1. Cộng hai số nguyên cùng dấu

Hoạt động 1 (trang 62)

Đề bài: Từ gốc $O$ trên trục số, di chuyển sang trái $3$ đơn vị đến điểm $A$ (H.3.10). Điểm $A$ biểu diễn số nào?

Lời giải:

Trên trục số, di chuyển sang trái là đi theo chiều âm. Xuất phát từ gốc $O$ (số $0$), đi sang trái $3$ đơn vị thì đến điểm biểu diễn số $-3$.

Vậy điểm $A$ biểu diễn số $-3$.

Hoạt động 2 (trang 62)

Đề bài: Di chuyển tiếp sang trái thêm $5$ đơn vị đến điểm $B$ (H.3.11). $B$ chính là điểm biểu diễn kết quả của phép cộng $(-3) + (-5)$. Điểm $B$ biểu diễn số nào? Từ đó suy ra giá trị của tổng $(-3) + (-5)$.

Lời giải:

Ta đang ở điểm $A$ (số $-3$), tiếp tục đi sang trái thêm $5$ đơn vị. Đi sang trái $5$ đơn vị nữa nghĩa là số giảm thêm $5$, ta đến điểm biểu diễn số $-8$.

Vậy điểm $B$ biểu diễn số $-8$, và:

$$(-3) + (-5) = -8$$

Luyện tập 1 (trang 62)

Đề bài: Thực hiện các phép cộng sau: $(-12) + (-48)$; $(-236) + (-1\ 025)$.

Lời giải:

Hai số cùng âm, ta cộng phần số tự nhiên rồi đặt dấu “$-$” trước kết quả.

• $(-12) + (-48) = -(12 + 48) = -60$.
• $(-236) + (-1\ 025) = -(236 + 1\ 025) = -1\ 261$.

Vận dụng 1 (trang 63)

Đề bài: Một chiếc tàu ngầm cần lặn (coi là theo phương thẳng đứng) xuống điểm $A$ dưới đáy biển. Khi tàu đến điểm $B$ ở độ cao $-135$ m, máy đo báo rằng tàu còn cách $A$ một khoảng $45$ m. Hỏi điểm $A$ nằm ở độ cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

Tàu đang ở độ cao $-135$ m và phải lặn xuống thêm $45$ m nữa để tới $A$. “Lặn xuống thêm” nghĩa là đi xuống sâu hơn, tức cộng thêm $(-45)$:

$$(-135) + (-45)$$

Hai số cùng âm, ta cộng phần số tự nhiên: $135 + 45 = 180$, rồi đặt dấu âm:

$$= -180$$

Vậy điểm $A$ nằm ở độ cao $-180$ m so với mực nước biển.

2. Cộng hai số nguyên khác dấu

Câu hỏi (trang 63)

Đề bài: Tìm số đối của $4;\ -5;\ 9;\ -11$.

Lời giải:

Muốn tìm số đối của một số, ta chỉ việc đổi dấu của số đó.

• Số đối của $4$ là $-4$.
• Số đối của $-5$ là $5$.
• Số đối của $9$ là $-9$.
• Số đối của $-11$ là $11$.

Luyện tập 2 (trang 63)

Đề bài: Tìm số đối của mỗi số $5$ và $-2$ rồi biểu diễn chúng trên cùng một trục số.

Lời giải:

• Số đối của $5$ là $-5$.
• Số đối của $-2$ là $2$.

Trên trục số, hai số đối nhau nằm ở hai phía của gốc $O$ và cách đều gốc $O$. Cụ thể: $5$ và $-5$ cùng cách $O$ là $5$ đơn vị; $-2$ và $2$ cùng cách $O$ là $2$ đơn vị.

Hoạt động 3 (trang 63)

Đề bài: Từ điểm $A$ biểu diễn số $-5$ trên trục số di chuyển sang phải $3$ đơn vị (H.3.15) đến điểm $B$. Điểm $B$ biểu diễn kết quả phép cộng nào?

Lời giải:

Di chuyển sang phải $3$ đơn vị nghĩa là cộng thêm $3$. Xuất phát từ điểm $A$ (số $-5$), điểm $B$ chính là kết quả của phép cộng:

$$(-5) + 3$$

Đi từ $-5$ sang phải $3$ đơn vị, ta đến số $-2$. Vậy điểm $B$ biểu diễn số $-2$, tức là $(-5) + 3 = -2$.

Hoạt động 4 (trang 63)

Đề bài: Từ điểm $A$ di chuyển sang phải $8$ đơn vị (H.3.16) đến điểm $C$. Điểm $C$ biểu diễn kết quả của phép cộng nào?

Lời giải:

Điểm $A$ vẫn biểu diễn số $-5$. Di chuyển sang phải $8$ đơn vị nghĩa là cộng thêm $8$. Vậy điểm $C$ là kết quả của phép cộng:

$$(-5) + 8$$

Đi từ $-5$ sang phải $8$ đơn vị, ta đến số $3$. Vậy điểm $C$ biểu diễn số $3$, tức là $(-5) + 8 = 3$.

Luyện tập 3 (trang 64)

Đề bài: Thực hiện phép tính: a) $203 + (-195)$; b) $(-137) + 86$.

Lời giải:

Hai số khác dấu: ta lấy phần số tự nhiên lớn trừ nhỏ, rồi đặt dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.

a) Phần số tự nhiên là $203$ và $195$. Lấy $203 – 195 = 8$. Vì $203 > 195$ nên kết quả mang dấu dương:

$$203 + (-195) = 8$$

b) Phần số tự nhiên là $137$ và $86$. Lấy $137 – 86 = 51$. Vì $137 > 86$ nên kết quả mang dấu âm:

$$(-137) + 86 = -51$$

Vận dụng 2 (trang 64)

Đề bài: Một máy thăm dò đáy biển ngày hôm trước hoạt động ở độ cao $-946$ m (so với mực nước biển). Ngày hôm sau người ta cho máy nổi lên $55$ m so với hôm trước. Hỏi ngày hôm sau máy thăm dò đáy biển hoạt động ở độ cao nào?

Lời giải:

Máy đang ở độ cao $-946$ m. “Nổi lên $55$ m” nghĩa là đi lên cao hơn, tức cộng thêm $55$ (số dương):

$$(-946) + 55$$

Hai số khác dấu, lấy phần số tự nhiên lớn trừ nhỏ: $946 – 55 = 891$. Vì $946 > 55$ nên kết quả mang dấu âm:

$$= -891$$

Vậy ngày hôm sau máy thăm dò hoạt động ở độ cao $-891$ m so với mực nước biển.

Tranh luận (trang 64)

Đề bài: Đố bạn: tổng của hai số nguyên khác dấu là số dương hay số âm? Em hãy trả lời giúp Vuông.

Lời giải:

Không thể khẳng định ngay tổng đó là dương hay âm. Tổng của hai số nguyên khác dấu có thể là số dương, số âm, hoặc bằng $0$, tuỳ thuộc phần số tự nhiên nào lớn hơn:

• Nếu số dương có phần số lớn hơn → tổng là số dương. Ví dụ: $5 + (-3) = 2$.
• Nếu số âm có phần số lớn hơn → tổng là số âm. Ví dụ: $(-5) + 3 = -2$.
• Nếu hai số là số đối của nhau → tổng bằng $0$. Ví dụ: $5 + (-5) = 0$.

3. Tính chất của phép cộng

Hoạt động 5 (trang 64)

Đề bài: Tính và so sánh giá trị của $a + b$ và $b + a$ với $a = -7,\ b = 11$.

Lời giải:

• $a + b = (-7) + 11 = 11 – 7 = 4$.
• $b + a = 11 + (-7) = 11 – 7 = 4$.

Hai kết quả bằng nhau, nên $a + b = b + a$ (cùng bằng $4$). Đây chính là tính chất giao hoán của phép cộng.

Hoạt động 6 (trang 64)

Đề bài: Tính và so sánh giá trị của $(a + b) + c$ và $a + (b + c)$ với $a = 2,\ b = -4,\ c = -6$.

Lời giải:

• $(a + b) + c = \left[2 + (-4)\right] + (-6) = (-2) + (-6) = -8$.
• $a + (b + c) = 2 + \left[(-4) + (-6)\right] = 2 + (-10) = -8$.

Hai kết quả bằng nhau, nên $(a + b) + c = a + (b + c)$ (cùng bằng $-8$). Đây chính là tính chất kết hợp của phép cộng.

Luyện tập 4 (trang 65)

Đề bài: Tính một cách hợp lí: a) $(-2\ 019) + (-550) + (-451)$; b) $(-2) + 5 + (-6) + 9$.

Lời giải:

a) Cả ba số đều âm. Ta nhóm hai số $(-550)$ và $(-451)$ lại cho dễ cộng:

$$(-2\ 019) + (-550) + (-451) = (-2\ 019) + \left[(-550) + (-451)\right]$$

$$= (-2\ 019) + (-1\ 001) = -(2\ 019 + 1\ 001) = -3\ 020$$

b) Ta nhóm riêng các số âm với nhau, các số dương với nhau (tính chất giao hoán và kết hợp):

$$(-2) + 5 + (-6) + 9 = \left[(-2) + (-6)\right] + \left[5 + 9\right]$$

$$= (-8) + 14 = 14 – 8 = 6$$

4. Trừ hai số nguyên

Hoạt động 7 (trang 65)

Đề bài: Nửa tháng đầu một cửa hàng bán lẻ lãi được $5$ triệu đồng, nửa tháng sau bị lỗ $2$ triệu đồng. Hỏi tháng đó cửa hàng lãi hay lỗ bao nhiêu triệu đồng? Giải bằng hai cách.

Lời giải:

Cách 1 — Tính hiệu giữa số tiền lãi và số tiền lỗ:

$$5 – 2 = 3 \text{ (triệu đồng)}$$

Cách 2 — Hiểu “lỗ $2$ triệu” là “lãi $-2$ triệu” để quy về tính tổng:

$$5 + (-2) = 5 – 2 = 3 \text{ (triệu đồng)}$$

Cả hai cách đều cho cùng kết quả. Vậy tháng đó cửa hàng lãi $3$ triệu đồng.

Hoạt động 8 (trang 65)

Đề bài: Hãy quan sát ba dòng đầu và dự đoán kết quả ở hai dòng cuối:

$$3 – 1 = 3 + (-1); \quad 3 – 2 = 3 + (-2); \quad 3 – 3 = 3 + (-3); \quad 3 – 4 = \ ?; \quad 3 – 5 = \ ?$$

Lời giải:

Quan sát ba dòng đầu, ta thấy quy luật: phép trừ một số được đổi thành phép cộng với số đối của số đó. Áp dụng cho hai dòng cuối:

• $3 – 4 = 3 + (-4) = -(4 – 3) = -1$.
• $3 – 5 = 3 + (-5) = -(5 – 3) = -2$.

Luyện tập 5 (trang 66)

Đề bài: Tính các hiệu sau: a) $5 – (-3)$; b) $(-7) – 8$.

Lời giải:

Muốn trừ một số, ta cộng với số đối của số đó.

a) Số đối của $-3$ là $3$:

$$5 – (-3) = 5 + 3 = 8$$

b) Số đối của $8$ là $-8$:

$$(-7) – 8 = (-7) + (-8) = -(7 + 8) = -15$$

Vận dụng 3 (trang 66)

Đề bài: Nhiệt độ bên ngoài của một máy bay ở độ cao $10\ 000$ m là $-48,°C$. Khi hạ cánh, nhiệt độ ở sân bay là $27,°C$. Hỏi nhiệt độ bên ngoài của máy bay khi ở độ cao $10\ 000$ m và khi hạ cánh chênh lệch bao nhiêu độ C?

Lời giải:

Chênh lệch nhiệt độ = nhiệt độ cao hơn trừ nhiệt độ thấp hơn:

$$27 – (-48) = 27 + 48 = 75\ (°C)$$

Vậy nhiệt độ chênh lệch nhau $75,°C$.

Bài tập (trang 66)

Bài 3.9 (trang 66)

Đề bài: Tính tổng hai số cùng dấu: a) $(-7) + (-2)$; b) $(-8) + (-5)$; c) $(-11) + (-7)$; d) $(-6) + (-15)$.

Lời giải:

Hai số cùng âm: cộng phần số tự nhiên rồi đặt dấu “$-$”.

• a) $(-7) + (-2) = -(7 + 2) = -9$.
• b) $(-8) + (-5) = -(8 + 5) = -13$.
• c) $(-11) + (-7) = -(11 + 7) = -18$.
• d) $(-6) + (-15) = -(6 + 15) = -21$.

Bài 3.10 (trang 66)

Đề bài: Tính tổng hai số khác dấu: a) $6 + (-2)$; b) $9 + (-3)$; c) $(-10) + 4$; d) $(-1) + 8$.

Lời giải:

Hai số khác dấu: lấy phần số tự nhiên lớn trừ nhỏ, đặt dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.

• a) $6 + (-2) = 6 – 2 = 4$ (dấu dương vì $6 > 2$).
• b) $9 + (-3) = 9 – 3 = 6$ (dấu dương vì $9 > 3$).
• c) $(-10) + 4 = -(10 – 4) = -6$ (dấu âm vì $10 > 4$).
• d) $(-1) + 8 = 8 – 1 = 7$ (dấu dương vì $8 > 1$).

Bài 3.11 (trang 66)

Đề bài: Biểu diễn $-4$ và số đối của nó trên cùng một trục số.

Lời giải:

Số đối của $-4$ là $4$. Trên trục số, hai số $-4$ và $4$ nằm ở hai phía của gốc $O$ và cùng cách $O$ là $4$ đơn vị.

Bài 3.12 (trang 66)

Đề bài: Thực hiện các phép trừ sau: a) $9 – (-2)$; b) $(-7) – 4$; c) $27 – 30$; d) $(-63) – (-15)$.

Lời giải:

Đổi mỗi phép trừ thành phép cộng với số đối, rồi tính.

• a) $9 – (-2) = 9 + 2 = 11$.
• b) $(-7) – 4 = (-7) + (-4) = -(7 + 4) = -11$.
• c) $27 – 30 = 27 + (-30) = -(30 – 27) = -3$.
• d) $(-63) – (-15) = (-63) + 15 = -(63 – 15) = -48$.

Bài 3.13 (trang 66)

Đề bài: Hai ca nô cùng xuất phát từ $C$ đi về phía $A$ hoặc $B$ như hình vẽ. Ta quy ước chiều từ $C$ đến $B$ là chiều dương (nghĩa là vận tốc và quãng đường đi từ $C$ về phía $B$ được biểu thị bằng số dương và theo chiều ngược lại là số âm). Hỏi sau một giờ hai ca nô cách nhau bao nhiêu kilômét nếu vận tốc của chúng lần lượt là: a) $11$ km/h và $6$ km/h? b) $11$ km/h và $-6$ km/h?

Lời giải:

Sau $1$ giờ, quãng đường mỗi ca nô đi được (kèm dấu chỉ chiều) đúng bằng vận tốc của nó. Ta lấy $C$ làm mốc ($0$), vị trí mỗi ca nô là một số nguyên. Khoảng cách giữa hai ca nô bằng hiệu giữa hai vị trí (số lớn trừ số nhỏ).

a) Vận tốc $11$ km/h và $6$ km/h đều dương, nên sau $1$ giờ:

• Ca nô thứ nhất ở vị trí $+11$ (cách $C$ $11$ km về phía $B$).
• Ca nô thứ hai ở vị trí $+6$ (cách $C$ $6$ km về phía $B$).

Hai ca nô cùng đi về phía $B$, khoảng cách giữa chúng:

$$11 – 6 = 5 \text{ (km)}$$

b) Vận tốc $11$ km/h (dương) và $-6$ km/h (âm), nên sau $1$ giờ:

• Ca nô thứ nhất ở vị trí $+11$ (về phía $B$).
• Ca nô thứ hai ở vị trí $-6$ (đi ngược về phía $A$).

Khoảng cách giữa hai ca nô:

$$11 – (-6) = 11 + 6 = 17 \text{ (km)}$$

Bài 3.14 (trang 66)

Đề bài: Mỗi hình sau đây mô phỏng phép tính nào? (Tất cả đều xuất phát từ gốc $O$.)

Lời giải:

Cách đọc hình: mỗi mũi tên ứng với một lần di chuyển — mũi tên sang phải là cộng một số dương, mũi tên sang trái là cộng một số âm (tức trừ đi một số). Bắt đầu từ gốc $O$ (số $0$), nối tiếp các mũi tên, điểm dừng cuối cùng chính là kết quả.

a) Xuất phát từ $O$, đi sang trái $5$ đơn vị (đến $-5$), rồi đi sang phải $3$ đơn vị (đến $-2$). Hình vẽ mô tả phép tính:

$$0 – 5 + 3 = -2$$

b) Xuất phát từ $O$, đi sang phải $2$ đơn vị (đến $2$), rồi đi sang trái $5$ đơn vị (đến $-3$). Hình vẽ mô tả phép tính:

$$0 + 2 – 5 = -3$$

Bài 3.15 (trang 66)

Đề bài: Tính nhẩm: a) $(-3) + (-2)$; b) $(-8) – 7$; c) $(-35) + (-15)$; d) $12 – (-8)$.

Lời giải:

• a) $(-3) + (-2) = -(3 + 2) = -5$.
• b) $(-8) – 7 = (-8) + (-7) = -(8 + 7) = -15$.
• c) $(-35) + (-15) = -(35 + 15) = -50$.
• d) $12 – (-8) = 12 + 8 = 20$.

Bài 3.16 (trang 66)

Đề bài: Tính một cách hợp lí: a) $152 + (-73) – (-18) – 127$; b) $7 + 8 + (-9) + (-10)$.

Lời giải:

a) Trước hết, đổi các phép trừ thành phép cộng với số đối:

$$152 + (-73) – (-18) – 127 = 152 + (-73) + 18 + (-127)$$

Nhóm các số dương với nhau, các số âm với nhau:

$$= \left[152 + 18\right] + \left[(-73) + (-127)\right]$$

$$= 170 + (-200) = -(200 – 170) = -30$$

b) Nhóm các số dương với nhau, các số âm với nhau:

$$7 + 8 + (-9) + (-10) = \left[7 + 8\right] + \left[(-9) + (-10)\right]$$

$$= 15 + (-19) = -(19 – 15) = -4$$

Bài 3.17 (trang 66)

Đề bài: Tính giá trị của biểu thức $(-156) – x$, khi: a) $x = -26$; b) $x = 76$; c) $x = (-28) – (-143)$.

Lời giải:

Ta thay giá trị của $x$ vào biểu thức rồi tính.

a) Với $x = -26$:

$$(-156) – (-26) = (-156) + 26 = -(156 – 26) = -130$$

b) Với $x = 76$:

$$(-156) – 76 = (-156) + (-76) = -(156 + 76) = -232$$

c) Trước hết tính giá trị của $x$:

$$x = (-28) – (-143) = (-28) + 143 = 143 – 28 = 115$$

Sau đó thay vào biểu thức:

$$(-156) – 115 = (-156) + (-115) = -(156 + 115) = -271$$

Bài 3.18 (trang 66)

Đề bài: Thay mỗi dấu “$*$” bằng một chữ số thích hợp để có:

a) $\left(-\overline{6*}\right) + (-34) = -100$;

b) $(-789) + \overline{2**} = -515$.

Lời giải:

a) Vế trái là tổng của hai số âm, nên bằng $-\left(\overline{6*} + 34\right)$. Để bằng $-100$ thì:

$$\overline{6*} + 34 = 100 \ \Rightarrow\ \overline{6*} = 100 – 34 = 66$$

Vậy số $\overline{6*}$ là $66$, tức là dấu “$*$” được thay bằng chữ số $6$.

(Thử lại: $(-66) + (-34) = -(66 + 34) = -100$ — đúng.)

b) Ta tìm số $\overline{2**}$. Vì $(-789) + \overline{2**} = -515$ nên:

$$\overline{2**} = (-515) – (-789) = (-515) + 789 = 789 – 515 = 274$$

Vậy số $\overline{2**}$ là $274$, tức là hai dấu “$*$” lần lượt được thay bằng chữ số $7$ và $4$.

(Thử lại: $(-789) + 274 = -(789 – 274) = -515$ — đúng.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du