1. Quy đồng mẫu nhiều phân số

Hoạt động 1 (trang 9)

Đề bài: Em thực hiện các yêu cầu sau để quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{5}{6}$ và $\dfrac{7}{4}$: tìm bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số; viết hai phân số mới bằng hai phân số đã cho và có mẫu là số vừa tìm được.

Lời giải:

Bước 1 – Tìm mẫu chung. Ta tìm BCNN của $6$ và $4$:

• Bội của $6$: $6; 12; 18; 24; \ldots$
• Bội của $4$: $4; 8; 12; 16; \ldots$

Số nhỏ nhất xuất hiện ở cả hai dãy là $12$, nên $\text{BCNN}(6, 4) = 12$. Lấy $12$ làm mẫu chung.

Bước 2 – Tìm thừa số phụ (lấy mẫu chung chia cho từng mẫu): $\ 12 : 6 = 2$ và $12 : 4 = 3$.

Bước 3 – Nhân cả tử và mẫu với thừa số phụ:

$$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}; \qquad \dfrac{7}{4} = \dfrac{7 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{21}{12}.$$

Hoạt động 2 (trang 9)

Đề bài: Tương tự HĐ1, em hãy quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{-3}{5}$ và $\dfrac{-1}{2}$.

Lời giải:

Bước 1 – Mẫu chung: $\text{BCNN}(5, 2) = 10$.

Bước 2 – Thừa số phụ: $\ 10 : 5 = 2$ và $10 : 2 = 5$.

Bước 3 – Quy đồng:

$$\dfrac{-3}{5} = \dfrac{(-3) \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{-6}{10}; \qquad \dfrac{-1}{2} = \dfrac{(-1) \times 5}{2 \times 5} = \dfrac{-5}{10}.$$

Luyện tập 1 (trang 10)

Đề bài: Quy đồng mẫu các phân số: $\dfrac{-3}{4};\ \dfrac{5}{9};\ \dfrac{2}{3}$.

Lời giải:

Bước 1 – Mẫu chung. Ta tìm $\text{BCNN}(4, 9, 3)$. Viết các mẫu thành tích các thừa số nguyên tố: $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $3 = 3$. Lấy mỗi thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất:

$$\text{BCNN}(4, 9, 3) = 2^2 \times 3^2 = 36.$$

Bước 2 – Thừa số phụ: $\ 36 : 4 = 9$, $\ 36 : 9 = 4$, $\ 36 : 3 = 12$.

Bước 3 – Quy đồng:

$$\dfrac{-3}{4} = \dfrac{(-3) \times 9}{4 \times 9} = \dfrac{-27}{36}; \quad \dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \times 4}{9 \times 4} = \dfrac{20}{36}; \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 12}{3 \times 12} = \dfrac{24}{36}.$$

2. So sánh hai phân số

Hoạt động 3 (trang 10)

Đề bài: Em hãy nhắc lại quy tắc so sánh hai phân số có cùng mẫu (tử và mẫu đều dương), rồi so sánh hai phân số $\dfrac{7}{11}$ và $\dfrac{9}{11}$.

Lời giải:

Nhắc lại quy tắc: Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Áp dụng: Hai phân số $\dfrac{7}{11}$ và $\dfrac{9}{11}$ có cùng mẫu $11 > 0$. So sánh tử số: $7 < 9$.

Vậy $\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$.

Luyện tập 2 (trang 10)

Đề bài: Tìm dấu thích hợp ($>$, $<$) thay cho dấu “?”: a) $\dfrac{-2}{9}\ ?\ \dfrac{-7}{9}$; b) $\dfrac{5}{7}\ ?\ \dfrac{-10}{7}$.

Lời giải:

a) Hai phân số cùng mẫu $9 > 0$. So sánh tử: $-2 > -7$. Vậy $\dfrac{-2}{9} > \dfrac{-7}{9}$.

b) Hai phân số cùng mẫu $7 > 0$. So sánh tử: $5 > -10$. Vậy $\dfrac{5}{7} > \dfrac{-10}{7}$.

Hoạt động 4 (trang 10)

Đề bài: Để giải quyết bài toán mở đầu, ta cần so sánh $\dfrac{3}{4}$ và $\dfrac{5}{6}$. Hãy viết hai phân số trên dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh, từ đó kết luận về phần bánh còn lại của hai bạn Vuông và Tròn.

Lời giải:

Hai phân số khác mẫu, nên ta quy đồng mẫu rồi so sánh tử.

Quy đồng: $\text{BCNN}(4, 6) = 12$. Thừa số phụ: $12 : 4 = 3$ và $12 : 6 = 2$.

$$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}; \qquad \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}.$$

So sánh: Hai phân số cùng mẫu $12 > 0$, tử $9 < 10$, nên $\dfrac{9}{12} < \dfrac{10}{12}$.

Do đó $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$.

Kết luận: Vuông còn $\dfrac{3}{4}$ cái bánh, Tròn còn $\dfrac{5}{6}$ cái bánh. Vì $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$ nên phần bánh còn lại của Tròn nhiều hơn.

Luyện tập 3 (trang 11)

Đề bài: So sánh các phân số sau: a) $\dfrac{7}{10}$ và $\dfrac{11}{15}$; b) $\dfrac{-1}{8}$ và $\dfrac{-5}{24}$.

Lời giải:

a) Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(10, 15) = 30$. Thừa số phụ: $30 : 10 = 3$ và $30 : 15 = 2$.

$$\dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 3}{10 \times 3} = \dfrac{21}{30}; \qquad \dfrac{11}{15} = \dfrac{11 \times 2}{15 \times 2} = \dfrac{22}{30}.$$

Vì $21 < 22$ và mẫu $30 > 0$ nên $\dfrac{21}{30} < \dfrac{22}{30}$. Do đó $\dfrac{7}{10} < \dfrac{11}{15}$.

b) Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(8, 24) = 24$. Thừa số phụ: $24 : 8 = 3$ và $24 : 24 = 1$.

$$\dfrac{-1}{8} = \dfrac{(-1) \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{-3}{24}; \qquad \dfrac{-5}{24} \text{ giữ nguyên}.$$

Vì $-3 > -5$ và mẫu $24 > 0$ nên $\dfrac{-3}{24} > \dfrac{-5}{24}$. Do đó $\dfrac{-1}{8} > \dfrac{-5}{24}$.

Thử thách nhỏ (trang 11)

Đề bài: Không quy đồng mẫu số, em hãy so sánh $\dfrac{31}{32}$ và $\dfrac{-5}{57}$.

Lời giải:

Ta so sánh hai phân số này qua số $0$:

• $\dfrac{31}{32} > 0$ vì tử và mẫu đều dương.
• $\dfrac{-5}{57} < 0$ vì tử âm, mẫu dương.

Một số dương luôn lớn hơn một số âm, nên:

$$\dfrac{-5}{57} < 0 < \dfrac{31}{32}.$$

Vậy $\dfrac{31}{32} > \dfrac{-5}{57}$.

3. Hỗn số dương

Hoạt động 5 (trang 11)

Đề bài: Chia đều ba cái bánh cho hai bạn. Viết phân số biểu thị phần bánh của mỗi bạn.

Lời giải:

Chia đều $3$ cái bánh cho $2$ bạn, nghĩa là mỗi bạn được $3 : 2$ cái bánh. Viết dưới dạng phân số:

$$3 : 2 = \dfrac{3}{2}.$$

Vậy mỗi bạn được $\dfrac{3}{2}$ cái bánh.

Hoạt động 6 (trang 11)

Đề bài: Tròn nói mỗi bạn được $1$ cái bánh và $\dfrac{1}{2}$ cái bánh. Em có đồng ý với Tròn không?

Lời giải:

Em đồng ý với Tròn. Ta tách $\dfrac{3}{2}$ thành tổng của một số nguyên và một phân số nhỏ hơn $1$:

$$\dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{1}{2}.$$

Như vậy mỗi bạn được $1$ cái bánh và thêm $\dfrac{1}{2}$ cái bánh nữa, đúng như lời Tròn nói.

Câu hỏi (trang 12)

Đề bài: $2\dfrac{5}{4}$ có là một hỗn số không? Vì sao?

Lời giải:

$2\dfrac{5}{4}$ không phải là một hỗn số.

Lí do: Phần phân số của một hỗn số luôn phải nhỏ hơn $1$ (tử nhỏ hơn mẫu). Ở đây phần phân số là $\dfrac{5}{4}$ có tử $5 >$ mẫu $4$, tức $\dfrac{5}{4} > 1$. Vì vậy $2\dfrac{5}{4}$ không phải hỗn số.

Luyện tập 4 (trang 12)

Đề bài: a) Viết phân số $\dfrac{24}{7}$ dưới dạng hỗn số. b) Viết hỗn số $5\dfrac{2}{3}$ dưới dạng phân số.

Lời giải:

a) Ta thực hiện phép chia tử cho mẫu: $24 : 7 = 3$ (dư $3$). Thương $3$ là phần nguyên, số dư $3$ trên mẫu $7$ là phần phân số:

$$\dfrac{24}{7} = 3\dfrac{3}{7}.$$

b) Ta lấy phần nguyên nhân mẫu rồi cộng tử, kết quả đặt trên mẫu:

$$5\dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \times 3 + 2}{3} = \dfrac{17}{3}.$$

Bài tập (trang 12)

Bài 6.8 (trang 12)

Đề bài: Quy đồng mẫu các phân số sau: a) $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{-6}{7}$; b) $\dfrac{5}{2^2 \cdot 3^2}$ và $\dfrac{-7}{2^2 \cdot 3}$.

Lời giải:

a) Mẫu chung: $\text{BCNN}(3, 7) = 21$. Thừa số phụ: $21 : 3 = 7$ và $21 : 7 = 3$.

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 7} = \dfrac{14}{21}; \qquad \dfrac{-6}{7} = \dfrac{(-6) \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{-18}{21}.$$

b) Hai mẫu đã được viết sẵn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố là $2^2 \cdot 3^2$ và $2^2 \cdot 3$. Lấy mỗi thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất, ta được mẫu chung:

$$\text{BCNN} = 2^2 \cdot 3^2 = 36.$$

(Tức là $2^2 \cdot 3^2 = 36$ và $2^2 \cdot 3 = 12$.) Thừa số phụ: $36 : 36 = 1$ và $36 : 12 = 3$.

$$\dfrac{5}{36} \text{ giữ nguyên}; \qquad \dfrac{-7}{12} = \dfrac{(-7) \times 3}{12 \times 3} = \dfrac{-21}{36}.$$

Bài 6.9 (trang 12)

Đề bài: So sánh các phân số sau: a) $\dfrac{-11}{8}$ và $\dfrac{1}{24}$; b) $\dfrac{3}{20}$ và $\dfrac{6}{15}$.

Lời giải:

a) Ta so sánh qua số $0$:

• $\dfrac{-11}{8} < 0$ (tử âm, mẫu dương).
• $\dfrac{1}{24} > 0$ (tử và mẫu cùng dương).

Vậy $\dfrac{-11}{8} < \dfrac{1}{24}$.

b) Trước hết rút gọn $\dfrac{6}{15}$ cho ước chung $3$: $\ \dfrac{6}{15} = \dfrac{6 : 3}{15 : 3} = \dfrac{2}{5}$.

So sánh $\dfrac{3}{20}$ và $\dfrac{2}{5}$. Mẫu chung $\text{BCNN}(20, 5) = 20$, thừa số phụ của $\dfrac{2}{5}$ là $20 : 5 = 4$:

$$\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{8}{20}.$$

So sánh $\dfrac{3}{20}$ và $\dfrac{8}{20}$: tử $3 < 8$ nên $\dfrac{3}{20} < \dfrac{8}{20}$. Do đó $\dfrac{3}{20} < \dfrac{6}{15}$.

Bài 6.10 (trang 12)

Đề bài: Lớp 6A có $\dfrac{4}{5}$ số học sinh thích bóng bàn, $\dfrac{7}{10}$ số học sinh thích bóng đá và $\dfrac{1}{2}$ số học sinh thích bóng chuyền. Hỏi môn thể thao nào được các bạn học sinh lớp 6A yêu thích nhất?

Lời giải:

Môn được yêu thích nhất là môn có phân số lớn nhất. Ta so sánh ba phân số $\dfrac{4}{5};\ \dfrac{7}{10};\ \dfrac{1}{2}$ bằng cách quy đồng mẫu.

Mẫu chung: $\text{BCNN}(5, 10, 2) = 10$. Thừa số phụ: $10 : 5 = 2$, $\ 10 : 10 = 1$, $\ 10 : 2 = 5$.

$$\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{8}{10}; \qquad \dfrac{7}{10} \text{ giữ nguyên}; \qquad \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 5}{2 \times 5} = \dfrac{5}{10}.$$

So sánh tử: $8 > 7 > 5$, nên $\dfrac{8}{10} > \dfrac{7}{10} > \dfrac{5}{10}$, tức $\dfrac{4}{5} > \dfrac{7}{10} > \dfrac{1}{2}$.

Kết luận: Môn được các bạn lớp 6A yêu thích nhất là bóng bàn (chiếm $\dfrac{4}{5}$ số học sinh).

Bài 6.11 (trang 12)

Đề bài: a) Khối lượng nào lớn hơn: $\dfrac{5}{3}$ kg hay $\dfrac{15}{11}$ kg? b) Vận tốc nào nhỏ hơn: $\dfrac{5}{6}$ km/h hay $\dfrac{4}{5}$ km/h?

Lời giải:

a) So sánh $\dfrac{5}{3}$ và $\dfrac{15}{11}$. Mẫu chung $\text{BCNN}(3, 11) = 33$, thừa số phụ: $33 : 3 = 11$ và $33 : 11 = 3$.

$$\dfrac{5}{3} = \dfrac{5 \times 11}{3 \times 11} = \dfrac{55}{33}; \qquad \dfrac{15}{11} = \dfrac{15 \times 3}{11 \times 3} = \dfrac{45}{33}.$$

Vì $55 > 45$ nên $\dfrac{5}{3} > \dfrac{15}{11}$. Vậy khối lượng $\dfrac{5}{3}$ kg lớn hơn.

b) So sánh $\dfrac{5}{6}$ và $\dfrac{4}{5}$. Mẫu chung $\text{BCNN}(6, 5) = 30$, thừa số phụ: $30 : 6 = 5$ và $30 : 5 = 6$.

$$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 5}{6 \times 5} = \dfrac{25}{30}; \qquad \dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 6}{5 \times 6} = \dfrac{24}{30}.$$

Vì $24 < 25$ nên $\dfrac{4}{5} < \dfrac{5}{6}$. Vậy vận tốc $\dfrac{4}{5}$ km/h nhỏ hơn.

Bài 6.12 (trang 12)

Đề bài: Bảng sau cho biết chiều dài (theo đơn vị feet, $1$ feet xấp xỉ bằng $30{,}48$ cm) của một số loài động vật có vú nhỏ nhất trên thế giới. Hãy sắp xếp các động vật trên theo thứ tự chiều dài từ lớn đến bé.

Lời giải:

Để sắp xếp, ta so sánh bốn phân số $\dfrac{5}{12};\ \dfrac{83}{100};\ \dfrac{1}{4};\ \dfrac{1}{3}$ bằng cách quy đồng mẫu.

Tìm mẫu chung. Viết các mẫu thành tích thừa số nguyên tố: $12 = 2^2 \cdot 3$, $\ 100 = 2^2 \cdot 5^2$, $\ 4 = 2^2$, $\ 3 = 3$. Lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất:

$$\text{BCNN} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300.$$

Thừa số phụ: $300 : 12 = 25$, $\ 300 : 100 = 3$, $\ 300 : 4 = 75$, $\ 300 : 3 = 100$.

Quy đồng:

$$\dfrac{5}{12} = \dfrac{125}{300}; \quad \dfrac{83}{100} = \dfrac{249}{300}; \quad \dfrac{1}{4} = \dfrac{75}{300}; \quad \dfrac{1}{3} = \dfrac{100}{300}.$$

So sánh tử (cùng mẫu dương $300$): $249 > 125 > 100 > 75$.

Do đó: $\dfrac{83}{100} > \dfrac{5}{12} > \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4}$.

Kết luận – thứ tự chiều dài từ lớn đến bé: Dơi Kitti $\rightarrow$ Chuột chũi châu Âu $\rightarrow$ Sóc chuột phương Đông $\rightarrow$ Chuột túi có gai.

Bài 6.13 (trang 12)

Đề bài: Mẹ có $15$ quả táo, mẹ muốn chia đều số quả táo đó cho bốn anh em. Hỏi mỗi người con được mấy quả táo và mấy phần của quả táo?

Lời giải:

Chia đều $15$ quả táo cho $4$ anh em, nên mỗi người được $15 : 4$ quả táo, tức là $\dfrac{15}{4}$ quả táo.

Ta viết $\dfrac{15}{4}$ dưới dạng hỗn số bằng cách lấy tử chia cho mẫu: $15 : 4 = 3$ (dư $3$).

$$\dfrac{15}{4} = 3\dfrac{3}{4}.$$

Kết luận: Mỗi người con được $3$ quả táo và $\dfrac{3}{4}$ quả táo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du