Bài tập (trang 57)

Bài 8.19 (trang 57)

Đề bài: Cho bốn điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ và $D$, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.

a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong bốn điểm đã cho? Kể tên các đường thẳng đó.

b) Có bao nhiêu tia với gốc là một trong bốn điểm đã cho và đi qua một trong ba điểm còn lại? Đó là những tia nào?

c) Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai mút là hai trong bốn điểm đã cho? Đó là những đoạn thẳng nào?

Lời giải:

Vì không có ba điểm nào thẳng hàng, nên mỗi cặp hai điểm sẽ cho một đường thẳng (hoặc một đoạn thẳng) riêng biệt.

a) Mỗi đường thẳng đi qua hai điểm. Ta liệt kê các cặp hai điểm:

$AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$.

Vậy có $6$ đường thẳng: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$.

b) Mỗi điểm làm gốc, đi qua một trong ba điểm còn lại nên cho $3$ tia. Có $4$ điểm làm gốc nên tổng cộng có $4 \times 3 = 12$ tia:

Gốc $A$: tia $AB$, tia $AC$, tia $AD$.

Gốc $B$: tia $BA$, tia $BC$, tia $BD$.

Gốc $C$: tia $CA$, tia $CB$, tia $CD$.

Gốc $D$: tia $DA$, tia $DB$, tia $DC$.

Vậy có $12$ tia.

c) Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi hai đầu mút. Số đoạn thẳng bằng số cặp hai điểm:

$AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$.

Vậy có $6$ đoạn thẳng: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$.

Bài 8.20 (trang 57)

Đề bài: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên đường thẳng $d$ sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Hai điểm $D$ và $E$ không thuộc $d$ và không cùng thẳng hàng với điểm nào trong các điểm $A$, $B$ và $C$.

a) Có bao nhiêu đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai trong năm điểm đã cho?

b) Tìm trên đường thẳng $d$ điểm $G$ sao cho ba điểm $D$, $E$, $G$ thẳng hàng. Có phải khi nào cũng tìm được điểm $G$ như thế hay không?

Lời giải:

a) Ta đếm các đường thẳng đi qua ít nhất hai trong năm điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$.

Ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên đường thẳng $d$, nên chúng chỉ tạo ra một đường thẳng (chính là $d$).

Các đường thẳng còn lại đi qua $D$ hoặc $E$ với các điểm khác (vì $D$, $E$ không tạo thêm bộ ba thẳng hàng nào nên các đường này đều khác nhau): đó là $DA$, $DB$, $DC$, $DE$, $EA$, $EB$, $EC$ — tất cả $7$ đường thẳng.

Vậy tổng cộng có $1 + 7 = 8$ đường thẳng.

b) Muốn ba điểm $D$, $E$, $G$ thẳng hàng thì $G$ phải nằm trên đường thẳng đi qua $D$ và $E$ (đường thẳng $DE$). Đồng thời $G$ phải thuộc đường thẳng $d$. Do đó $G$ là giao điểm của hai đường thẳng $DE$ và $d$.

Nếu đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $d$ thì giao điểm đó chính là điểm $G$ cần tìm.

Không phải khi nào cũng tìm được điểm $G$: khi đường thẳng $DE$ song song với đường thẳng $d$, hai đường không có điểm chung nên không tồn tại điểm $G$.

Bài 8.21 (trang 57)

Đề bài: Cho điểm $M$ trên tia $Om$ sao cho $OM = 5$ cm. Gọi $N$ là điểm trên tia đối của tia $Om$ và cách $O$ một khoảng bằng $7$ cm.

a) Vẽ hình và tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

b) Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. Tính độ dài các đoạn thẳng $MK$ và $OK$.

c) Điểm $K$ thuộc tia nào trong hai tia $OM$ và $ON$?

Lời giải:

a) Điểm $N$ nằm trên tia đối của tia $Om$, mà $M$ nằm trên tia $Om$, nên tia $ON$ và tia $OM$ là hai tia đối nhau. Do đó điểm $O$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$.

Vì $O$ nằm giữa $M$ và $N$ nên:

$$MN = OM + ON = 5 + 7 = 12 \text{ (cm)}.$$

b) Vì $K$ là trung điểm của $MN$ nên:

$$MK = \dfrac{MN}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \text{ (cm)}.$$

Bây giờ tính $OK$. Trên đoạn thẳng $MN$, tính từ $M$: điểm $O$ cách $M$ một khoảng $MO = 5$ cm, điểm $K$ cách $M$ một khoảng $MK = 6$ cm. Vì $5 < 6$ nên điểm $O$ nằm giữa $M$ và $K$, do đó:

$$OK = MK – MO = 6 – 5 = 1 \text{ (cm)}.$$

c) Điểm $K$ cách $M$ là $6$ cm, còn $O$ cách $M$ là $5$ cm, nên $K$ nằm phía bên kia của $O$ so với $M$ (cùng phía với $N$). Vì vậy điểm $K$ thuộc tia $ON$.

Bài 8.22 (trang 57)

Đề bài: Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$ cùng nằm trên tia $Ox$ sao cho $OA = 4$ cm, $OB = 6$ cm. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tính độ dài đoạn thẳng $OM$.

Lời giải:

Hai điểm $A$ và $B$ cùng nằm trên tia $Ox$, với $OA = 4$ cm và $OB = 6$ cm. Vì $4 < 6$ nên điểm $A$ nằm giữa $O$ và $B$ (thứ tự trên tia là $O – A – B$).

Bước 1 – Tính $AB$. Vì $A$ nằm giữa $O$ và $B$ nên:

$$OA + AB = OB ;\Rightarrow; AB = OB – OA = 6 – 4 = 2 \text{ (cm)}.$$

Bước 2 – Tính $AM$. Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên:

$$AM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \text{ (cm)}.$$

Bước 3 – Tính $OM$. Trên tia $Ox$, thứ tự là $O – A – M$ (vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$), nên $A$ nằm giữa $O$ và $M$:

$$OM = OA + AM = 4 + 1 = 5 \text{ (cm)}.$$

Vậy đoạn thẳng $OM$ dài $5$ cm.

Bài 8.23 (trang 57)

Đề bài: Trong hình vẽ, em hãy liệt kê tất cả các bộ ba điểm thẳng hàng.

Lời giải:

Quan sát hình, bốn điểm $A$, $C$, $N$, $B$ cùng nằm trên đường thẳng $a$. Vì vậy, lấy ba điểm bất kì trong bốn điểm này thì chúng đều thẳng hàng.

Các bộ ba điểm thẳng hàng là:

$(A, C, N)$;

$(A, C, B)$;

$(A, N, B)$;

$(C, N, B)$.

Vậy có tất cả $4$ bộ ba điểm thẳng hàng.

Bài 8.24 (trang 57)

Đề bài: Em hãy vẽ $7$ điểm trên một tờ giấy trắng sao cho có thể kẻ được $6$ đường thẳng mà mỗi đường thẳng đều đi qua $3$ trong $7$ điểm đó.

Lời giải:

Ta vẽ theo cách sau:

Bước 1: Vẽ một tam giác, được $3$ điểm là ba đỉnh của tam giác.

Bước 2: Lấy trung điểm của mỗi cạnh tam giác, được thêm $3$ điểm.

Bước 3: Nối mỗi đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Ba đoạn nối này cùng đi qua một điểm chung — đó là điểm thứ $7$.

Khi đó ta kẻ được đúng $6$ đường thẳng, mỗi đường đi qua $3$ trong $7$ điểm:

Ba đường thẳng chứa ba cạnh tam giác: mỗi cạnh đi qua $2$ đỉnh và $1$ trung điểm của cạnh đó (tức $3$ điểm).

Ba đường thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện: mỗi đường đi qua $1$ đỉnh, $1$ trung điểm và điểm chung ở giữa (tức $3$ điểm).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du