Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 1

Đề bài: Số tự nhiên $n$ có sáu chữ số phân biệt, hai chữ số cạnh nhau luôn là hai số tự nhiên liên tiếp. Biết rằng trong sáu chữ số của nó, chữ số $4$ có giá trị bằng $4\,000$. Em tìm được mấy số như vậy?

Lời giải:

Chữ số $4$ có giá trị $4\,000$ nghĩa là chữ số $4$ đứng ở hàng nghìn. Trong số có sáu chữ số, hàng nghìn là chữ số thứ ba tính từ trái sang, nên số có dạng: chữ số thứ ba là $4$.

Vì hai chữ số cạnh nhau luôn là hai số liên tiếp (hơn kém nhau $1$) và sáu chữ số đều khác nhau, nên dãy sáu chữ số phải hoặc tăng dần đều, hoặc giảm dần đều (nếu vừa tăng vừa giảm thì sẽ có chữ số bị lặp lại).

Trường hợp tăng dần: chữ số thứ ba là $4$, nên các chữ số là $2, 3, 4, 5, 6, 7$. Ta được số $234\,567$.

Trường hợp giảm dần: chữ số thứ ba là $4$, nên các chữ số là $6, 5, 4, 3, 2, 1$. Ta được số $654\,321$.

Vậy tìm được $2$ số thỏa mãn là $234\,567$ và $654\,321$.

Bài 2

Đề bài: Khi trả tiền sách, An đưa cho người bán $2$ tờ $100$ nghìn đồng, $4$ tờ $10$ nghìn đồng và $6$ tờ $1$ nghìn đồng. Hãy biểu diễn số tiền sách (đơn vị nghìn đồng) mà An đã trả dưới dạng tổng giá trị các chữ số của nó rồi đối chiếu với số tờ các loại tiền mà An dùng để trả và nêu nhận xét.

Lời giải:

Số tiền An đã trả (tính theo nghìn đồng) là:

$$2 \times 100 + 4 \times 10 + 6 \times 1 = 200 + 40 + 6 = 246 \text{ (nghìn đồng)}.$$

Ta viết số $246$ dưới dạng tổng giá trị các chữ số:

$$246 = 2 \times 100 + 4 \times 10 + 6 \times 1.$$

Đối chiếu với số tờ tiền: An dùng $2$ tờ loại $100$ nghìn, $4$ tờ loại $10$ nghìn, $6$ tờ loại $1$ nghìn.

Nhận xét: Số tờ tiền của mỗi loại đúng bằng chữ số tương ứng trong số tiền $246$: chữ số hàng trăm là $2$ (ứng với $2$ tờ trăm nghìn), chữ số hàng chục là $4$ (ứng với $4$ tờ chục nghìn), chữ số hàng đơn vị là $6$ (ứng với $6$ tờ nghìn).

Bài 3

Đề bài: Tính giá trị của các biểu thức sau rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:

a) $160 – (2^3 \cdot 5^2 – 6 \cdot 25)$;

b) $37 \cdot 3 + 225 : 15^2$;

c) $5\,871 : 103 – 64 : 2^5$;

d) $(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) \cdot 5^2 – 850 : 2$.

Lời giải:

a) Tính trong ngoặc trước (lũy thừa rồi nhân), sau đó trừ:

$$160 – (8 \cdot 25 – 6 \cdot 25) = 160 – (200 – 150) = 160 – 50 = 110.$$

Phân tích ra thừa số nguyên tố: $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$.

b) Theo thứ tự: lũy thừa, nhân và chia trước, cộng sau:

$$37 \cdot 3 + 225 : 15^2 = 111 + 225 : 225 = 111 + 1 = 112.$$

Phân tích ra thừa số nguyên tố: $112 = 2^4 \cdot 7$.

c) Tính chia trước, trừ sau:

$$5\,871 : 103 – 64 : 2^5 = 57 – 64 : 32 = 57 – 2 = 55.$$

Phân tích ra thừa số nguyên tố: $55 = 5 \cdot 11$.

d) Tính trong ngoặc và lũy thừa trước. Tổng trong ngoặc: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$.

$$36 \cdot 5^2 – 850 : 2 = 36 \cdot 25 – 425 = 900 – 425 = 475.$$

Phân tích ra thừa số nguyên tố: $475 = 5^2 \cdot 19$.

Bài 4

Đề bài: Một phân xưởng có $30$ công nhân. Nếu mỗi giờ mỗi công nhân làm được $100$ sản phẩm thì phân xưởng sẽ hoàn thành một đơn hàng trong $24$ giờ. Hãy viết biểu thức số biểu thị (không cần tính giá trị):

a) Tổng số sản phẩm mà phân xưởng phải hoàn thành theo đơn hàng;

b) Số sản phẩm mà mỗi công nhân phải làm để hoàn thành đơn hàng.

Lời giải:

a) Tổng số sản phẩm bằng số công nhân nhân với số sản phẩm mỗi công nhân làm trong một giờ, nhân với số giờ. Biểu thức:

$$30 \cdot 100 \cdot 24.$$

b) Số sản phẩm mỗi công nhân phải làm bằng tổng số sản phẩm chia cho số công nhân. Biểu thức:

$$(30 \cdot 100 \cdot 24) : 30.$$

(Có thể thấy biểu thức này bằng $100 \cdot 24$, tức là số sản phẩm một công nhân làm trong $24$ giờ.)

Bài 5

Đề bài: Khoảng $3\,000$ người tham gia một lễ kỉ niệm. Nếu họ xếp hàng $7$, hàng $8$, hàng $9$ hay hàng $10$ thì đều còn dư ra $6$ người. Hỏi chính xác có bao nhiêu người tham gia?

Lời giải:

Gọi số người tham gia là $a$. Vì xếp hàng $7, 8, 9, 10$ đều dư $6$ người, nên $a – 6$ chia hết cho cả $7, 8, 9, 10$. Tức là $a – 6$ là một bội chung của $7, 8, 9, 10$.

Ta tìm BCNN của $7, 8, 9, 10$. Viết thành tích thừa số nguyên tố: $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, $10 = 2 \cdot 5$, $7 = 7$. Lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất:

$$\text{BCNN}(7, 8, 9, 10) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 2\,520.$$

Vậy $a – 6$ là bội của $2\,520$: có thể bằng $2\,520; 5\,040; \ldots$ Vì $a$ khoảng $3\,000$ nên ta chọn $a – 6 = 2\,520$, suy ra:

$$a = 2\,520 + 6 = 2\,526.$$

Vậy chính xác có $2\,526$ người tham gia. (Kiểm tra: $2\,526 : 7 = 360$ dư $6$, tương tự với $8, 9, 10$.)

Bài 6

Đề bài: Tính giá trị của các biểu thức sau (tính hợp lí, nếu có thể):

a) $\dfrac{-3}{7} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} \cdot \left(-\dfrac{5}{14}\right) – \dfrac{18}{35}$;

b) $\left(\dfrac{2}{3} – \dfrac{5}{11} + \dfrac{1}{4}\right) : \left(1 + \dfrac{5}{12} – \dfrac{7}{11}\right)$;

c) $(13{,}6 – 37{,}8) \cdot (-3{,}2)$;

d) $(-25{,}4) \cdot (18{,}5 + 43{,}6 – 16{,}8) : 12{,}7$.

Lời giải:

a) Hai tích đầu có chung thừa số $\dfrac{2}{5}$, ta đặt $\dfrac{2}{5}$ làm nhân tử chung:

$$\dfrac{2}{5} \cdot \left(\dfrac{-3}{7} – \dfrac{5}{14}\right) – \dfrac{18}{35}.$$

Tính trong ngoặc: $\dfrac{-3}{7} = \dfrac{-6}{14}$, nên $\dfrac{-6}{14} – \dfrac{5}{14} = \dfrac{-11}{14}$. Thay vào:

$$\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{-11}{14} – \dfrac{18}{35} = \dfrac{-11}{35} – \dfrac{18}{35} = \dfrac{-29}{35}.$$

b) Ta tính riêng số bị chia và số chia.

Số bị chia: $\dfrac{2}{3} – \dfrac{5}{11} + \dfrac{1}{4}$. Quy đồng về mẫu chung $132$: $\dfrac{88}{132} – \dfrac{60}{132} + \dfrac{33}{132} = \dfrac{61}{132}$.

Số chia: $1 + \dfrac{5}{12} – \dfrac{7}{11}$. Quy đồng về mẫu chung $132$: $\dfrac{132}{132} + \dfrac{55}{132} – \dfrac{84}{132} = \dfrac{103}{132}$.

Thực hiện phép chia (nhân với phân số nghịch đảo):

$$\dfrac{61}{132} : \dfrac{103}{132} = \dfrac{61}{132} \cdot \dfrac{132}{103} = \dfrac{61}{103}.$$

c) Tính trong ngoặc trước: $13{,}6 – 37{,}8 = -24{,}2$. Khi đó:

$$(-24{,}2) \cdot (-3{,}2) = 77{,}44.$$

(Hai số cùng âm nên tích dương.)

d) Tính trong ngoặc: $18{,}5 + 43{,}6 – 16{,}8 = 62{,}1 – 16{,}8 = 45{,}3$. Biểu thức trở thành $(-25{,}4) \cdot 45{,}3 : 12{,}7$.

Để tính hợp lí, ta để ý $25{,}4 = 2 \cdot 12{,}7$, nên làm phép chia $(-25{,}4) : 12{,}7 = -2$ trước:

$$(-25{,}4) : 12{,}7 \cdot 45{,}3 = -2 \cdot 45{,}3 = -90{,}6.$$

Bài 7

Đề bài: Tính giá trị của các biểu thức sau (tính hợp lí, nếu có thể):

a) $\left(\dfrac{7}{3} + 3{,}5\right) : \left(-\dfrac{25}{6} + \dfrac{22}{7}\right) + 0{,}5$;

b) $\dfrac{38}{7} + (-3{,}25) – \dfrac{17}{7} + 4{,}55$.

Lời giải:

a) Ta tính từng phần.

Số bị chia: $\dfrac{7}{3} + 3{,}5 = \dfrac{7}{3} + \dfrac{7}{2} = \dfrac{14}{6} + \dfrac{21}{6} = \dfrac{35}{6}$.

Số chia: $-\dfrac{25}{6} + \dfrac{22}{7} = \dfrac{-175}{42} + \dfrac{132}{42} = \dfrac{-43}{42}$.

Thực hiện phép chia:

$$\dfrac{35}{6} : \dfrac{-43}{42} = \dfrac{35}{6} \cdot \dfrac{42}{-43} = \dfrac{35 \cdot 7}{-43} = \dfrac{-245}{43}.$$

Cộng thêm $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ (quy đồng về mẫu $86$):

$$\dfrac{-245}{43} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-490}{86} + \dfrac{43}{86} = \dfrac{-447}{86}.$$

b) Ta nhóm các phân số cùng mẫu và các số thập phân lại với nhau cho gọn:

$$\left(\dfrac{38}{7} – \dfrac{17}{7}\right) + \left[(-3{,}25) + 4{,}55\right].$$

Tính từng nhóm: $\dfrac{38}{7} – \dfrac{17}{7} = \dfrac{21}{7} = 3$ và $(-3{,}25) + 4{,}55 = 1{,}3$.

Vậy biểu thức bằng $3 + 1{,}3 = 4{,}3$.

Bài 8

Đề bài: Tìm $x$, biết:

a) $x : 1\dfrac{2}{7} = -3{,}5$;

b) $0{,}4 \cdot x – \dfrac{1}{5} \cdot x = \dfrac{3}{4}$.

Lời giải:

a) Đổi hỗn số: $1\dfrac{2}{7} = \dfrac{9}{7}$. Phương trình trở thành $x : \dfrac{9}{7} = -3{,}5$.

Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia:

$$x = -3{,}5 \cdot \dfrac{9}{7} = \dfrac{-7}{2} \cdot \dfrac{9}{7} = \dfrac{-9}{2} = -4{,}5.$$

b) Hai số hạng đều có chung thừa số $x$. Ta đổi $0{,}4 = \dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{1}{5}$ giữ nguyên, rồi đặt $x$ làm nhân tử chung:

$$\dfrac{2}{5} \cdot x – \dfrac{1}{5} \cdot x = \left(\dfrac{2}{5} – \dfrac{1}{5}\right) \cdot x = \dfrac{1}{5} \cdot x.$$

Vậy $\dfrac{1}{5} \cdot x = \dfrac{3}{4}$, suy ra:

$$x = \dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{4} \cdot 5 = \dfrac{15}{4} = 3{,}75.$$

Bài 9

Đề bài: Bốn thửa ruộng thu hoạch được tất cả $10{,}5$ tấn thóc. Số thóc thu hoạch ở ba thửa ruộng đầu lần lượt bằng $0{,}2$; $15\%$ và $\dfrac{2}{7}$ tổng số thóc thu được ở cả bốn thửa ruộng. Tính số thóc thu được ở thửa ruộng thứ tư.

Lời giải:

Tổng số thóc cả bốn thửa là $10{,}5$ tấn. Ta tính số thóc của ba thửa đầu (lấy tổng số thóc nhân với phân số/tỉ lệ tương ứng):

Thửa thứ nhất: $0{,}2 \cdot 10{,}5 = 2{,}1$ (tấn).

Thửa thứ hai: $15\% \cdot 10{,}5 = 0{,}15 \cdot 10{,}5 = 1{,}575$ (tấn).

Thửa thứ ba: $\dfrac{2}{7} \cdot 10{,}5 = \dfrac{2 \cdot 10{,}5}{7} = \dfrac{21}{7} = 3$ (tấn).

Số thóc ở thửa thứ tư bằng tổng số thóc trừ đi ba thửa đầu:

$$10{,}5 – (2{,}1 + 1{,}575 + 3) = 10{,}5 – 6{,}675 = 3{,}825 \text{ (tấn)}.$$

Vậy thửa ruộng thứ tư thu được $3{,}825$ tấn thóc.

Bài 10

Đề bài: Một người bán một tấm vải. Ngày thứ nhất, người đó bán được $25\%$ tấm vải và $15$ m; ngày thứ hai bán được $\dfrac{1}{3}$ số vải còn lại sau ngày thứ nhất và còn lại $28$ m. Hỏi tấm vải đó dài bao nhiêu mét?

Lời giải:

Gọi chiều dài tấm vải là $x$ (mét).

Ngày thứ nhất bán được $25\% \cdot x + 15 = \dfrac{1}{4}x + 15$ (mét). Vậy số vải còn lại sau ngày thứ nhất là:

$$x – \left(\dfrac{1}{4}x + 15\right) = \dfrac{3}{4}x – 15 \text{ (mét)}.$$

Ngày thứ hai bán $\dfrac{1}{3}$ số vải còn lại đó, nên số vải còn lại sau ngày thứ hai bằng $\dfrac{2}{3}$ số vải còn lại sau ngày thứ nhất. Theo đề, phần này bằng $28$ m:

$$\dfrac{2}{3} \cdot \left(\dfrac{3}{4}x – 15\right) = 28.$$

Suy ra:

$$\dfrac{3}{4}x – 15 = 28 : \dfrac{2}{3} = 28 \cdot \dfrac{3}{2} = 42.$$

Tiếp tục:

$$\dfrac{3}{4}x = 42 + 15 = 57 \quad \Rightarrow \quad x = 57 : \dfrac{3}{4} = 57 \cdot \dfrac{4}{3} = 76.$$

Vậy tấm vải đó dài $76$ mét.

(Kiểm tra: ngày 1 bán $25\% \cdot 76 + 15 = 19 + 15 = 34$ m, còn lại $76 – 34 = 42$ m; ngày 2 bán $\dfrac{1}{3} \cdot 42 = 14$ m, còn lại $42 – 14 = 28$ m. Đúng.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du