1. Phép cộng hai phân số

Hoạt động 1 (trang 15)

Đề bài: Em hãy nhắc lại quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu (có tử và mẫu dương) rồi tính các tổng $\dfrac{8}{11} + \dfrac{3}{11}$ và $\dfrac{9}{12} + \dfrac{11}{12}$.

Lời giải:

Nhắc lại quy tắc: Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

Áp dụng:

$$\dfrac{8}{11} + \dfrac{3}{11} = \dfrac{8 + 3}{11} = \dfrac{11}{11} = 1.$$

$$\dfrac{9}{12} + \dfrac{11}{12} = \dfrac{9 + 11}{12} = \dfrac{20}{12} = \dfrac{20 : 4}{12 : 4} = \dfrac{5}{3}.$$

(Ở tổng thứ hai, ta rút gọn $\dfrac{20}{12}$ cho ước chung $4$.)

Luyện tập 1 (trang 16)

Đề bài: Tính $\dfrac{-7}{12} + \dfrac{5}{12}$; $\ \dfrac{-8}{11} + \dfrac{-19}{11}$.

Lời giải:

Hai phân số trong mỗi câu đều cùng mẫu, ta cộng tử và giữ nguyên mẫu.

$$\dfrac{-7}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{(-7) + 5}{12} = \dfrac{-2}{12} = \dfrac{(-2) : 2}{12 : 2} = \dfrac{-1}{6}.$$

$$\dfrac{-8}{11} + \dfrac{-19}{11} = \dfrac{(-8) + (-19)}{11} = \dfrac{-27}{11}.$$

(Phân số $\dfrac{-27}{11}$ đã tối giản.)

Hoạt động 2 (trang 16)

Đề bài: Để thực hiện phép cộng $\dfrac{5}{7} + \dfrac{-3}{4}$, em hãy quy đồng mẫu hai phân số rồi dùng quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu.

Lời giải:

Bước 1 – Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(7, 4) = 28$. Thừa số phụ: $28 : 7 = 4$ và $28 : 4 = 7$.

$$\dfrac{5}{7} = \dfrac{5 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{20}{28}; \qquad \dfrac{-3}{4} = \dfrac{(-3) \times 7}{4 \times 7} = \dfrac{-21}{28}.$$

Bước 2 – Cộng hai phân số cùng mẫu:

$$\dfrac{20}{28} + \dfrac{-21}{28} = \dfrac{20 + (-21)}{28} = \dfrac{-1}{28}.$$

Vậy $\dfrac{5}{7} + \dfrac{-3}{4} = \dfrac{-1}{28}$.

Luyện tập 2 (trang 16)

Đề bài: Tính $\dfrac{-5}{8} + \dfrac{-7}{20}$.

Lời giải:

Hai phân số khác mẫu. Quy đồng mẫu: $\text{BCNN}(8, 20) = 40$. Thừa số phụ: $40 : 8 = 5$ và $40 : 20 = 2$.

$$\dfrac{-5}{8} = \dfrac{(-5) \times 5}{8 \times 5} = \dfrac{-25}{40}; \qquad \dfrac{-7}{20} = \dfrac{(-7) \times 2}{20 \times 2} = \dfrac{-14}{40}.$$

Cộng hai phân số cùng mẫu:

$$\dfrac{-25}{40} + \dfrac{-14}{40} = \dfrac{(-25) + (-14)}{40} = \dfrac{-39}{40}.$$

Hoạt động 3 (trang 16)

Đề bài: Tính các tổng $\dfrac{1}{2} + \dfrac{-1}{2}$; $\ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{-2}$. Em có nhận xét gì về các kết quả nhận được?

Lời giải:

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{-1}{2} = \dfrac{1 + (-1)}{2} = \dfrac{0}{2} = 0.$$

Với tổng thứ hai, trước hết đưa $\dfrac{1}{-2}$ về mẫu dương: $\dfrac{1}{-2} = \dfrac{-1}{2}$. Khi đó:

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{-1}{2} = \dfrac{1 + (-1)}{2} = 0.$$

Nhận xét: Cả hai tổng đều bằng $0$. Như vậy $\dfrac{-1}{2}$ và $\dfrac{1}{-2}$ đều là số đối của $\dfrac{1}{2}$.

Luyện tập 3 (trang 16)

Đề bài: Tìm số đối của các số sau: $\dfrac{1}{3}$; $\ \dfrac{-1}{3}$ và $\dfrac{4}{-5}$.

Lời giải:

Số đối của một phân số là phân số có tổng với nó bằng $0$ (đổi dấu tử hoặc mẫu là được).

• Số đối của $\dfrac{1}{3}$ là $-\dfrac{1}{3} = \dfrac{-1}{3}$.
• Số đối của $\dfrac{-1}{3}$ là $\dfrac{1}{3}$.
• Phân số $\dfrac{4}{-5}$ đưa về mẫu dương là $\dfrac{-4}{5}$, nên số đối của nó là $\dfrac{4}{5}$.

2. Tính chất của phép cộng phân số

Luyện tập 4 (trang 17)

Đề bài: Tính một cách hợp lí: $B = \dfrac{-1}{9} + \dfrac{8}{7} + \dfrac{10}{9} + \dfrac{-29}{7}$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp, ta nhóm các phân số có cùng mẫu lại với nhau:

$$B = \left(\dfrac{-1}{9} + \dfrac{10}{9}\right) + \left(\dfrac{8}{7} + \dfrac{-29}{7}\right).$$

Tính từng nhóm:

$$\dfrac{-1}{9} + \dfrac{10}{9} = \dfrac{(-1) + 10}{9} = \dfrac{9}{9} = 1;$$

$$\dfrac{8}{7} + \dfrac{-29}{7} = \dfrac{8 + (-29)}{7} = \dfrac{-21}{7} = -3.$$

Vậy $B = 1 + (-3) = -2$.

3. Phép trừ hai phân số

Hoạt động 4 (trang 17)

Đề bài: Em hãy nhắc lại quy tắc trừ hai phân số cùng mẫu (cả tử và mẫu đều dương) rồi tính các hiệu $\dfrac{7}{13} – \dfrac{5}{13}$ và $\dfrac{3}{4} – \dfrac{1}{5}$.

Lời giải:

Nhắc lại quy tắc: Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử của phân số thứ nhất trừ đi tử của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu.

Hiệu thứ nhất (cùng mẫu):

$$\dfrac{7}{13} – \dfrac{5}{13} = \dfrac{7 – 5}{13} = \dfrac{2}{13}.$$

Hiệu thứ hai (khác mẫu) – quy đồng trước: $\text{BCNN}(4, 5) = 20$.

$$\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}; \qquad \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{20}.$$

$$\dfrac{3}{4} – \dfrac{1}{5} = \dfrac{15}{20} – \dfrac{4}{20} = \dfrac{15 – 4}{20} = \dfrac{11}{20}.$$

Luyện tập 5 (trang 18)

Đề bài: Tính: a) $\dfrac{3}{5} – \dfrac{-1}{3}$; b) $(-3) – \dfrac{2}{7}$.

Lời giải:

a) Trừ một phân số bằng cộng với số đối của nó: $\dfrac{3}{5} – \dfrac{-1}{3} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}$.

Quy đồng mẫu $\text{BCNN}(5, 3) = 15$:

$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{9 + 5}{15} = \dfrac{14}{15}.$$

b) Viết số nguyên $-3$ dưới dạng phân số: $-3 = \dfrac{-3}{1}$. Quy đồng về mẫu $7$:

$$-3 = \dfrac{-3 \times 7}{1 \times 7} = \dfrac{-21}{7}.$$

Khi đó:

$$(-3) – \dfrac{2}{7} = \dfrac{-21}{7} – \dfrac{2}{7} = \dfrac{-21 – 2}{7} = \dfrac{-23}{7}.$$

Thử thách nhỏ (trang 18)

Đề bài: Thay dấu “?” bằng các phân số thích hợp để hoàn thiện sơ đồ, biết số trong mỗi ô ở hàng trên bằng tổng của hai số kề nó trong hai ô ở hàng dưới.

Lời giải:

Sơ đồ có $3$ hàng. Hàng dưới cùng (từ trái sang phải) là $\dfrac{1}{25};\ \dfrac{-6}{25};\ ?$. Hàng giữa là $?;\ \dfrac{8}{25}$. Hàng trên cùng là $?$. Ta điền dần từ dưới lên, dùng quy tắc: ô trên $=$ tổng hai ô kề nó ở hàng dưới.

Ô giữa bên trái (hàng giữa) $=$ tổng hai ô đầu hàng dưới:

$$\dfrac{1}{25} + \dfrac{-6}{25} = \dfrac{1 + (-6)}{25} = \dfrac{-5}{25} = \dfrac{-1}{5}.$$

Ô “?” cuối hàng dưới: Ô $\dfrac{8}{25}$ ở hàng giữa bằng tổng của $\dfrac{-6}{25}$ và ô cuối hàng dưới. Gọi ô cần tìm là $c$, ta có $\dfrac{-6}{25} + c = \dfrac{8}{25}$, suy ra:

$$c = \dfrac{8}{25} – \dfrac{-6}{25} = \dfrac{8}{25} + \dfrac{6}{25} = \dfrac{14}{25}.$$

Ô trên cùng $=$ tổng hai ô ở hàng giữa:

$$\dfrac{-5}{25} + \dfrac{8}{25} = \dfrac{(-5) + 8}{25} = \dfrac{3}{25}.$$

Tóm lại: ô giữa bên trái là $\dfrac{-5}{25}\left(= \dfrac{-1}{5}\right)$, ô cuối hàng dưới là $\dfrac{14}{25}$, ô trên cùng là $\dfrac{3}{25}$.

Bài tập (trang 18)

Bài 6.21 (trang 18)

Đề bài: Tính: a) $\dfrac{-1}{13} + \dfrac{9}{13}$; b) $\dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{12}$.

Lời giải:

a) Hai phân số cùng mẫu:

$$\dfrac{-1}{13} + \dfrac{9}{13} = \dfrac{(-1) + 9}{13} = \dfrac{8}{13}.$$

b) Khác mẫu, quy đồng $\text{BCNN}(8, 12) = 24$. Thừa số phụ: $24 : 8 = 3$ và $24 : 12 = 2$.

$$\dfrac{-3}{8} = \dfrac{-9}{24}; \qquad \dfrac{5}{12} = \dfrac{10}{24}.$$

$$\dfrac{-3}{8} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{-9}{24} + \dfrac{10}{24} = \dfrac{(-9) + 10}{24} = \dfrac{1}{24}.$$

Bài 6.22 (trang 18)

Đề bài: Tìm số đối của các phân số sau: $\dfrac{-3}{7};\ \dfrac{6}{13};\ \dfrac{4}{-3}$.

Lời giải:

• Số đối của $\dfrac{-3}{7}$ là $\dfrac{3}{7}$.
• Số đối của $\dfrac{6}{13}$ là $\dfrac{-6}{13}$.
• Phân số $\dfrac{4}{-3}$ đưa về mẫu dương là $\dfrac{-4}{3}$, nên số đối của nó là $\dfrac{4}{3}$.

Bài 6.23 (trang 18)

Đề bài: Tính: a) $\dfrac{-5}{3} – \dfrac{-7}{3}$; b) $\dfrac{5}{6} – \dfrac{8}{9}$.

Lời giải:

a) Hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử trừ tử:

$$\dfrac{-5}{3} – \dfrac{-7}{3} = \dfrac{(-5) – (-7)}{3} = \dfrac{(-5) + 7}{3} = \dfrac{2}{3}.$$

b) Khác mẫu, quy đồng $\text{BCNN}(6, 9) = 18$:

$$\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}; \qquad \dfrac{8}{9} = \dfrac{16}{18}.$$

$$\dfrac{5}{6} – \dfrac{8}{9} = \dfrac{15}{18} – \dfrac{16}{18} = \dfrac{15 – 16}{18} = \dfrac{-1}{18}.$$

Bài 6.24 (trang 18)

Đề bài: Tính một cách hợp lí: $A = \left(\dfrac{-3}{11}\right) + \dfrac{11}{8} – \dfrac{3}{8} + \left(\dfrac{-8}{11}\right)$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp, ta nhóm các phân số có cùng mẫu:

$$A = \left(\dfrac{-3}{11} + \dfrac{-8}{11}\right) + \left(\dfrac{11}{8} – \dfrac{3}{8}\right).$$

Tính từng nhóm:

$$\dfrac{-3}{11} + \dfrac{-8}{11} = \dfrac{(-3) + (-8)}{11} = \dfrac{-11}{11} = -1;$$

$$\dfrac{11}{8} – \dfrac{3}{8} = \dfrac{11 – 3}{8} = \dfrac{8}{8} = 1.$$

Vậy $A = (-1) + 1 = 0$.

Bài 6.25 (trang 18)

Đề bài: Chị Chi mới đi làm và nhận được tháng lương đầu tiên. Chị quyết định dùng $\dfrac{2}{5}$ số tiền đó để chi tiêu trong tháng, dành $\dfrac{1}{4}$ số tiền để mua quà biếu bố mẹ. Tìm số phần tiền lương còn lại của chị Chi.

Lời giải:

Coi toàn bộ tiền lương là $1$ (tức $1$ đơn vị). Số phần tiền còn lại bằng $1$ trừ đi phần đã chi tiêu và phần mua quà:

$$\text{Còn lại} = 1 – \dfrac{2}{5} – \dfrac{1}{4}.$$

Quy đồng về mẫu chung $\text{BCNN}(5, 4) = 20$, với $1 = \dfrac{20}{20}$:

$$\text{Còn lại} = \dfrac{20}{20} – \dfrac{8}{20} – \dfrac{5}{20} = \dfrac{20 – 8 – 5}{20} = \dfrac{7}{20}.$$

Kết luận: Số phần tiền lương còn lại của chị Chi là $\dfrac{7}{20}$.

Bài 6.26 (trang 18)

Đề bài: Mai tự nhẩm tính về thời gian biểu của mình trong một ngày thì thấy: $\dfrac{1}{3}$ thời gian là dành cho việc học ở trường; $\dfrac{1}{24}$ thời gian dành cho các hoạt động ngoại khóa; $\dfrac{7}{16}$ thời gian dành cho hoạt động ăn, ngủ. Còn lại là thời gian dành cho các công việc cá nhân khác. Hỏi: a) Mai đã dành bao nhiêu phần thời gian trong ngày cho việc học ở trường và hoạt động ngoại khóa? b) Mai đã dành bao nhiêu phần thời gian trong ngày cho các công việc cá nhân khác?

Lời giải:

Coi cả ngày là $1$ (tức $1$ đơn vị thời gian).

a) Phần thời gian cho việc học ở trường và hoạt động ngoại khóa:

$$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{24}.$$

Quy đồng về mẫu $\text{BCNN}(3, 24) = 24$, với $\dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{24}$:

$$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{8}{24} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}.$$

Vậy Mai dành $\dfrac{3}{8}$ thời gian trong ngày cho việc học ở trường và hoạt động ngoại khóa.

b) Phần thời gian cho công việc cá nhân khác bằng cả ngày trừ đi ba phần đã biết (học ở trường, ngoại khóa, ăn ngủ):

$$\text{Còn lại} = 1 – \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{7}{16}\right).$$

Quy đồng ba phân số về mẫu chung. Viết các mẫu thành tích thừa số nguyên tố: $3 = 3$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $16 = 2^4$. Lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất: $\text{BCNN} = 2^4 \cdot 3 = 48$.

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{48}; \qquad \dfrac{1}{24} = \dfrac{2}{48}; \qquad \dfrac{7}{16} = \dfrac{21}{48}.$$

Tổng ba phần:

$$\dfrac{16}{48} + \dfrac{2}{48} + \dfrac{21}{48} = \dfrac{16 + 2 + 21}{48} = \dfrac{39}{48}.$$

Phần còn lại (với $1 = \dfrac{48}{48}$):

$$\text{Còn lại} = \dfrac{48}{48} – \dfrac{39}{48} = \dfrac{9}{48} = \dfrac{3}{16}.$$

Kết luận: Mai dành $\dfrac{3}{16}$ thời gian trong ngày cho các công việc cá nhân khác.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du