có nằm cùng phía đối với điểm $D$ không?

Lời giải:

Ta lần lượt đặt các điểm lên đường thẳng:

Vì $C$ nằm giữa $A$ và $B$, ta có thứ tự $A – C – B$.

Vì $C$ và $D$ nằm khác phía đối với $B$ (mà $C$ ở bên trái $B$), nên $D$ phải ở bên phải $B$. Do đó thứ tự bốn điểm là: $A – C – B – D$.

Bây giờ xét đối với điểm $D$ (ở ngoài cùng bên phải): cả $A$ và $B$ đều ở về phía bên trái của $D$.

Vậy điểm $A$ và điểm $B$ nằm cùng phía đối với điểm $D$.

Vận dụng (trang 49)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$ như Hình 8.17. Em hãy xác định một điểm vừa nằm giữa hai điểm $A$ và $C$, vừa nằm giữa hai điểm $B$ và $D$.

Lời giải:

Ta vẽ hai đường chéo của hình bình hành: đường chéo $AC$ (nối $A$ với $C$) và đường chéo $BD$ (nối $B$ với $D$). Hai đường chéo này cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm đó là $O$.

Vì $O$ nằm trên đường chéo $AC$ và ở khoảng giữa nên $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.

Vì $O$ nằm trên đường chéo $BD$ và ở khoảng giữa nên $O$ nằm giữa hai điểm $B$ và $D$.

Vậy điểm cần tìm là $O$ — giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

2. Tia

Câu hỏi 2 (trang 49)

Đề bài: Quan sát Hình 8.19.

a) Em hãy đọc tên các tia trong hình vẽ.

b) Với mỗi tia ở câu a, tìm tia đối của chúng.

Lời giải:

Quan sát Hình 8.19: trên đường thẳng $xy$ có hai điểm $A$ và $B$. Mỗi điểm chia đường thẳng thành hai tia.

a) Các tia trong hình:

Hai tia gốc $A$: tia $Ax$ và tia $Ay$.

Hai tia gốc $B$: tia $Bx$ và tia $By$.

b) Tìm tia đối (hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và tạo thành một đường thẳng):

Tia đối của tia $Ax$ là tia $Ay$ (và ngược lại).

Tia đối của tia $Bx$ là tia $By$ (và ngược lại).

Luyện tập 2 (trang 49)

Đề bài: Quan sát Hình 8.20.

a) Em hãy đọc tên các tia trong hình.

b) Nếu điểm $M$ nằm trên tia đối của tia $AB$ thì $M$ có thuộc tia $BA$ không?

Lời giải:

a) Quan sát Hình 8.20 có ba điểm $A$, $B$, $C$. Ta đọc tên các tia theo từng gốc:

Hai tia gốc $A$: tia $AB$ và tia $AC$.

Hai tia gốc $B$: tia $BA$ và tia $BC$.

Hai tia gốc $C$: tia $CA$ và tia $CB$.

Vậy trong hình có $6$ tia: $AB$, $AC$, $BA$, $BC$, $CA$, $CB$.

b) Tia đối của tia $AB$ là tia gốc $A$ đi ngược hướng với $B$ (tức là phần kéo dài ra phía bên kia của $A$ so với $B$). Điểm $M$ nằm trên tia đối này, nghĩa là $M$ nằm khác phía với $B$ so với $A$.

Mặt khác, tia $BA$ có gốc $B$, đi qua $A$ rồi kéo dài tiếp về phía sau $A$. Vì $M$ nằm ở phía sau $A$ (xa $B$) nên $M$ vẫn nằm trên phần kéo dài của tia $BA$.

Vậy điểm $M$ có thuộc tia $BA$.

Thử thách nhỏ (trang 49)

Đề bài: Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Hình gồm điểm $A$ và tất cả các điểm nằm khác phía với điểm $B$ đối với điểm $A$ có phải là một tia không? Tia đó có phải là tia đối của tia $AB$ không?

Lời giải:

“Tất cả các điểm nằm khác phía với $B$ đối với $A$” chính là tất cả các điểm nằm về phía ngược lại với $B$, tính từ điểm $A$. Phần này, cùng với điểm $A$ làm gốc, tạo thành một tia gốc $A$.

Vậy hình đó là một tia (tia gốc $A$, đi về phía ngược với $B$).

Tia này có gốc $A$ và đi ngược hướng với $B$, đúng bằng tia đối của tia $AB$ (vì tia $AB$ có gốc $A$ và hướng về phía $B$).

Vậy tia đó chính là tia đối của tia $AB$.

Bài tập (trang 50)

Bài 8.6 (trang 50)

Đề bài: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc đường thẳng $xy$ như Hình 8.21. Trong các câu sau đây, câu nào đúng?

❶ Điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $D$.

❷ Hai điểm $A$ và $C$ nằm cùng phía đối với điểm $D$.

❸ Điểm $B$ nằm khác phía với điểm $A$ đối với điểm $D$.

❹ Hai điểm $B$ và $C$ nằm cùng phía đối với điểm $D$.

Lời giải:

Quan sát Hình 8.21, thứ tự các điểm trên đường thẳng (từ trái sang phải) là: $A – C – B – D$.

❶ Trong thứ tự $A – C – B – D$, điểm $B$ nằm giữa $A$ và $D$ (vì $B$ ở bên phải $A$ và bên trái $D$). Câu này đúng.

❷ Điểm $D$ ở ngoài cùng bên phải; cả $A$ và $C$ đều ở bên trái $D$, tức cùng một phía. Câu này đúng.

❸ Cả $A$ và $B$ đều ở bên trái $D$, tức cùng phía đối với $D$ — không phải khác phía. Câu này sai.

❹ Cả $B$ và $C$ đều ở bên trái $D$, tức cùng phía đối với $D$. Câu này đúng.

Vậy các câu đúng là ❶, ❷ và ❹.

Bài 8.7 (trang 50)

Đề bài: Quan sát Hình 8.22 và cho biết:

a) Có tất cả bao nhiêu tia? Nêu tên các tia đó.

b) Điểm $B$ nằm trên các tia nào? Tia đối của chúng là tia nào?

c) Tia $AC$ và tia $CA$ có phải là hai tia đối nhau không?

Lời giải:

Quan sát Hình 8.22: trên đường thẳng $xy$ có ba điểm theo thứ tự $A – B – C$.

a) Mỗi điểm là gốc của hai tia. Ta có:

Hai tia gốc $A$: tia $Ax$ và tia $Ay$.

Hai tia gốc $B$: tia $Bx$ và tia $By$.

Hai tia gốc $C$: tia $Cx$ và tia $Cy$.

Vậy có tất cả $6$ tia: $Ax$, $Ay$, $Bx$, $By$, $Cx$, $Cy$.

b) Ta xét xem điểm $B$ nằm trên những tia nào (tức những tia chứa điểm $B$):

Tia $Ay$ (gốc $A$, đi về phía $y$): vì $B$ ở bên phải $A$ nên $B$ nằm trên tia $Ay$.

Tia $Bx$ và tia $By$ (gốc $B$): $B$ là gốc nên đương nhiên nằm trên hai tia này.

Tia $Cx$ (gốc $C$, đi về phía $x$): vì $B$ ở bên trái $C$ nên $B$ nằm trên tia $Cx$.

Vậy $B$ nằm trên các tia: $Ay$, $Bx$, $By$, $Cx$. Tia đối của chúng lần lượt là:

Tia đối của tia $Ay$ là tia $Ax$.

Tia đối của tia $Bx$ là tia $By$; tia đối của tia $By$ là tia $Bx$.

Tia đối của tia $Cx$ là tia $Cy$.

c) Tia $AC$ có gốc là $A$; tia $CA$ có gốc là $C$. Hai tia đối nhau bắt buộc phải chung một gốc, nhưng hai tia này có gốc khác nhau.

Vậy tia $AC$ và tia $CA$ không phải là hai tia đối nhau.

Bài 8.8 (trang 50)

Đề bài: Cho điểm $C$ nằm trên tia $Ax$, điểm $B$ nằm trên tia $Cx$. Biết rằng ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt. Trong các câu sau đây, câu nào đúng?

❶ Điểm $A$ nằm trên tia $BC$.

❷ Điểm $C$ vừa nằm trên tia $AB$ vừa nằm trên tia $BA$.

❸ Tia $CB$ và tia $BC$ là hai tia đối nhau.

❹ Tia $CA$ và tia $Cx$ là hai tia đối nhau.

Lời giải:

Trước hết, ta xác định thứ tự ba điểm trên đường thẳng:

Điểm $C$ nằm trên tia $Ax$ → $C$ nằm về phía $x$ tính từ $A$.

Điểm $B$ nằm trên tia $Cx$ → $B$ nằm về phía $x$ tính từ $C$.

Do đó thứ tự ba điểm là: $A – C – B$ (đi theo hướng $x$).

❶ Tia $BC$ có gốc $B$, đi qua $C$ rồi kéo dài tiếp về phía $A$. Vì thứ tự là $A – C – B$, nên $A$ nằm trên phần kéo dài đó. Vậy $A$ nằm trên tia $BC$. Câu này đúng.

❷ Trong thứ tự $A – C – B$, điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$, nên $C$ vừa thuộc tia $AB$ (gốc $A$, đi qua $B$) vừa thuộc tia $BA$ (gốc $B$, đi qua $A$). Câu này đúng.

❸ Tia $CB$ có gốc $C$; tia $BC$ có gốc $B$. Hai tia khác gốc nên không thể là hai tia đối nhau. Câu này sai.

❹ Tia $CA$ (gốc $C$, hướng về phía $A$) và tia $Cx$ (gốc $C$, hướng về phía $x$, tức về phía $B$) cùng gốc $C$ và đi về hai hướng ngược nhau, tạo thành một đường thẳng. Vậy chúng là hai tia đối nhau. Câu này đúng.

Vậy các câu đúng là ❶, ❷ và ❹.

Bài 8.9 (trang 50)

Đề bài: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

a) Em hãy viết tên các tia chứa hai trong ba điểm $A$, $B$, $C$.

b) Trong các tia đó, tìm hai tia khác gốc có đúng một điểm chung.

Lời giải:

a) Với mỗi cặp điểm, ta được hai tia (mỗi điểm làm gốc một tia). Xét ba cặp $(A, B)$, $(A, C)$, $(B, C)$:

Cặp $A$ và $B$: tia $AB$ và tia $BA$.

Cặp $A$ và $C$: tia $AC$ và tia $CA$.

Cặp $B$ và $C$: tia $BC$ và tia $CB$.

Vậy có $6$ tia: $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$, $CB$.

b) Vì ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng nên hai tia nằm trên hai đường thẳng khác nhau chỉ có thể gặp nhau tại đúng một điểm (chính là điểm chung của hai đường thẳng đó). Ta chọn các cặp tia khác gốc đi qua cùng một điểm, chẳng hạn:

Tia $AB$ (gốc $A$) và tia $CB$ (gốc $C$) có đúng một điểm chung là $B$.

Tia $BA$ (gốc $B$) và tia $CA$ (gốc $C$) có đúng một điểm chung là $A$.

Tia $AC$ (gốc $A$) và tia $BC$ (gốc $B$) có đúng một điểm chung là $C$.

(Các em chỉ cần nêu một cặp là đủ, ví dụ tia $BA$ và tia $CA$ có đúng một điểm chung là $A$.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du