Quy ước kí hiệu: $a \vdots b$ đọc là “$a$ chia hết cho $b$”; $a \not\vdots b$ đọc là “$a$ không chia hết cho $b$”.

1. Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

Hoạt động 1 (trang 34)

Đề bài: Xét số $n = \overline{23*}$ ($*$ là chữ số tận cùng của $n$). Ta viết $n = 230 + *$. Số $230$ có chia hết cho $2$ và chia hết cho $5$ không?

Lời giải:

Số $230$ có chữ số tận cùng là $0$.

• Vì $0$ là chữ số chẵn nên $230 \vdots 2$.
• Vì tận cùng là $0$ (thuộc nhóm $0$ hoặc $5$) nên $230 \vdots 5$.

Vậy số $230$ chia hết cho cả $2$ và $5$.

Hoạt động 2 (trang 34)

Đề bài: Vận dụng tính chất chia hết của một tổng, hãy cho biết:

a) Thay dấu $*$ bởi chữ số nào thì $n = 230 + *$ chia hết cho $2$?

b) Thay dấu $*$ bởi chữ số nào thì $n = 230 + *$ chia hết cho $5$?

Lời giải:

Ta đã biết $230 \vdots 2$ và $230 \vdots 5$.

a) Tổng $n = 230 + *$ có số hạng $230$ đã chia hết cho $2$. Theo tính chất chia hết của một tổng, $n \vdots 2$ khi và chỉ khi $* \vdots 2$, tức là $*$ là chữ số chẵn:

$$* \in {0; 2; 4; 6; 8}$$

b) Tương tự, vì $230 \vdots 5$ nên $n \vdots 5$ khi và chỉ khi $* \vdots 5$:

$$* \in {0; 5}$$

Luyện tập 1 (trang 35)

Đề bài:

1. Không thực hiện phép tính, em hãy cho biết tổng (hiệu) sau có chia hết cho $2$ không?

a) $1\ 954 + 1\ 975$; $\qquad$ b) $2\ 020 – 938$.

2. Không thực hiện phép tính, em hãy cho biết tổng (hiệu) sau có chia hết cho $5$ không?

a) $1\ 945 + 2\ 020$; $\qquad$ b) $1\ 954 – 1\ 930$.

Lời giải:

1a) Xét chia hết cho $2$ (nhìn chữ số tận cùng):

• $1\ 954$ tận cùng là $4$ (chẵn) $\Rightarrow 1\ 954 \vdots 2$;
• $1\ 975$ tận cùng là $5$ (lẻ) $\Rightarrow 1\ 975 \not\vdots 2$.

Có đúng một số hạng không chia hết cho $2$. Theo tính chất chia hết của một tổng: $(1\ 954 + 1\ 975) \not\vdots 2$.

1b) Xét chia hết cho $2$:

• $2\ 020$ tận cùng là $0$ (chẵn) $\Rightarrow 2\ 020 \vdots 2$;
• $938$ tận cùng là $8$ (chẵn) $\Rightarrow 938 \vdots 2$.

Cả hai số đều chia hết cho $2$ $\Rightarrow (2\ 020 – 938) \vdots 2$.

2a) Xét chia hết cho $5$ (nhìn chữ số tận cùng):

• $1\ 945$ tận cùng là $5 \Rightarrow 1\ 945 \vdots 5$;
• $2\ 020$ tận cùng là $0 \Rightarrow 2\ 020 \vdots 5$.

Cả hai số đều chia hết cho $5 \Rightarrow (1\ 945 + 2\ 020) \vdots 5$.

2b) Xét chia hết cho $5$:

• $1\ 954$ tận cùng là $4 \Rightarrow 1\ 954 \not\vdots 5$;
• $1\ 930$ tận cùng là $0 \Rightarrow 1\ 930 \vdots 5$.

Có đúng một số không chia hết cho $5 \Rightarrow (1\ 954 – 1\ 930) \not\vdots 5$.

2. Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3

Hoạt động 3 (trang 35)

Đề bài: Cho các số: $27;\ 82;\ 195;\ 234$. Hãy sắp xếp các số trên thành hai nhóm: nhóm các số chia hết cho $9$ và nhóm các số không chia hết cho $9$.

Lời giải:

Ta thực hiện phép chia từng số cho $9$:

• $27 : 9 = 3$, không dư $\Rightarrow 27 \vdots 9$;
• $82 : 9 = 9$ dư $1 \Rightarrow 82 \not\vdots 9$;
• $195 : 9 = 21$ dư $6 \Rightarrow 195 \not\vdots 9$;
• $234 : 9 = 26$, không dư $\Rightarrow 234 \vdots 9$.

Vậy:

• Nhóm các số chia hết cho $9$: $27;\ 234$.
• Nhóm các số không chia hết cho $9$: $82;\ 195$.

Hoạt động 4 (trang 35)

Đề bài: Tính tổng các chữ số của mỗi số và xét tính chia hết cho $9$ của các tổng đó trong mỗi nhóm.

Lời giải:

Nhóm chia hết cho $9$:

• $27$: tổng các chữ số $2 + 7 = 9$, mà $9 \vdots 9$.
• $234$: tổng các chữ số $2 + 3 + 4 = 9$, mà $9 \vdots 9$.

Nhóm không chia hết cho $9$:

• $82$: tổng các chữ số $8 + 2 = 10$, mà $10 \not\vdots 9$.
• $195$: tổng các chữ số $1 + 9 + 5 = 15$, mà $15 \not\vdots 9$.

Nhận xét: Số chia hết cho $9$ thì có tổng các chữ số chia hết cho $9$; số không chia hết cho $9$ thì có tổng các chữ số không chia hết cho $9$. Đây chính là dấu hiệu chia hết cho $9$.

Luyện tập 2 (trang 35)

Đề bài: Thay dấu $*$ bởi một chữ số để được số $\overline{12*}$ chia hết cho $9$.

Lời giải:

Theo dấu hiệu chia hết cho $9$, ta cần tổng các chữ số chia hết cho $9$.

Tổng các chữ số của $\overline{12*}$ là $1 + 2 + * = 3 + *$. Ta cần $(3 + *) \vdots 9$.

Thử các chữ số $*$ từ $0$ đến $9$: chỉ có $* = 6$ cho $3 + 6 = 9 \vdots 9$.

Vậy $* = 6$, ta được số $126$.

Luyện tập 3 (trang 36)

Đề bài: Thay dấu $*$ bằng một chữ số để số $\overline{12*5}$ chia hết cho $3$.

Lời giải:

Theo dấu hiệu chia hết cho $3$, ta cần tổng các chữ số chia hết cho $3$.

Tổng các chữ số của $\overline{12*5}$ là $1 + 2 + * + 5 = 8 + *$. Ta cần $(8 + *) \vdots 3$.

Thử các chữ số $*$ từ $0$ đến $9$:

• $* = 1$: $8 + 1 = 9 \vdots 3$ ✓
• $* = 4$: $8 + 4 = 12 \vdots 3$ ✓
• $* = 7$: $8 + 7 = 15 \vdots 3$ ✓

Vậy $* \in {1; 4; 7}$, ta được các số $1\ 215;\ 1\ 245;\ 1\ 275$.

Vận dụng (trang 36)

Đề bài: Trên một bờ đất dài $108$ m, một bác nông dân có kế hoạch trồng một số cây dừa thành một hàng sao cho hai cây cách đều nhau là $9$ m và luôn có cây ở vị trí đầu và cuối của bờ đất. Hỏi bác nông dân có trồng được như vậy không? Nếu được, bác cần bao nhiêu cây dừa để trồng?

Lời giải:

Để trồng được như yêu cầu, độ dài bờ đất ($108$ m) phải chia hết cho khoảng cách giữa hai cây ($9$ m).

Xét $108 \vdots 9$: tổng các chữ số $1 + 0 + 8 = 9$, mà $9 \vdots 9$ nên $108 \vdots 9$.

Vậy bác nông dân trồng được như kế hoạch.

Số khoảng cách $9$ m trên bờ đất là: $108 : 9 = 12$ (khoảng).

Vì có cây ở cả vị trí đầu và cuối, nên số cây nhiều hơn số khoảng cách là $1$:

$$12 + 1 = 13 \text{ (cây)}$$

Vậy bác nông dân cần $13$ cây dừa.

Hoạt động 5 (trang 36)

Đề bài: Cho các số $42;\ 80;\ 191;\ 234$. Hãy sắp xếp các số trên thành hai nhóm: nhóm các số chia hết cho $3$ và nhóm các số không chia hết cho $3$.

Lời giải:

Ta thực hiện phép chia từng số cho $3$:

• $42 : 3 = 14$, không dư $\Rightarrow 42 \vdots 3$;
• $80 : 3 = 26$ dư $2 \Rightarrow 80 \not\vdots 3$;
• $191 : 3 = 63$ dư $2 \Rightarrow 191 \not\vdots 3$;
• $234 : 3 = 78$, không dư $\Rightarrow 234 \vdots 3$.

Vậy:

• Nhóm các số chia hết cho $3$: $42;\ 234$.
• Nhóm các số không chia hết cho $3$: $80;\ 191$.

Hoạt động 6 (trang 36)

Đề bài: Tính tổng các chữ số của mỗi số và xét tính chia hết cho $3$ của các tổng đó trong mỗi nhóm.

Lời giải:

Nhóm chia hết cho $3$:

• $42$: tổng các chữ số $4 + 2 = 6$, mà $6 \vdots 3$.
• $234$: tổng các chữ số $2 + 3 + 4 = 9$, mà $9 \vdots 3$.

Nhóm không chia hết cho $3$:

• $80$: tổng các chữ số $8 + 0 = 8$, mà $8 \not\vdots 3$.
• $191$: tổng các chữ số $1 + 9 + 1 = 11$, mà $11 \not\vdots 3$.

Nhận xét: Số chia hết cho $3$ thì có tổng các chữ số chia hết cho $3$; số không chia hết cho $3$ thì có tổng các chữ số không chia hết cho $3$. Đây chính là dấu hiệu chia hết cho $3$.

Thử thách nhỏ (trang 36)

Đề bài: Bạn Hà cần tìm đường đến siêu thị. Biết rằng Hà chỉ có thể đi qua ô có chứa số chia hết cho $2$ hoặc chia hết cho $3$, và mỗi ô chỉ đi qua một lần. Em hãy giúp Hà đến được siêu thị nhé.

Lời giải:

Hà chỉ được bước vào ô có số chia hết cho $2$ hoặc chia hết cho $3$. Vậy trước hết ta xét từng số trong các ô xem ô nào “đi được”, ô nào “không đi được”.

Như vậy Hà chỉ được đi qua các ô chứa số: $24;\ 72;\ 123;\ 136;\ 21;\ 15;\ 2\ 020;\ 1\ 245;\ 12;\ 6;\ 54$. Hà phải tránh các ô chứa số: $5;\ 17;\ 65;\ 19;\ 77$.

Dựa vào bảng trên, em hãy chọn đường đi nối các ô “đi được” liền nhau từ chỗ Hà đến siêu thị (mỗi ô chỉ đi một lần).

Bài tập (trang 37)

Bài 2.10 (trang 37)

Đề bài: Trong các số sau, số nào chia hết cho $2$, số nào chia hết cho $5$? $324;\ 248;\ 2\ 020;\ 2\ 025$.

Lời giải:

Ta chỉ cần nhìn chữ số tận cùng của mỗi số.

Vậy:

• Các số chia hết cho $2$: $324;\ 248;\ 2\ 020$.
• Các số chia hết cho $5$: $2\ 020;\ 2\ 025$.

Bài 2.11 (trang 37)

Đề bài: Trong các số sau, số nào chia hết cho $3$, số nào chia hết cho $9$? $450;\ 123;\ 2\ 019;\ 2\ 025$.

Lời giải:

Ta tính tổng các chữ số của mỗi số, rồi xét xem tổng đó chia hết cho $3$ hay cho $9$.

• $450$: tổng $4 + 5 + 0 = 9$. Vì $9 \vdots 9$ (và $9 \vdots 3$) nên $450$ chia hết cho cả $3$ và $9$.
• $123$: tổng $1 + 2 + 3 = 6$. Vì $6 \vdots 3$ nhưng $6 \not\vdots 9$ nên $123$ chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$.
• $2\ 019$: tổng $2 + 0 + 1 + 9 = 12$. Vì $12 \vdots 3$ nhưng $12 \not\vdots 9$ nên $2\ 019$ chia hết cho $3$, không chia hết cho $9$.
• $2\ 025$: tổng $2 + 0 + 2 + 5 = 9$. Vì $9 \vdots 9$ (và $9 \vdots 3$) nên $2\ 025$ chia hết cho cả $3$ và $9$.

Vậy:

• Các số chia hết cho $3$: $450;\ 123;\ 2\ 019;\ 2\ 025$ (cả bốn số).
• Các số chia hết cho $9$: $450;\ 2\ 025$.

Bài 2.12 (trang 37)

Đề bài: Khối lớp $6$ của một trường có $290$ học sinh đi dã ngoại. Cô phụ trách muốn chia đều số học sinh của khối $6$ thành $9$ nhóm. Hỏi cô có chia nhóm được như vậy không?

Lời giải:

Để chia đều $290$ học sinh thành $9$ nhóm, số $290$ phải chia hết cho $9$.

Xét dấu hiệu chia hết cho $9$: tổng các chữ số của $290$ là $2 + 9 + 0 = 11$. Vì $11 \not\vdots 9$ nên $290 \not\vdots 9$.

Vậy cô phụ trách không chia đều được $290$ học sinh thành $9$ nhóm.

Bài 2.13 (trang 37)

Đề bài: Có $162$ học sinh tham gia chương trình đào tạo bóng đá, được chia thành các đội. Mỗi đội cần có $9$ học sinh. Hỏi có đội nào không có đủ $9$ học sinh hay không?

Lời giải:

Nếu mỗi đội đều có đủ $9$ học sinh thì tổng số học sinh phải chia hết cho $9$.

Xét dấu hiệu chia hết cho $9$: tổng các chữ số của $162$ là $1 + 6 + 2 = 9$. Vì $9 \vdots 9$ nên $162 \vdots 9$.

Ta có $162 : 9 = 18$, tức là chia được thành $18$ đội, mỗi đội đúng $9$ học sinh.

Vậy không có đội nào thiếu học sinh, tất cả các đội đều đủ $9$ người.

Bài 2.14 (trang 37)

Đề bài: Thay dấu $*$ bởi một chữ số để số $\overline{345*}$:

a) Chia hết cho $2$; b) Chia hết cho $3$; c) Chia hết cho $5$; d) Chia hết cho $9$.

Lời giải:

Tổng các chữ số đã biết: $3 + 4 + 5 = 12$.

a) Chia hết cho $2$: chữ số tận cùng $*$ phải là số chẵn:

$$* \in {0; 2; 4; 6; 8}$$

b) Chia hết cho $3$: cần $(12 + *) \vdots 3$. Vì $12 \vdots 3$ nên cần $* \vdots 3$:

$$* \in {0; 3; 6; 9}$$

c) Chia hết cho $5$: chữ số tận cùng $*$ phải là $0$ hoặc $5$:

$$* \in {0; 5}$$

d) Chia hết cho $9$: cần $(12 + *) \vdots 9$. Thử các chữ số từ $0$ đến $9$, chỉ có $* = 6$ cho $12 + 6 = 18 \vdots 9$:

$$* = 6$$

Bài 2.15 (trang 37)

Đề bài: Dùng ba chữ số $3;\ 0;\ 4$, hãy viết các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và thoả mãn một trong hai điều kiện:

a) Các số đó chia hết cho $2$;

b) Các số đó chia hết cho $5$.

Lời giải:

Lưu ý: số có ba chữ số nên chữ số hàng trăm phải khác $0$.

a) Chia hết cho $2$: chữ số tận cùng phải chẵn. Trong ba chữ số $3; 0; 4$, các chữ số chẵn là $0$ và $4$.

• Tận cùng là $0$: hai chữ số còn lại $3; 4$ xếp vào hàng trăm và chục, được $340$ và $430$.
• Tận cùng là $4$: hai chữ số còn lại $3; 0$, mà hàng trăm phải khác $0$ nên chỉ được $304$.

Vậy các số chia hết cho $2$ là: $340;\ 430;\ 304$.

b) Chia hết cho $5$: chữ số tận cùng phải là $0$ hoặc $5$. Trong ba chữ số đã cho chỉ có $0$ (không có $5$), nên tận cùng phải là $0$.

• Tận cùng là $0$: hai chữ số còn lại $3; 4$, được $340$ và $430$.

Vậy các số chia hết cho $5$ là: $340;\ 430$.

Bài 2.16 (trang 37)

Đề bài: Từ các chữ số $5;\ 0;\ 4;\ 2$, viết các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho $3$.

Lời giải:

Theo dấu hiệu chia hết cho $3$, ta cần chọn ra ba chữ số có tổng chia hết cho $3$. Ta xét tất cả các cách chọn $3$ trong $4$ chữ số $5; 0; 4; 2$:

• Bộ $(5; 0; 4)$: tổng $5 + 0 + 4 = 9 \vdots 3$ ✓
• Bộ $(5; 0; 2)$: tổng $5 + 0 + 2 = 7 \not\vdots 3$ ✗
• Bộ $(5; 4; 2)$: tổng $5 + 4 + 2 = 11 \not\vdots 3$ ✗
• Bộ $(0; 4; 2)$: tổng $0 + 4 + 2 = 6 \vdots 3$ ✓

Bây giờ từ mỗi bộ thoả mãn, ta viết các số có ba chữ số khác nhau (hàng trăm khác $0$):

• Từ bộ $(5; 0; 4)$: $504;\ 540;\ 405;\ 450$.
• Từ bộ $(0; 4; 2)$: $402;\ 420;\ 204;\ 240$.

Vậy các số cần tìm là: $504;\ 540;\ 405;\ 450;\ 402;\ 420;\ 204;\ 240$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du