Quy ước kí hiệu: $a \vdots b$ đọc là “$a$ chia hết cho $b$”. $ƯC(a, b)$ là tập hợp các ước chung; $ƯCLN(a, b)$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

1. Ước chung và ước chung lớn nhất

Hoạt động 1 (trang 44)

Đề bài: Tìm các tập hợp $Ư(24)$ và $Ư(28)$.

Lời giải:

Ta lần lượt chia mỗi số cho các số tự nhiên từ $1$ đến chính nó, giữ lại các số chia hết.

• Ước của $24$: $Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}$.
• Ước của $28$: $Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}$.

Hoạt động 2 (trang 44)

Đề bài: Gọi $ƯC(24, 28)$ là tập hợp các số vừa là ước của $24$, vừa là ước của $28$. Hãy viết tập hợp $ƯC(24, 28)$.

Lời giải:

Ta so sánh hai tập hợp ở Hoạt động 1, tìm các số xuất hiện ở cả hai:

• $Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}$
• $Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}$

Các số chung là $1; 2; 4$. Vậy:

$$ƯC(24, 28) = {1; 2; 4}$$

Hoạt động 3 (trang 44)

Đề bài: Tìm số lớn nhất trong tập $ƯC(24, 28)$.

Lời giải:

Trong tập $ƯC(24, 28) = {1; 2; 4}$, số lớn nhất là $4$.

Số này chính là ước chung lớn nhất của $24$ và $28$, ta viết $ƯCLN(24, 28) = 4$.

Câu hỏi (trang 45)

Đề bài: Tìm $ƯCLN(90, 10)$.

Lời giải:

Ta thấy $90 \vdots 10$ (vì $90 = 9 \cdot 10$). Đây là trường hợp đặc biệt: khi số nhỏ là ước của số lớn thì ƯCLN chính là số nhỏ đó.

$$ƯCLN(90, 10) = 10$$

Luyện tập 1 (trang 45)

Đề bài: Bố có $12$ quả bóng màu xanh và $15$ quả bóng màu đỏ. Bố muốn chia số bóng cho ba anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau gồm cả bóng màu xanh và bóng màu đỏ. Hỏi bố có thực hiện được điều đó hay không?

Lời giải:

Để chia đều cho $3$ anh em, cả số bóng xanh và số bóng đỏ đều phải chia hết cho $3$. Nói cách khác, $3$ phải là ước chung của $12$ và $15$.

Ta xét:

• $12 \vdots 3$ (vì $12 : 3 = 4$);
• $15 \vdots 3$ (vì $15 : 3 = 5$).

Vì $3$ là ước chung của $12$ và $15$ nên bố thực hiện được. Khi đó mỗi anh em nhận:

• Bóng xanh: $12 : 3 = 4$ (quả);
• Bóng đỏ: $15 : 3 = 5$ (quả).

Vận dụng 1 (trang 45)

Đề bài: Tuần này lớp 6A và 6B gồm $40$ học sinh nữ và $36$ học sinh nam được phân công đi thu gom rác làm sạch bờ biển. Nếu chia nhóm sao cho số học sinh nam và nữ trong các nhóm bằng nhau thì:

a) Có thể chia được thành bao nhiêu nhóm học sinh?

b) Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu nhóm học sinh?

Lời giải:

Để mỗi nhóm có số nữ bằng nhau và số nam bằng nhau, thì số nhóm phải là ước chung của $40$ và $36$.

Tìm $ƯCLN(40, 36)$:

• Phân tích: $40 = 2^3 \cdot 5$; $\quad 36 = 2^2 \cdot 3^2$.
• Thừa số nguyên tố chung: chỉ có $2$, với số mũ nhỏ nhất là $2$.

$$ƯCLN(40, 36) = 2^2 = 4$$

Tập ước chung là các ước của $4$: $ƯC(40, 36) = {1; 2; 4}$.

a) Có thể chia thành $1;\ 2$ hoặc $4$ nhóm.

b) Số nhóm nhiều nhất chính là $ƯCLN(40, 36) = 4$ nhóm.

(Khi chia $4$ nhóm, mỗi nhóm có $40 : 4 = 10$ nữ và $36 : 4 = 9$ nam.)

2. Cách tìm ước chung lớn nhất

Câu hỏi 1 (trang 46)

Đề bài: Tìm $ƯCLN(45, 150)$, biết $45 = 3^2 \cdot 5$ và $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Lời giải:

Ta áp dụng quy tắc: chọn thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

• $45 = 3^2 \cdot 5$; $\quad 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
• Thừa số nguyên tố chung: $3$ và $5$ (thừa số $2$ chỉ có ở $150$ nên không chung).
• Số mũ nhỏ nhất: $3$ lấy mũ $1$; $5$ lấy mũ $1$.

$$ƯCLN(45, 150) = 3 \cdot 5 = 15$$

Câu hỏi 2 (trang 46)

Đề bài: Biết $ƯCLN(75, 105) = 15$, hãy tìm $ƯC(75, 105)$.

Lời giải:

Ta nhớ: ước chung của các số chính là các ước của ƯCLN. Vậy ta chỉ cần tìm các ước của $15$:

$$Ư(15) = {1; 3; 5; 15}$$

Do đó:

$$ƯC(75, 105) = {1; 3; 5; 15}$$

Luyện tập 2 (trang 46)

Đề bài: Tìm $ƯCLN(36, 84)$.

Lời giải:

Ta thực hiện theo ba bước:

• Phân tích: $36 = 2^2 \cdot 3^2$; $\quad 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$.
• Chọn thừa số chung: $2$ và $3$ (thừa số $7$ chỉ có ở $84$ nên không chung).
• Lấy số mũ nhỏ nhất: $2$ lấy mũ $2$; $3$ lấy mũ $1$.

$$ƯCLN(36, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12$$

Thử thách nhỏ (trang 46)

Đề bài: Vào ngày thứ Bảy, cô Lan tổ chức cho học sinh đi tham quan Bảo tàng Dân tộc học. Các học sinh đóng tiền mua vé, mỗi em một vé. Số tiền cô Lan thu được từng ngày được ghi lại ở bảng sau:

a) Hỏi số tiền để mua một vé (giá vé tính theo đơn vị nghìn đồng) có thể là bao nhiêu, biết giá vé lớn hơn $2$ nghìn đồng?

b) Có bao nhiêu học sinh tham gia chuyến đi, biết số học sinh trong lớp trong khoảng từ $20$ đến $40$ người?

Lời giải:

a) Mỗi ngày, số tiền thu được = (số học sinh đóng tiền ngày đó) $\times$ (giá một vé). Vì số học sinh mỗi ngày là số tự nhiên, nên giá một vé phải là ước chung của cả bốn số $56;\ 28;\ 42;\ 98$.

Tìm $ƯCLN(56, 28, 42, 98)$:

• Phân tích: $56 = 2^3 \cdot 7$; $\ 28 = 2^2 \cdot 7$; $\ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$; $\ 98 = 2 \cdot 7^2$.
• Thừa số chung của cả bốn số: $2$ (mũ nhỏ nhất $1$) và $7$ (mũ nhỏ nhất $1$).

$$ƯCLN(56, 28, 42, 98) = 2 \cdot 7 = 14$$

Ước chung là các ước của $14$: $ƯC = {1; 2; 7; 14}$.

Vì giá vé lớn hơn $2$ nghìn đồng nên ta loại $1$ và $2$. Vậy giá một vé có thể là $7$ hoặc $14$ (nghìn đồng).

b) Tổng số tiền cô Lan thu được trong cả tuần là:

$$56 + 28 + 42 + 98 = 224 \text{ (nghìn đồng)}$$

Tổng số học sinh tham gia $=$ tổng số tiền $:$ giá một vé. Ta xét hai trường hợp ở câu a):

• Nếu giá vé là $14$: số học sinh $= 224 : 14 = 16$ (không nằm trong khoảng $20$ đến $40$, loại).
• Nếu giá vé là $7$: số học sinh $= 224 : 7 = 32$ (nằm trong khoảng $20$ đến $40$, nhận).

Vậy giá một vé là $7$ nghìn đồng và có $32$ học sinh tham gia chuyến đi.

Vận dụng 2 (trang 47)

Đề bài: Một đại đội bộ binh có ba trung đội: trung đội I có $24$ chiến sĩ, trung đội II có $28$ chiến sĩ, trung đội III có $36$ chiến sĩ. Trong cuộc diễu binh, cả ba trung đội phải xếp thành các hàng dọc đều nhau mà không có chiến sĩ nào trong mỗi trung đội bị lẻ hàng. Hỏi có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?

Lời giải:

Để mỗi trung đội đều xếp được thành các hàng dọc đều nhau, không lẻ hàng, thì số hàng dọc phải là ước chung của $24;\ 28;\ 36$. Muốn nhiều hàng nhất thì số hàng $= ƯCLN(24, 28, 36)$.

• Phân tích: $24 = 2^3 \cdot 3$; $\ 28 = 2^2 \cdot 7$; $\ 36 = 2^2 \cdot 3^2$.
• Thừa số chung của cả ba số: chỉ có $2$, với số mũ nhỏ nhất là $2$.

$$ƯCLN(24, 28, 36) = 2^2 = 4$$

Vậy có thể xếp được nhiều nhất $4$ hàng dọc.

3. Rút gọn về phân số tối giản

Câu hỏi 3 (trang 47)

Đề bài: Phân số $\dfrac{16}{10}$ đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

Lời giải:

Ta tìm $ƯCLN(16, 10)$:

• $16 = 2^4$; $\quad 10 = 2 \cdot 5$. Thừa số chung là $2$ (mũ nhỏ nhất $1$), nên $ƯCLN(16, 10) = 2$.

Vì $ƯCLN(16, 10) = 2 \neq 1$ nên phân số chưa tối giản. Ta chia cả tử và mẫu cho $2$:

$$\frac{16}{10} = \frac{16 : 2}{10 : 2} = \frac{8}{5}$$

Kiểm tra: $ƯCLN(8, 5) = 1$, nên $\dfrac{8}{5}$ là phân số tối giản.

Luyện tập 3 (trang 48)

Đề bài: Rút gọn về phân số tối giản:

a) $\dfrac{90}{27}$; $\qquad$ b) $\dfrac{50}{125}$.

Lời giải:

a) Tìm $ƯCLN(90, 27)$:

• $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $\quad 27 = 3^3$. Thừa số chung là $3$ (mũ nhỏ nhất $2$), nên $ƯCLN(90, 27) = 3^2 = 9$.

Chia cả tử và mẫu cho $9$:

$$\frac{90}{27} = \frac{90 : 9}{27 : 9} = \frac{10}{3}$$

Kiểm tra: $ƯCLN(10, 3) = 1$ nên $\dfrac{10}{3}$ là phân số tối giản.

b) Tìm $ƯCLN(50, 125)$:

• $50 = 2 \cdot 5^2$; $\quad 125 = 5^3$. Thừa số chung là $5$ (mũ nhỏ nhất $2$), nên $ƯCLN(50, 125) = 5^2 = 25$.

Chia cả tử và mẫu cho $25$:

$$\frac{50}{125} = \frac{50 : 25}{125 : 25} = \frac{2}{5}$$

Kiểm tra: $ƯCLN(2, 5) = 1$ nên $\dfrac{2}{5}$ là phân số tối giản.

Bài tập (trang 48)

Mẹo giải nhanh – Thuật toán Ơ-clit (Euclid): Ngoài cách phân tích ra thừa số nguyên tố, ta có thể tìm ƯCLN bằng thuật toán Ơ-clit (giới thiệu trong mục Em có biết? của SGK). Cách làm: lấy số lớn chia cho số nhỏ; nếu còn dư thì lấy số chia đem chia cho số dư, cứ tiếp tục như vậy cho đến khi dư bằng $0$. Khi đó số chia cuối cùng chính là ƯCLN. Cách này rất tiện khi gặp các số lớn, khó phân tích. Ở một số bài dưới đây, sau cách phân tích thừa số nguyên tố, có thêm Cách 2 để các em tham khảo.

Xem lý thuyết cách tì bằng Ơ-clit

Bài 2.30 (trang 48)

Đề bài: Tìm tập hợp ước chung của:

a) $30$ và $45$; $\qquad$ b) $42$ và $70$.

Lời giải:

Ta tìm ƯCLN trước, rồi liệt kê các ước của ƯCLN.

a) $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$; $\quad 45 = 3^2 \cdot 5$. Thừa số chung: $3$ (mũ $1$) và $5$ (mũ $1$).

$$ƯCLN(30, 45) = 3 \cdot 5 = 15 \Rightarrow ƯC(30, 45) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}$$

b) $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$; $\quad 70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. Thừa số chung: $2$ (mũ $1$) và $7$ (mũ $1$).

$$ƯCLN(42, 70) = 2 \cdot 7 = 14 \Rightarrow ƯC(42, 70) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}$$

Cách 2 (Thuật toán Ơ-clit) – tìm ƯCLN:

• Câu a): $45 = 1 \cdot 30 + 15$; rồi $30 = 2 \cdot 15 + 0$ (dư $0$, dừng). Số chia cuối là $15$, nên $ƯCLN(30, 45) = 15$.
• Câu b): $70 = 1 \cdot 42 + 28$; rồi $42 = 1 \cdot 28 + 14$; rồi $28 = 2 \cdot 14 + 0$ (dừng). Số chia cuối là $14$, nên $ƯCLN(42, 70) = 14$.

Sau đó liệt kê các ước của ƯCLN như trên để được tập ước chung.

Bài 2.31 (trang 48)

Đề bài: Tìm $ƯCLN$ của hai số:

a) $40$ và $70$; $\qquad$ b) $55$ và $77$.

Lời giải:

a) $40 = 2^3 \cdot 5$; $\quad 70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. Thừa số chung: $2$ (mũ nhỏ nhất $1$) và $5$ (mũ nhỏ nhất $1$).

$$ƯCLN(40, 70) = 2 \cdot 5 = 10$$

b) $55 = 5 \cdot 11$; $\quad 77 = 7 \cdot 11$. Thừa số chung: chỉ có $11$ (mũ $1$).

$$ƯCLN(55, 77) = 11$$

Cách 2 (Thuật toán Ơ-clit):

• Câu a): $70 = 1 \cdot 40 + 30$; rồi $40 = 1 \cdot 30 + 10$; rồi $30 = 3 \cdot 10 + 0$ (dừng). Vậy $ƯCLN(40, 70) = 10$.
• Câu b): $77 = 1 \cdot 55 + 22$; rồi $55 = 2 \cdot 22 + 11$; rồi $22 = 2 \cdot 11 + 0$ (dừng). Vậy $ƯCLN(55, 77) = 11$.

Bài 2.32 (trang 48)

Đề bài: Tìm $ƯCLN$ của:

a) $2^2 \cdot 5$ và $2 \cdot 3 \cdot 5$;

b) $2^4 \cdot 3$; $\ 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ và $2^4 \cdot 11$.

Lời giải:

Các số đã ở dạng phân tích sẵn, ta chỉ cần chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.

a) Hai số $2^2 \cdot 5$ và $2 \cdot 3 \cdot 5$. Thừa số chung: $2$ (mũ nhỏ nhất $1$) và $5$ (mũ nhỏ nhất $1$).

$$ƯCLN = 2 \cdot 5 = 10$$

b) Ba số $2^4 \cdot 3$; $\ 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ và $2^4 \cdot 11$. Ta xét thừa số nào có mặt ở cả ba số:

• $2$ có ở cả ba số (mũ nhỏ nhất là $2$, ở số $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$).
• $3$ chỉ có ở hai số đầu, không có ở $2^4 \cdot 11$ $\Rightarrow$ không chung.
• $5$ chỉ có ở số thứ hai; $11$ chỉ có ở số thứ ba $\Rightarrow$ không chung.

Vậy chỉ có thừa số chung là $2$:

$$ƯCLN = 2^2 = 4$$

Bài 2.33 (trang 48)

Đề bài: Cho hai số $a = 72$ và $b = 96$.

a) Phân tích $a$ và $b$ ra thừa số nguyên tố;

b) Tìm $ƯCLN(a, b)$, rồi tìm $ƯC(a, b)$.

Lời giải:

a) Phân tích ra thừa số nguyên tố:

$$72 = 2^3 \cdot 3^2; \qquad 96 = 2^5 \cdot 3$$

b) Thừa số chung: $2$ (mũ nhỏ nhất $3$) và $3$ (mũ nhỏ nhất $1$).

$$ƯCLN(72, 96) = 2^3 \cdot 3 = 24$$

Ước chung là các ước của $24$:

$$ƯC(72, 96) = Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}$$

Cách 2 (Thuật toán Ơ-clit) – tìm ƯCLN ở câu b):

$96 = 1 \cdot 72 + 24$; rồi $72 = 3 \cdot 24 + 0$ (dư $0$, dừng). Số chia cuối là $24$, nên $ƯCLN(72, 96) = 24$. Sau đó liệt kê các ước của $24$ để được $ƯC(72, 96)$.

Bài 2.34 (trang 48)

Đề bài: Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản:

a) $\dfrac{50}{85}$; $\qquad$ b) $\dfrac{23}{81}$.

Lời giải:

a) Tìm $ƯCLN(50, 85)$: $50 = 2 \cdot 5^2$; $\ 85 = 5 \cdot 17$. Thừa số chung là $5$ (mũ $1$), nên $ƯCLN(50, 85) = 5$.

Vì $ƯCLN = 5 \neq 1$ nên phân số chưa tối giản. Chia cả tử và mẫu cho $5$:

$$\frac{50}{85} = \frac{50 : 5}{85 : 5} = \frac{10}{17}$$

Kiểm tra: $ƯCLN(10, 17) = 1$ nên $\dfrac{10}{17}$ là phân số tối giản.

b) Tìm $ƯCLN(23, 81)$: $23$ là số nguyên tố, $81 = 3^4$. Vì $23$ không chia hết cho $3$ nên hai số không có thừa số chung, $ƯCLN(23, 81) = 1$.

Vậy $\dfrac{23}{81}$ đã là phân số tối giản.

Cách 2 (Thuật toán Ơ-clit) – tìm ƯCLN của tử và mẫu:

• Câu a): $85 = 1 \cdot 50 + 35$; $50 = 1 \cdot 35 + 15$; $35 = 2 \cdot 15 + 5$; $15 = 3 \cdot 5 + 0$ (dừng). Vậy $ƯCLN(50, 85) = 5$, rồi rút gọn $\dfrac{50}{85} = \dfrac{10}{17}$.
• Câu b): $81 = 3 \cdot 23 + 12$; $23 = 1 \cdot 12 + 11$; $12 = 1 \cdot 11 + 1$; $11 = 11 \cdot 1 + 0$ (dừng). Số chia cuối là $1$, nên $ƯCLN(23, 81) = 1$, tức $\dfrac{23}{81}$ đã tối giản.

Bài 2.35 (trang 48)

Đề bài: Hãy cho hai ví dụ về hai số có $ƯCLN$ bằng $1$ mà cả hai đều là hợp số.

Lời giải:

Ta cần tìm hai số mà mỗi số đều là hợp số (có nhiều hơn hai ước), nhưng chúng không có thừa số nguyên tố chung nào, nên ƯCLN bằng $1$.

Ví dụ 1: Hai số $4$ và $9$.

• $4 = 2^2$ (hợp số), $9 = 3^2$ (hợp số).
• Hai số không có thừa số nguyên tố chung, nên $ƯCLN(4, 9) = 1$.

Ví dụ 2: Hai số $8$ và $15$.

• $8 = 2^3$ (hợp số), $15 = 3 \cdot 5$ (hợp số).
• Hai số không có thừa số nguyên tố chung, nên $ƯCLN(8, 15) = 1$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du