1. Phép chia hết

Luyện tập 1 (trang 73)

Đề bài: ❶ Thực hiện phép chia $135 : 9$. Từ đó suy ra thương của các phép chia $135 : (-9)$ và $(-135) : (-9)$. ❷ Tính: a) $(-63) : 9$; b) $(-24) : (-8)$.

Lời giải:

❶ Trước hết tính phép chia hai số dương:

$$135 : 9 = 15$$

Từ đó, áp dụng quy tắc dấu của thương (cùng dấu cho dương, khác dấu cho âm), ta suy ra ngay:

• $135 : (-9)$: hai số khác dấu → thương âm → $135 : (-9) = -15$.
• $(-135) : (-9)$: hai số cùng dấu (cùng âm) → thương dương → $(-135) : (-9) = 15$.

❷

• a) $(-63) : 9$: khác dấu → thương âm → $(-63) : 9 = -(63 : 9) = -7$.
• b) $(-24) : (-8)$: cùng dấu → thương dương → $(-24) : (-8) = 24 : 8 = 3$.

2. Ước và bội

Luyện tập 2 (trang 74)

Đề bài: a) Tìm các ước của $-9$; b) Tìm các bội của $4$ lớn hơn $-20$ và nhỏ hơn $20$.

Lời giải:

a) Để tìm các ước của $-9$, trước hết ta tìm các ước dương của $|-9| = 9$, đó là: $1;\ 3;\ 9$. Sau đó ghép thêm số đối của mỗi ước. Vậy:

$$Ư(-9) = {-9;\ -3;\ -1;\ 1;\ 3;\ 9}$$

b) Bội của $4$ là các số: $\ldots;\ -8;\ -4;\ 0;\ 4;\ 8;\ \ldots$ (nhân $4$ lần lượt với $0;\ \pm 1;\ \pm 2;\ \ldots$).

Ta chỉ lấy các bội lớn hơn $-20$ và nhỏ hơn $20$ (tức là $-20 < x < 20$):

$$-16;\ -12;\ -8;\ -4;\ 0;\ 4;\ 8;\ 12;\ 16$$

Tranh luận (trang 74)

Đề bài: Có hai số nguyên $a, b$ khác nhau nào mà $a \vdots b$ và $b \vdots a$ không? Bạn Vuông: “Sao mà thế được!”. Bạn Tròn: “A ha, tớ vừa tìm thấy hai số như vậy đấy!…”. Không biết Tròn tìm được hai số nguyên nào nhỉ?

Lời giải:

Có! Đó là hai số đối nhau (khác $0$), chẳng hạn $a = 1$ và $b = -1$. Ta kiểm tra:

• $1 \vdots (-1)$ vì $1 = (-1) \cdot (-1)$.
• $(-1) \vdots 1$ vì $-1 = 1 \cdot (-1)$.

Như vậy $1$ chia hết cho $-1$ và $-1$ cũng chia hết cho $1$, mà $1 \neq -1$. Vậy Tròn đã đúng.

Tổng quát hơn, mọi cặp số đối nhau (khác $0$) như $2$ và $-2$, $5$ và $-5$,… đều chia hết cho nhau.

Bài tập (trang 74)

Bài 3.39 (trang 74)

Đề bài: Tính các thương: a) $297 : (-3)$; b) $(-396) : (-12)$; c) $(-600) : 15$.

Lời giải:

Ta tính phần số tự nhiên rồi đặt dấu theo quy tắc (cùng dấu cho dương, khác dấu cho âm).

• a) $297 : (-3)$: khác dấu → âm → $-(297 : 3) = -99$.
• b) $(-396) : (-12)$: cùng dấu → dương → $396 : 12 = 33$.
• c) $(-600) : 15$: khác dấu → âm → $-(600 : 15) = -40$.

Bài 3.40 (trang 74)

Đề bài: a) Tìm các ước của mỗi số: $30;\ 42;\ -50$; b) Tìm các ước chung của $30$ và $42$.

Lời giải:

a) Với mỗi số, ta tìm các ước dương trước, rồi ghép thêm số đối.

• Ước dương của $30$: $1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 6;\ 10;\ 15;\ 30$. Vậy:

$$Ư(30) = {-30;\ -15;\ -10;\ -6;\ -5;\ -3;\ -2;\ -1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 6;\ 10;\ 15;\ 30}$$

• Ước dương của $42$: $1;\ 2;\ 3;\ 6;\ 7;\ 14;\ 21;\ 42$. Vậy:

$$Ư(42) = {-42;\ -21;\ -14;\ -7;\ -6;\ -3;\ -2;\ -1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 6;\ 7;\ 14;\ 21;\ 42}$$

• Ước dương của $|-50| = 50$: $1;\ 2;\ 5;\ 10;\ 25;\ 50$. Vậy:

$$Ư(-50) = {-50;\ -25;\ -10;\ -5;\ -2;\ -1;\ 1;\ 2;\ 5;\ 10;\ 25;\ 50}$$

b) Ước chung của $30$ và $42$ là các số vừa là ước của $30$, vừa là ước của $42$. Nhìn vào hai danh sách trên, các số chung là $\pm 1;\ \pm 2;\ \pm 3;\ \pm 6$. Vậy:

$$ƯC(30;\ 42) = {-6;\ -3;\ -2;\ -1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 6}$$

Bài 3.41 (trang 74)

Đề bài: Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê phần tử:

$$M = {x \in \mathbb{Z} \mid x \vdots 4 \text{ và } -16 \leq x < 20}$$

Lời giải:

Ta cần tìm các số nguyên $x$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện: $x$ chia hết cho $4$, và $-16 \leq x < 20$ (lấy cả $-16$, không lấy $20$).

Các bội của $4$ nằm trong khoảng đó là: $-16;\ -12;\ -8;\ -4;\ 0;\ 4;\ 8;\ 12;\ 16$ (số $16 < 20$ nên lấy; số $20$ thì không lấy). Vậy:

$$M = {-16;\ -12;\ -8;\ -4;\ 0;\ 4;\ 8;\ 12;\ 16}$$

Bài 3.42 (trang 74)

Đề bài: Tìm hai ước của $15$ có tổng bằng $-4$.

Lời giải:

Trước hết, liệt kê tất cả các ước của $15$ (ước dương kèm số đối):

$$Ư(15) = {-15;\ -5;\ -3;\ -1;\ 1;\ 3;\ 5;\ 15}$$

Ta tìm trong các ước này hai số có tổng bằng $-4$. Nhận thấy:

$$1 + (-5) = -4$$

Vậy hai ước cần tìm là $1$ và $-5$.

(Ngoài ra, cặp $-1$ và $-3$ cũng có tổng $-1 + (-3) = -4$ và đều là ước của $15$, nên đây cũng là một đáp án thoả mãn.)

Bài 3.43 (trang 74)

Đề bài: Giải thích tại sao: Nếu hai số cùng chia hết cho $-3$ thì tổng và hiệu của hai số đó cũng chia hết cho $-3$. Hãy thử phát biểu một kết luận tổng quát.

Lời giải:

Gọi hai số đó là $a$ và $b$. Vì $a$ và $b$ cùng chia hết cho $-3$, nên ta có thể viết:

$$a = (-3) \cdot m \quad \text{và} \quad b = (-3) \cdot n \quad (\text{với } m, n \text{ là số nguyên})$$

Xét tổng $a + b$:

$$a + b = (-3) \cdot m + (-3) \cdot n = (-3) \cdot (m + n)$$

Vì $m + n$ là một số nguyên, nên $a + b$ là tích của $(-3)$ với một số nguyên, tức $a + b$ chia hết cho $-3$.

Xét hiệu $a – b$:

$$a – b = (-3) \cdot m – (-3) \cdot n = (-3) \cdot (m – n)$$

Vì $m – n$ là một số nguyên, nên $a – b$ cũng chia hết cho $-3$.

Vậy tổng và hiệu của hai số đó đều chia hết cho $-3$.

Kết luận tổng quát: Nếu hai số nguyên cùng chia hết cho một số nguyên $c$ (với $c \neq 0$) thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho $c$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du