1. Điểm thuộc, không thuộc đường thẳng

Câu hỏi 1 (trang 44)

Đề bài: Trong Hình 8.2, những điểm nào thuộc đường thẳng $d$, điểm nào không thuộc đường thẳng $d$?

Lời giải:

Quan sát Hình 8.2, ta xác định vị trí từng điểm so với đường thẳng $d$:

Điểm $A$ và điểm $B$ nằm ngay trên đường thẳng $d$, nên hai điểm này thuộc đường thẳng $d$.

Điểm $C$ nằm ngoài đường thẳng $d$, nên điểm này không thuộc đường thẳng $d$.

Viết bằng kí hiệu:

$$A \in d; \qquad B \in d; \qquad C \notin d.$$

Hoạt động 1 (trang 44)

Đề bài: Đánh dấu hai điểm phân biệt $A$, $B$ trên một tờ giấy trắng.

– Dùng bút chì vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$.

– Tiếp tục dùng bút mực vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$.

Em có nhận xét gì về hai đường thẳng vừa vẽ?

Lời giải:

Khi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$ bằng bút chì rồi lại vẽ bằng bút mực, ta thấy nét bút mực nằm chồng khít lên nét bút chì. Nghĩa là hai lần vẽ chỉ cho ra cùng một đường thẳng.

Nhận xét: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Câu hỏi 2 (trang 45)

Đề bài: Hình 8.4 có bao nhiêu đường thẳng? Hãy đọc tên các đường thẳng đó.

Lời giải:

Quan sát Hình 8.4, ta thấy có ba điểm $A$, $B$, $C$ và các đường thẳng nối từng cặp điểm. Nối từng cặp hai điểm, ta được:

Đường thẳng đi qua $A$ và $B$: đường thẳng $AB$.

Đường thẳng đi qua $B$ và $C$: đường thẳng $BC$.

Đường thẳng đi qua $A$ và $C$: đường thẳng $AC$.

Vậy Hình 8.4 có tất cả $3$ đường thẳng: $AB$, $BC$ và $AC$.

2. Ba điểm thẳng hàng

Hoạt động 2 (trang 45)

Đề bài: Một người nhìn qua các lỗ hổng được khoét trên các tấm bìa và thấy ngọn nến như Hình 8.5. Em thấy các lỗ hổng có cùng nằm trên một đường thẳng không?

Lời giải:

Vì người đó nhìn xuyên qua tất cả các lỗ hổng và vẫn thấy được ngọn nến phía sau, nên ánh sáng từ ngọn nến đi theo một đường thẳng qua hết các lỗ hổng đến mắt người nhìn.

Điều đó chứng tỏ các lỗ hổng cùng nằm trên một đường thẳng (tức là chúng thẳng hàng).

Câu hỏi 3 (trang 45)

Đề bài: Em hãy kể tên hai bộ ba điểm thẳng hàng trong Hình 8.7.

Lời giải:

Quan sát Hình 8.7, hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $B$. Trên mỗi đường thẳng có ba điểm cùng nằm trên đó:

Bộ ba điểm $D$, $B$, $E$ cùng nằm trên một đường thẳng nên thẳng hàng.

Bộ ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường thẳng nên thẳng hàng.

Vậy hai bộ ba điểm thẳng hàng là: $(D, B, E)$ và $(A, B, C)$.

Luyện tập 1 (trang 45)

Đề bài: Em hãy dùng thước thẳng để kiểm tra trong Hình 8.8:

a) Ba điểm $A$, $B$, $C$ có thẳng hàng không?

b) Ba điểm $M$, $N$, $P$ có thẳng hàng không?

Lời giải:

Cách kiểm tra: đặt mép thước thẳng đi qua hai trong ba điểm, rồi xem điểm thứ ba có nằm trên mép thước không.

a) Đặt thước qua $A$ và $B$, ta thấy điểm $C$ cũng nằm trên mép thước. Vậy ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

b) Đặt thước qua $M$ và $N$, ta thấy điểm $P$ không nằm trên mép thước. Vậy ba điểm $M$, $N$, $P$ không thẳng hàng.

Vận dụng 2 (trang 46)

Đề bài: Trên sân vận động, người ta căng một sợi dây qua hai cái cọc được đóng ở hai vị trí đã chọn rồi dựa vào sợi dây đã căng để vẽ một vạch vôi. Em hãy giải thích tại sao người ta lại làm như vậy?

Lời giải:

Hai cái cọc đóng ở hai vị trí chính là hình ảnh của hai điểm phân biệt. Sợi dây căng thẳng nối hai cọc cho ta hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Vì qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng duy nhất, nên khi vẽ vạch vôi dựa theo sợi dây căng, ta sẽ được một vạch vôi thẳng (không bị cong). Đó là lí do người ta căng dây qua hai cọc rồi mới vẽ.

3. Hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau

Hoạt động 3 (trang 46)

Đề bài: Em hãy quan sát các hình ảnh sau:

a) Hai thanh ray đường tàu (H.8.9a) là hình ảnh của hai đường thẳng. Chúng có điểm chung không?

b) Hai con đường (H.8.9b) là hình ảnh của hai đường thẳng. Chúng có điểm chung không?

Lời giải:

a) Hai thanh ray đường tàu luôn cách đều nhau và chạy cùng hướng, dù kéo dài mãi cũng không gặp nhau. Vậy hai thanh ray không có điểm chung (đây là hình ảnh của hai đường thẳng song song).

b) Hai con đường gặp nhau (giao nhau) tại một chỗ, nên hai con đường có một điểm chung (đây là hình ảnh của hai đường thẳng cắt nhau).

Hoạt động 4 (trang 46)

Đề bài: Hai đường thẳng phân biệt có thể có nhiều hơn một điểm chung được không?

Lời giải:

Không. Hai đường thẳng phân biệt không thể có nhiều hơn một điểm chung.

Lí do: Nếu hai đường thẳng có từ hai điểm chung trở lên, thì theo nhận xét “qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng”, chúng phải là cùng một đường thẳng (tức là trùng nhau), trái với giả thiết hai đường thẳng phân biệt.

Vậy hai đường thẳng phân biệt chỉ có thể có nhiều nhất một điểm chung.

Câu hỏi 4 (trang 46)

Đề bài: Hãy tìm một số hình ảnh hai đường thẳng song song hay cắt nhau trong thực tế.

Lời giải:

Một số hình ảnh hai đường thẳng song song: hai mép dài của bảng đen, hai cạnh dài đối nhau của quyển vở, hai thanh ray đường tàu, các đường kẻ ngang trên trang giấy.

Một số hình ảnh hai đường thẳng cắt nhau: hai kim đồng hồ, hai con đường giao nhau ở ngã tư, hai nét của chữ “X”, hai cạnh kề nhau của mặt bàn.

Luyện tập 2 (trang 47)

Đề bài: Đánh dấu ba điểm phân biệt $A$, $B$ và $C$ trên một tờ giấy trắng sao cho chúng không thẳng hàng.

a) Hãy vẽ các đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy. Đó là những đường thẳng nào?

b) Hãy chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau và giao điểm của chúng.

Lời giải:

a) Ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Ta lần lượt nối từng cặp hai điểm:

Nối $A$ với $B$ được đường thẳng $AB$.

Nối $A$ với $C$ được đường thẳng $AC$.

Nối $B$ với $C$ được đường thẳng $BC$.

Vậy có $3$ đường thẳng: $AB$, $AC$ và $BC$.

b) Vì ba điểm không thẳng hàng nên các đường thẳng trên cắt nhau từng đôi một. Mỗi cặp đường thẳng có chung một điểm:

Đường thẳng $AB$ và đường thẳng $AC$ cắt nhau tại điểm $A$.

Đường thẳng $AB$ và đường thẳng $BC$ cắt nhau tại điểm $B$.

Đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BC$ cắt nhau tại điểm $C$.

Thử thách nhỏ (trang 47)

Đề bài: Cho một đường thẳng $d$ và hai điểm phân biệt $A$, $B$ không thuộc $d$. Tìm điểm $C$ thuộc $d$ sao cho $A$, $B$, $C$ thẳng hàng. Khi nào thì không tìm được điểm $C$ như vậy?

Lời giải:

Muốn ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng thì $C$ phải nằm trên đường thẳng đi qua $A$ và $B$ (tức đường thẳng $AB$). Mặt khác, đề yêu cầu $C$ thuộc đường thẳng $d$. Vậy $C$ phải vừa nằm trên $AB$, vừa nằm trên $d$, tức $C$ là giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $d$.

Do đó: nếu đường thẳng $AB$ cắt đường thẳng $d$ thì giao điểm đó chính là điểm $C$ cần tìm.

Không tìm được điểm $C$ khi đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng $d$. Khi đó $AB$ và $d$ không có điểm chung nào, nên không có điểm $C$ nào thuộc $d$ mà thẳng hàng với $A$ và $B$.

Bài tập (trang 47)

Bài 8.1 (trang 47)

Đề bài: Quan sát Hình 8.11.

a) Giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$ là điểm nào?

b) Điểm $A$ thuộc đường thẳng nào và không thuộc đường thẳng nào? Hãy trả lời câu hỏi bằng câu diễn đạt và bằng kí hiệu.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 8.11, hai đường thẳng $a$ và $b$ gặp nhau tại một điểm duy nhất. Điểm đó chính là điểm $P$.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$ là điểm $P$.

b) Nhìn hình, điểm $A$ nằm trên đường thẳng $b$ và nằm ngoài đường thẳng $a$.

Diễn đạt bằng lời: Điểm $A$ thuộc đường thẳng $b$ và không thuộc đường thẳng $a$.

Viết bằng kí hiệu: $A \in b$ và $A \notin a$.

Bài 8.2 (trang 47)

Đề bài: Quan sát Hình 8.12 và trả lời:

a) Có bao nhiêu bộ ba điểm thẳng hàng?

b) Hãy nêu ít nhất hai bộ ba điểm không thẳng hàng.

c) Bốn điểm $A$, $B$, $C$ và $S$ có thẳng hàng không?

Lời giải:

Quan sát Hình 8.12: ba đường thẳng $m$, $p$, $n$ cùng đi qua điểm $S$; ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường thẳng ở bên phải.

a) Bộ ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Trong hình, chỉ có $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy có $1$ bộ ba điểm thẳng hàng: $(A, B, C)$.

b) Điểm $S$ không nằm cùng đường thẳng với hai điểm bất kì trong $A$, $B$, $C$. Vì vậy mọi bộ ba có chứa $S$ đều không thẳng hàng, chẳng hạn:

Bộ ba $(S, A, B)$ không thẳng hàng.

Bộ ba $(S, B, C)$ không thẳng hàng.

Bộ ba $(S, A, C)$ không thẳng hàng.

c) Bốn điểm $A$, $B$, $C$, $S$ không thẳng hàng, vì điểm $S$ không nằm trên đường thẳng chứa ba điểm $A$, $B$, $C$.

Bài 8.3 (trang 47)

Đề bài: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$ và $D$ như hình vẽ. Hãy nêu tất cả các bộ ba điểm thẳng hàng.

Lời giải:

Quan sát hình, bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường thẳng. Vì vậy, lấy ba điểm bất kì trong bốn điểm này thì chúng đều thẳng hàng.

Các bộ ba điểm thẳng hàng là:

$(A, B, C)$;

$(A, B, D)$;

$(A, C, D)$;

$(B, C, D)$.

Vậy có tất cả $4$ bộ ba điểm thẳng hàng.

Bài 8.4 (trang 47)

Đề bài: Hình 8.13 mô tả $4$ đường thẳng và $5$ điểm có tên là $A$, $B$, $C$, $D$ và $E$, trong đó ta chỉ biết vị trí của điểm $A$. Hãy điền tên của các điểm còn lại, biết rằng:

① $D$ nằm trên $3$ trong $4$ đường thẳng;

② Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng;

③ Ba điểm $B$, $D$, $E$ thẳng hàng.

Lời giải:

Ta dùng lần lượt ba điều kiện để xác định vị trí từng điểm.

Xác định $D$ (dùng điều kiện ①): Trong hình có một điểm là nơi có $3$ đường thẳng cùng đi qua. Điểm đó chính là $D$.

Xác định $B$ và $C$ (dùng điều kiện ②): Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng, nên $B$ và $C$ là hai điểm còn lại cùng nằm trên đường thẳng đi qua $A$. Ta đặt tên hai điểm đó là $B$ và $C$.

Xác định $E$ (dùng điều kiện ③): Ba điểm $B$, $D$, $E$ thẳng hàng, nên $E$ là điểm còn lại nằm trên đường thẳng đi qua $B$ và $D$.

Sau khi đặt tên theo thứ tự trên, cả $5$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ đều được xác định và thỏa mãn cả ba điều kiện đề cho.

Bài 8.5 (trang 47)

Đề bài: Hãy liệt kê các cặp đường thẳng song song trong hình.

Lời giải:

Quan sát hình (vẽ trên lưới ô vuông), hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung, chạy cùng hướng. Dựa vào lưới ô vuông để so sánh hướng của các đường thẳng, ta tìm được các cặp song song sau:

Đường thẳng $FE$ song song với đường thẳng $BC$.

Đường thẳng $FD$ song song với đường thẳng $AC$.

Đường thẳng $ED$ song song với đường thẳng $AB$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du