Phần Luyện tập chung này ôn lại kiến thức của ba bài: tính chất chia hết của một tổng (Bài 8), dấu hiệu chia hết (Bài 9) và số nguyên tố – phân tích ra thừa số nguyên tố (Bài 10).

Quy ước kí hiệu: $a \vdots b$ đọc là “$a$ chia hết cho $b$”; $a \not\vdots b$ đọc là “$a$ không chia hết cho $b$”.

Bài tập (trang 43)

Bài 2.25 (trang 43)

Đề bài: Từ các chữ số $5; 0; 1; 3$, viết các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau thoả mãn:

a) Các số đó chia hết cho $5$;

b) Các số đó chia hết cho $3$.

Lời giải:

Lưu ý: số có ba chữ số nên chữ số hàng trăm phải khác $0$; các chữ số trong mỗi số phải khác nhau và lấy từ ${5; 0; 1; 3}$.

a) Chia hết cho $5$: chữ số tận cùng phải là $0$ hoặc $5$.

Trường hợp tận cùng là $0$: hai chữ số còn lại chọn từ ${5; 1; 3}$ xếp vào hàng trăm và hàng chục, ta được:

$$510;\ 530;\ 150;\ 130;\ 350;\ 310$$

Trường hợp tận cùng là $5$: hai chữ số còn lại chọn từ ${0; 1; 3}$ xếp vào hàng trăm và hàng chục (hàng trăm khác $0$), ta được:

$$105;\ 135;\ 305;\ 315$$

Vậy các số chia hết cho $5$ là: $510;\ 530;\ 150;\ 130;\ 350;\ 310;\ 105;\ 135;\ 305;\ 315$.

b) Chia hết cho $3$: tổng ba chữ số phải chia hết cho $3$. Ta xét các bộ ba chữ số chọn từ ${5; 0; 1; 3}$:

• Bộ $(5; 0; 1)$: tổng $5 + 0 + 1 = 6 \vdots 3$ ✓
• Bộ $(5; 0; 3)$: tổng $5 + 0 + 3 = 8 \not\vdots 3$ ✗
• Bộ $(5; 1; 3)$: tổng $5 + 1 + 3 = 9 \vdots 3$ ✓
• Bộ $(0; 1; 3)$: tổng $0 + 1 + 3 = 4 \not\vdots 3$ ✗

Từ bộ $(5; 0; 1)$ (hàng trăm khác $0$): $501;\ 510;\ 105;\ 150$.

Từ bộ $(5; 1; 3)$ (không có $0$): $513;\ 531;\ 153;\ 135;\ 315;\ 351$.

Vậy các số chia hết cho $3$ là: $501;\ 510;\ 105;\ 150;\ 513;\ 531;\ 153;\ 135;\ 315;\ 351$.

Bài 2.26 (trang 43)

Đề bài: Hãy phân tích các số $A, B$ ra thừa số nguyên tố:

$$A = 4^2 \cdot 6^3; \qquad B = 9^2 \cdot 15^2$$

Lời giải:

Ta phân tích từng thừa số về dạng tích các số nguyên tố, sau đó gộp các thừa số giống nhau lại thành lũy thừa.

Phân tích $A = 4^2 \cdot 6^3$:

• $4^2 = 4 \cdot 4 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^4$ (có bốn thừa số $2$).
• $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^3$.

Do đó:

$$A = 2^4 \cdot 2^3 \cdot 3^3 = 2^7 \cdot 3^3$$

Phân tích $B = 9^2 \cdot 15^2$:

• $9^2 = 9 \cdot 9 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3^4$.
• $15^2 = 15 \cdot 15 = (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) = 3^2 \cdot 5^2$.

Do đó:

$$B = 3^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 3^6 \cdot 5^2$$

Bài 2.27 (trang 43)

Đề bài: Tìm các số tự nhiên $x$ không vượt quá $22$ sao cho:

a) $100 – x$ chia hết cho $4$;

b) $18 + 90 + x$ chia hết cho $9$.

Lời giải:

“Không vượt quá $22$” nghĩa là $x \leq 22$ ($x$ là số tự nhiên).

a) Ta thấy $100 \vdots 4$ (vì $100 = 4 \cdot 25$). Hiệu $100 – x$ chia hết cho $4$ khi và chỉ khi $x$ cũng chia hết cho $4$.

Các số tự nhiên $x \leq 22$ và $x \vdots 4$ là:

$$x \in {0; 4; 8; 12; 16; 20}$$

b) Ta thấy $18 \vdots 9$ và $90 \vdots 9$. Tổng $18 + 90 + x$ chia hết cho $9$ khi và chỉ khi $x$ cũng chia hết cho $9$.

Các số tự nhiên $x \leq 22$ và $x \vdots 9$ là:

$$x \in {0; 9; 18}$$

Bài 2.28 (trang 43)

Đề bài: Lớp 6B có $40$ học sinh. Để thực hiện dự án học tập nhỏ, cô giáo muốn chia lớp thành các nhóm có số người như nhau, mỗi nhóm nhiều hơn $3$ người. Hỏi mỗi nhóm có thể có bao nhiêu người?

Lời giải:

Vì các nhóm có số người như nhau, nên số người mỗi nhóm phải là ước của $40$.

Phân tích $40 = 2^3 \cdot 5$, ta liệt kê các ước:

$$Ư(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}$$

Đề yêu cầu mỗi nhóm nhiều hơn $3$ người (loại $1$ và $2$), và chia lớp thành các nhóm nên phải có từ $2$ nhóm trở lên (loại $40$ — vì $40$ người mỗi nhóm thì chỉ có một nhóm).

Vậy mỗi nhóm có thể có: $4;\ 5;\ 8;\ 10$ hoặc $20$ người.

Bài 2.29 (trang 43)

Đề bài: Hai số nguyên tố được gọi là sinh đôi nếu chúng hơn kém nhau $2$ đơn vị. Ví dụ $17$ và $19$ là hai số nguyên tố sinh đôi. Em hãy liệt kê hết các cặp số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn $40$.

Lời giải:

Trước hết ta liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn $40$:

$$2;\ 3;\ 5;\ 7;\ 11;\ 13;\ 17;\ 19;\ 23;\ 29;\ 31;\ 37$$

Bây giờ ta tìm những cặp số nguyên tố trong dãy trên mà hơn kém nhau đúng $2$ đơn vị:

• $3$ và $5$ (hơn kém nhau $2$) ✓
• $5$ và $7$ ✓
• $11$ và $13$ ✓
• $17$ và $19$ ✓
• $29$ và $31$ ✓

(Các trường hợp như $7$ và $9$, $13$ và $15$, $19$ và $21$… bị loại vì $9; 15; 21; \ldots$ không phải số nguyên tố.)

Vậy các cặp số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn $40$ là: $(3; 5);\ (5; 7);\ (11; 13);\ (17; 19);\ (29; 31)$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du