1. Trung điểm của đoạn thẳng

Hoạt động 1 (trang 55)

Đề bài: Người ta dùng một thanh gỗ dài $3$ m để làm bập bênh. Theo em, điểm gắn trục phải cách hai đầu thanh gỗ là bao nhiêu?

Lời giải:

Để bập bênh cân bằng, điểm gắn trục phải nằm ở chính giữa thanh gỗ, tức là cách đều hai đầu thanh gỗ (đó chính là trung điểm của thanh gỗ).

Vì thanh gỗ dài $3$ m, nên điểm gắn trục cách mỗi đầu một khoảng:

$$\dfrac{3}{2} = 1{,}5 \text{ (m)}.$$

Vậy điểm gắn trục phải cách mỗi đầu thanh gỗ $1{,}5$ m.

Hoạt động 2 (trang 55)

Đề bài: Một sợi dây dài $120$ cm. Gấp đôi sợi dây lại để hai đầu sợi dây trùng nhau. Đánh dấu điểm $A$ là chỗ bị gấp (Hình 8.36). Khoảng cách từ điểm $A$ đến mỗi đầu sợi dây là bao nhiêu?

Lời giải:

Khi gấp đôi sợi dây cho hai đầu trùng nhau, chỗ gấp $A$ chia sợi dây thành hai phần bằng nhau (chính là trung điểm của sợi dây).

Vì sợi dây dài $120$ cm, nên khoảng cách từ $A$ đến mỗi đầu là:

$$\dfrac{120}{2} = 60 \text{ (cm)}.$$

Vậy điểm $A$ cách mỗi đầu sợi dây $60$ cm.

Hoạt động 3 (trang 55)

Đề bài: Một chiếc xe chạy với vận tốc không đổi trên một quãng đường thẳng dài $100$ km từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ hết $2$ giờ. Hỏi sau khi chạy được $1$ giờ, xe rời xa vị trí $A$ bao nhiêu ki-lô-mét, còn cách vị trí $B$ bao nhiêu ki-lô-mét (Hình 8.37)?

Lời giải:

Xe chạy với vận tốc không đổi và đi hết quãng đường $100$ km trong $2$ giờ. Vì $1$ giờ là một nửa của $2$ giờ, nên sau $1$ giờ xe đi được một nửa quãng đường:

$$\dfrac{100}{2} = 50 \text{ (km)}.$$

Vậy sau khi chạy $1$ giờ, xe đã rời xa vị trí $A$ một khoảng $50$ km.

Khi đó xe còn cách vị trí $B$ một khoảng:

$$100 – 50 = 50 \text{ (km)}.$$

(Vị trí của xe sau $1$ giờ chính là trung điểm của quãng đường $AB$, vì nó cách đều $A$ và $B$.)

Câu hỏi (trang 55)

Đề bài: Dùng thước thẳng có vạch chia, em hãy kiểm tra xem các điểm $I$, $J$, $K$ trong Hình 8.39 có lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$, $CD$, $EF$ hay không.

Lời giải:

Cách kiểm tra: với mỗi điểm, ta xét hai điều kiện — điểm đó có nằm giữa hai đầu mút không, và có cách đều hai đầu mút không (đo bằng thước). Nếu thỏa cả hai thì điểm đó là trung điểm.

Sau khi đo các đoạn thẳng trong Hình 8.39, ta được kết quả:

Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, vì $I$ nằm giữa $A$, $B$ và $IA = IB$.

Điểm $J$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$, vì $J$ nằm giữa $C$, $D$ và $JC = JD$.

Điểm $K$ không là trung điểm của đoạn thẳng $EF$, vì tuy $K$ nằm giữa $E$, $F$ nhưng $KE \neq KF$ (hai khoảng cách không bằng nhau).

Luyện tập (trang 56)

Đề bài: Cho đoạn thẳng $PQ$ dài $12$ đơn vị. Gọi $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ và $F$ là trung điểm của đoạn thẳng $PE$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$.

Lời giải:

Bước 1 – Tính $PE$. Vì $E$ là trung điểm của $PQ$ nên:

$$PE = EQ = \dfrac{PQ}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \text{ (đơn vị)}.$$

Bước 2 – Tính $EF$. Vì $F$ là trung điểm của $PE$ nên $F$ chia $PE$ thành hai phần bằng nhau:

$$EF = \dfrac{PE}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ (đơn vị)}.$$

Vậy đoạn thẳng $EF$ dài $3$ đơn vị.

Vận dụng (trang 56)

Đề bài: Vòng quay mặt trời trong một khu vui chơi có điểm cao nhất là $60$ m, điểm thấp nhất là $6$ m (so với mặt đất). Hỏi trục của vòng quay nằm ở độ cao nào?

Lời giải:

Trục của vòng quay nằm ở chính giữa, cách đều điểm cao nhất và điểm thấp nhất (trục là trung điểm của đoạn thẳng nối điểm thấp nhất và điểm cao nhất). Vì vậy độ cao của trục bằng trung bình của hai độ cao:

$$\dfrac{6 + 60}{2} = \dfrac{66}{2} = 33 \text{ (m)}.$$

Vậy trục của vòng quay nằm ở độ cao $33$ m so với mặt đất.

Bài tập (trang 56)

Bài 8.15 (trang 56)

Đề bài: Cho hình vẽ.

a) Em hãy dùng thước thẳng để kiểm tra xem điểm $E$ có phải là trung điểm của đoạn thẳng $AC$ không.

b) Kiểm tra xem $E$ còn là trung điểm của đoạn thẳng nào khác có các đầu mút là các điểm đã cho.

Lời giải:

a) Cách kiểm tra: dùng thước đo hai đoạn $EA$ và $EC$, đồng thời xem $E$ có nằm giữa $A$ và $C$ không.

Sau khi đo, ta thấy $E$ nằm giữa $A$, $C$ và $EA = EC$. Vậy điểm $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$.

b) Tiếp tục đo, ta thấy $E$ cũng nằm giữa $B$ và $D$, đồng thời $EB = ED$.

Vậy $E$ còn là trung điểm của đoạn thẳng $BD$.

Bài 8.16 (trang 56)

Đề bài: Tính độ dài của đoạn thẳng $AB$ nếu trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ nằm cách mút $A$ một khoảng bằng $4{,}5$ cm.

Lời giải:

Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I$ cách đều hai đầu mút, và mỗi nửa bằng một nửa độ dài đoạn thẳng:

$$IA = \dfrac{AB}{2}.$$

Theo đề bài $IA = 4{,}5$ cm, suy ra:

$$AB = 2 \times IA = 2 \times 4{,}5 = 9 \text{ (cm)}.$$

Vậy đoạn thẳng $AB$ dài $9$ cm.

Bài 8.17 (trang 56)

Đề bài: Cho hình vẽ. Biết $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Biết rằng $CD = 2$ cm, hãy tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Lời giải:

Bước 1 – Tính $AC$. Vì $D$ là trung điểm của $AC$ nên $D$ chia $AC$ thành hai phần bằng nhau:

$$DC = \dfrac{AC}{2}.$$

Theo đề bài $DC = 2$ cm, suy ra:

$$AC = 2 \times DC = 2 \times 2 = 4 \text{ (cm)}.$$

Bước 2 – Tính $AB$. Vì $C$ là trung điểm của $AB$ nên $C$ chia $AB$ thành hai phần bằng nhau:

$$AC = \dfrac{AB}{2}.$$

Suy ra:

$$AB = 2 \times AC = 2 \times 4 = 8 \text{ (cm)}.$$

Vậy đoạn thẳng $AB$ dài $8$ cm.

Bài 8.18 (trang 56)

Đề bài: Giả sử em có một cây gậy và muốn tìm điểm chính giữa của cây gậy đó. Em sẽ làm thế nào nếu:

a) Dùng thước đo độ dài;

b) Chỉ dùng một sợi dây đủ dài.

Lời giải:

Điểm chính giữa của cây gậy chính là trung điểm của nó (cách đều hai đầu gậy).

a) Dùng thước đo độ dài:

Đo chiều dài cả cây gậy, được một độ dài (gọi là $L$).

Tính một nửa độ dài đó: $\dfrac{L}{2}$.

Từ một đầu gậy, đo theo chiều dài gậy một đoạn bằng $\dfrac{L}{2}$ rồi đánh dấu. Điểm đánh dấu đó chính là điểm chính giữa của cây gậy.

b) Chỉ dùng một sợi dây đủ dài:

Căng sợi dây dọc theo cây gậy, từ đầu này đến đầu kia, rồi cắt (hoặc đánh dấu) cho sợi dây dài đúng bằng cây gậy.

Gấp đôi sợi dây lại sao cho hai đầu sợi dây trùng nhau; chỗ gấp chia sợi dây thành hai phần bằng nhau.

Đặt lại sợi dây dọc theo cây gậy (một đầu dây trùng một đầu gậy), chỗ gấp của dây sẽ chỉ đúng điểm chính giữa của cây gậy.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du