Phần Luyện tập chung này ôn lại kiến thức của hai bài: ước chung – ước chung lớn nhất (Bài 11) và bội chung – bội chung nhỏ nhất (Bài 12). Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập, trình bày từng bước để các em dễ theo dõi.

Quy ước kí hiệu: $a \vdots b$ đọc là “$a$ chia hết cho $b$”. $ƯCLN(a, b)$ là ước chung lớn nhất; $BCNN(a, b)$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$. Ta sẽ dùng cách phân tích ra thừa số nguyên tố: ƯCLN lấy thừa số chung, mũ nhỏ nhất; BCNN lấy thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất.

Bài tập (trang 54)

Bài 2.45 (trang 54)

Đề bài: Cho bảng với các giá trị $a$, $b$ như sau (cột đầu đã điền sẵn làm mẫu):

a) Tìm các số thích hợp thay vào ô trống của bảng;

b) So sánh tích $ƯCLN(a, b) \cdot BCNN(a, b)$ và $a \cdot b$. Em rút ra kết luận gì?

Lời giải:

a) Ta tính lần lượt từng cột.

Cột $a = 34;\ b = 51$: $34 = 2 \cdot 17$; $\ 51 = 3 \cdot 17$.

• $ƯCLN = 17$ (thừa số chung là $17$);
• $BCNN = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$;
• $ƯCLN \cdot BCNN = 17 \cdot 102 = 1\ 734$; $\quad a \cdot b = 34 \cdot 51 = 1\ 734$.

Cột $a = 120;\ b = 70$: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$; $\ 70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

• $ƯCLN = 2 \cdot 5 = 10$ (chung $2$ mũ nhỏ nhất $1$, và $5$);
• $BCNN = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$;
• $ƯCLN \cdot BCNN = 10 \cdot 840 = 8\ 400$; $\quad a \cdot b = 120 \cdot 70 = 8\ 400$.

Cột $a = 15;\ b = 28$: $15 = 3 \cdot 5$; $\ 28 = 2^2 \cdot 7$ (không có thừa số chung).

• $ƯCLN = 1$;
• $BCNN = 15 \cdot 28 = 420$;
• $ƯCLN \cdot BCNN = 1 \cdot 420 = 420$; $\quad a \cdot b = 15 \cdot 28 = 420$.

Cột $a = 2\ 987;\ b = 1$: vì $b = 1$ nên:

• $ƯCLN = 1$;
• $BCNN = 2\ 987$;
• $ƯCLN \cdot BCNN = 1 \cdot 2\ 987 = 2\ 987$; $\quad a \cdot b = 2\ 987 \cdot 1 = 2\ 987$.

Bảng sau khi điền đầy đủ:

b) Quan sát hai dòng cuối của bảng, ở mọi cột ta đều thấy:

$$ƯCLN(a, b) \cdot BCNN(a, b) = a \cdot b$$

Kết luận: Tích của hai số $a$ và $b$ luôn bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng.

Bài 2.46 (trang 54)

Đề bài: Tìm $ƯCLN$ và $BCNN$ của:

a) $3 \cdot 5^2$ và $5^2 \cdot 7$;

b) $2^2 \cdot 3 \cdot 5$; $\ 3^2 \cdot 7$ và $3 \cdot 5 \cdot 11$.

Lời giải:

Các số đã cho sẵn dạng phân tích ra thừa số nguyên tố, ta chỉ cần chọn thừa số theo quy tắc.

a) Hai số $3 \cdot 5^2$ và $5^2 \cdot 7$:

• Thừa số chung: $5$ (mũ nhỏ nhất $2$) $\Rightarrow ƯCLN = 5^2 = 25$.
• Thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất: $3$ (mũ $1$), $5$ (mũ $2$), $7$ (mũ $1$) $\Rightarrow BCNN = 3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 525$.

b) Ba số $2^2 \cdot 3 \cdot 5$; $\ 3^2 \cdot 7$ và $3 \cdot 5 \cdot 11$:

• Thừa số có mặt ở cả ba số: chỉ có $3$ (mũ nhỏ nhất $1$) $\Rightarrow ƯCLN = 3$.
• Thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất: $2$ (mũ $2$), $3$ (mũ $2$), $5$ (mũ $1$), $7$ (mũ $1$), $11$ (mũ $1$).

$$BCNN = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 13\ 860$$

Bài 2.47 (trang 54)

Đề bài: Các phân số sau đã tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

a) $\dfrac{15}{17}$; $\qquad$ b) $\dfrac{70}{105}$.

Lời giải:

a) Tìm $ƯCLN(15, 17)$: số $17$ là số nguyên tố và không chia hết $15$, nên hai số không có thừa số chung, $ƯCLN(15, 17) = 1$.

Vậy $\dfrac{15}{17}$ đã là phân số tối giản.

b) Tìm $ƯCLN(70, 105)$: $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$; $\ 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. Thừa số chung: $5$ và $7$, nên $ƯCLN(70, 105) = 5 \cdot 7 = 35$.

Vì $ƯCLN = 35 \neq 1$ nên phân số chưa tối giản. Chia cả tử và mẫu cho $35$:

$$\frac{70}{105} = \frac{70 : 35}{105 : 35} = \frac{2}{3}$$

Kiểm tra: $ƯCLN(2, 3) = 1$ nên $\dfrac{2}{3}$ là phân số tối giản.

Bài 2.48 (trang 54)

Đề bài: Hai vận động viên chạy xung quanh một sân vận động. Hai vận động viên xuất phát tại cùng một thời điểm, cùng vị trí và chạy cùng chiều. Vận động viên thứ nhất chạy một vòng sân hết $360$ giây, vận động viên thứ hai chạy một vòng sân mất $420$ giây. Hỏi sau bao nhiêu phút họ gặp lại nhau, biết tốc độ di chuyển của họ không đổi?

Lời giải:

Hai vận động viên lại gặp nhau tại vị trí xuất phát khi cả hai cùng chạy xong một số vòng trọn vẹn vào đúng một thời điểm. Khi đó số giây kể từ lúc xuất phát phải vừa là bội của $360$, vừa là bội của $420$, tức là bội chung của $360$ và $420$. Lần gặp đầu tiên ứng với BCNN.

Phân tích: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$; $\ 420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất: $2^3;\ 3^2;\ 5;\ 7$.

$$BCNN(360, 420) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 2\ 520 \text{ (giây)}$$

Đổi ra phút: $2\ 520 : 60 = 42$ (phút).

Vậy sau $42$ phút hai vận động viên gặp lại nhau.

Bài 2.49 (trang 54)

Đề bài: Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) $\dfrac{4}{9}$ và $\dfrac{7}{15}$;

b) $\dfrac{5}{12}$, $\dfrac{7}{15}$ và $\dfrac{4}{27}$.

Lời giải:

a) Tìm mẫu chung là $BCNN(9, 15)$: $9 = 3^2$; $\ 15 = 3 \cdot 5$, nên $BCNN(9, 15) = 3^2 \cdot 5 = 45$.

Thừa số phụ: $45 : 9 = 5$; $\ 45 : 15 = 3$.

$$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{45} = \frac{20}{45}; \qquad \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 3}{45} = \frac{21}{45}$$

b) Tìm $BCNN(12, 15, 27)$: $12 = 2^2 \cdot 3$; $\ 15 = 3 \cdot 5$; $\ 27 = 3^3$.

Thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất: $2^2;\ 3^3;\ 5$.

$$BCNN(12, 15, 27) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4 \cdot 27 \cdot 5 = 540$$

Thừa số phụ: $540 : 12 = 45$; $\ 540 : 15 = 36$; $\ 540 : 27 = 20$.

$$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 45}{540} = \frac{225}{540}; \qquad \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 36}{540} = \frac{252}{540}; \qquad \frac{4}{27} = \frac{4 \cdot 20}{540} = \frac{80}{540}$$

Bài 2.50 (trang 54)

Đề bài: Từ ba tấm gỗ có độ dài $56$ dm, $48$ dm và $40$ dm, bác thợ mộc muốn cắt thành các thanh gỗ có độ dài như nhau mà không để thừa mẩu gỗ nào. Hỏi bác cắt như thế nào để được các thanh gỗ có độ dài lớn nhất có thể?

Lời giải:

Để cắt cả ba tấm gỗ thành các thanh dài bằng nhau, không thừa mẩu nào, thì độ dài mỗi thanh phải là ước chung của $56;\ 48;\ 40$. Muốn độ dài lớn nhất thì độ dài đó $= ƯCLN(56, 48, 40)$.

Phân tích: $56 = 2^3 \cdot 7$; $\ 48 = 2^4 \cdot 3$; $\ 40 = 2^3 \cdot 5$.

Thừa số chung của cả ba số: chỉ có $2$, với mũ nhỏ nhất là $3$.

$$ƯCLN(56, 48, 40) = 2^3 = 8$$

Vậy bác thợ mộc nên cắt các tấm gỗ thành các thanh dài $8$ dm. Khi đó:

• Tấm $56$ dm cắt được $56 : 8 = 7$ thanh;
• Tấm $48$ dm cắt được $48 : 8 = 6$ thanh;
• Tấm $40$ dm cắt được $40 : 8 = 5$ thanh.

Bài 2.51 (trang 54)

Đề bài: Học sinh lớp 6A khi xếp thành hàng $2$, hàng $3$, hàng $7$ đều vừa đủ hàng. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu, biết rằng số học sinh nhỏ hơn $45$?

Lời giải:

Gọi $x$ là số học sinh lớp 6A ($x$ là số tự nhiên khác $0$, $x < 45$).

Vì xếp hàng $2$, hàng $3$, hàng $7$ đều vừa đủ nên $x \vdots 2$, $x \vdots 3$, $x \vdots 7$, tức $x$ là bội chung của $2; 3; 7$.

Vì $2; 3; 7$ đôi một không có thừa số chung nên:

$$BCNN(2, 3, 7) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$$

$$BC(2, 3, 7) = B(42) = {0; 42; 84; \ldots}$$

Vì $0 < x < 45$ nên chỉ có $x = 42$ thoả mãn.

Vậy lớp 6A có $42$ học sinh.

Bài 2.52 (trang 54)

Đề bài: Hai số có $BCNN$ là $2^3 \cdot 3 \cdot 5^3$ và $ƯCLN$ là $2^2 \cdot 5$. Biết một trong hai số bằng $2^2 \cdot 3 \cdot 5$, tìm số còn lại.

Lời giải:

Ta dùng tính chất: tích hai số bằng tích ƯCLN và BCNN của chúng:

$$a \cdot b = ƯCLN(a, b) \cdot BCNN(a, b)$$

Trước hết tính tích hai số:

$$a \cdot b = (2^2 \cdot 5) \cdot (2^3 \cdot 3 \cdot 5^3) = 2^{2+3} \cdot 3 \cdot 5^{1+3} = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^4$$

Gọi số đã biết là $a = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, số còn lại là $b$. Khi đó:

$$b = \frac{a \cdot b}{a} = \frac{2^5 \cdot 3 \cdot 5^4}{2^2 \cdot 3 \cdot 5}$$

Ta lấy số mũ của tử trừ số mũ của mẫu ở từng thừa số:

$$b = 2^{5-2} \cdot 3^{1-1} \cdot 5^{4-1} = 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^3 = 2^3 \cdot 5^3$$

Tính ra số cụ thể: $b = 8 \cdot 125 = 1\ 000$.

Vậy số còn lại là $2^3 \cdot 5^3 = 1\ 000$.

(Kiểm tra: với $a = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ và $b = 1\ 000$, ta có $ƯCLN(60, 1\ 000) = 2^2 \cdot 5 = 20$ và $BCNN(60, 1\ 000) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^3 = 3\ 000$ — đúng với đề bài.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du