Quy ước kí hiệu: $a \vdots b$ đọc là “$a$ chia hết cho $b$”. $BC(a, b)$ là tập hợp các bội chung; $BCNN(a, b)$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$.

Mẹo giải nhanh – Cách 2 cho BCNN của HAI số: Với đúng hai số $a$ và $b$, ta có thể tìm BCNN theo hai bước:

1. Tìm $ƯCLN(a, b)$ bằng thuật toán Ơ-clit (lấy số lớn chia số nhỏ; nếu còn dư thì lấy số chia chia cho số dư; lặp đến khi dư $0$; số chia cuối cùng là ƯCLN).
2. Dùng công thức $,a \cdot b = ƯCLN(a, b) \cdot BCNN(a, b),$, suy ra $;BCNN(a, b) = \dfrac{a \cdot b}{ƯCLN(a, b)}$.

Lưu ý: Công thức này chỉ đúng với hai số. Với từ ba số trở lên, ta bắt buộc dùng cách phân tích ra thừa số nguyên tố (Cách 1). Ở các bài có hai số dưới đây, thầy có thêm Cách 2 để các em tham khảo.

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Hoạt động 1 (trang 49)

Đề bài: Tìm các tập hợp $B(6)$, $B(9)$.

Lời giải:

Ta nhân mỗi số lần lượt với $0; 1; 2; 3; \ldots$ để tìm các bội của nó.

$$B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; \ldots}$$

$$B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; \ldots}$$

Hoạt động 2 (trang 49)

Đề bài: Gọi $BC(6, 9)$ là tập hợp các số vừa là bội của $6$, vừa là bội của $9$. Hãy viết tập $BC(6, 9)$.

Lời giải:

Ta tìm các số xuất hiện ở cả hai tập $B(6)$ và $B(9)$ ở trên: đó là $0; 18; 36; 54; \ldots$

$$BC(6, 9) = {0; 18; 36; 54; \ldots}$$

Hoạt động 3 (trang 49)

Đề bài: Tìm số nhỏ nhất khác $0$ trong tập $BC(6, 9)$.

Lời giải:

Trong tập $BC(6, 9) = {0; 18; 36; 54; \ldots}$, nếu bỏ số $0$ đi thì số nhỏ nhất còn lại là $18$.

Số này chính là bội chung nhỏ nhất của $6$ và $9$, ta viết $BCNN(6, 9) = 18$.

Câu hỏi 1 (trang 50)

Đề bài: Tìm $BCNN(36, 9)$.

Lời giải:

Ta thấy $36 \vdots 9$ (vì $36 = 4 \cdot 9$). Đây là trường hợp đặc biệt: khi số lớn là bội của số nhỏ thì BCNN chính là số lớn đó.

$$BCNN(36, 9) = 36$$

Cách 2 (Ơ-clit + công thức): $36 = 4 \cdot 9 + 0$ nên $ƯCLN(36, 9) = 9$. Suy ra $BCNN(36, 9) = \dfrac{36 \cdot 9}{9} = 36$.

Luyện tập 1 (trang 50)

Đề bài: Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) $6$ và $8$; $\qquad$ b) $8; 9; 72$.

Lời giải:

a) Phân tích: $6 = 2 \cdot 3$; $\quad 8 = 2^3$.

Thừa số chung: $2$; thừa số riêng: $3$. Lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất: $2^3$ và $3^1$.

$$BCNN(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 24$$

Cách 2 (Ơ-clit + công thức): $8 = 1 \cdot 6 + 2$; $\ 6 = 3 \cdot 2 + 0$ nên $ƯCLN(6, 8) = 2$. Suy ra $BCNN(6, 8) = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$.

b) Ta thấy $72 \vdots 8$ (vì $72 = 9 \cdot 8$) và $72 \vdots 9$ (vì $72 = 8 \cdot 9$). Vậy $72$ là bội của cả $8$ và $9$. Đây là trường hợp đặc biệt:

$$BCNN(8, 9, 72) = 72$$

Vận dụng (trang 50)

Đề bài: Có hai chiếc máy A và B. Lịch bảo dưỡng định kì đối với máy A là $6$ tháng và đối với máy B là $9$ tháng. Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng $5$. Hỏi sau bao lâu thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng?

Lời giải:

Máy A được bảo dưỡng sau mỗi $6$ tháng, nên các mốc bảo dưỡng cách tháng $5$ một số tháng là bội của $6$. Tương tự, các mốc của máy B là bội của $9$.

Để hai máy cùng được bảo dưỡng trong một tháng, số tháng kể từ tháng $5$ phải là bội chung của $6$ và $9$. Lần gần nhất ứng với BCNN:

• Phân tích: $6 = 2 \cdot 3$; $\quad 9 = 3^2$. Thừa số chung $3$ (mũ lớn nhất $2$), riêng $2$.

$$BCNN(6, 9) = 2 \cdot 3^2 = 18$$

Vậy sau $18$ tháng nữa, hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng.

Cách 2 (Ơ-clit + công thức): $9 = 1 \cdot 6 + 3$; $\ 6 = 2 \cdot 3 + 0$ nên $ƯCLN(6, 9) = 3$. Suy ra $BCNN(6, 9) = \dfrac{6 \cdot 9}{3} = \dfrac{54}{3} = 18$.

2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Câu hỏi 2 (trang 51)

Đề bài: Tìm bội chung nhỏ nhất của $9$ và $15$, biết $9 = 3^2$ và $15 = 3 \cdot 5$.

Lời giải:

Ta áp dụng quy tắc: chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.

• $9 = 3^2$; $\quad 15 = 3 \cdot 5$.
• Thừa số chung: $3$ (mũ lớn nhất là $2$); thừa số riêng: $5$.

$$BCNN(9, 15) = 3^2 \cdot 5 = 45$$

Cách 2 (Ơ-clit + công thức): $15 = 1 \cdot 9 + 6$; $\ 9 = 1 \cdot 6 + 3$; $\ 6 = 2 \cdot 3 + 0$ nên $ƯCLN(9, 15) = 3$. Suy ra $BCNN(9, 15) = \dfrac{9 \cdot 15}{3} = \dfrac{135}{3} = 45$.

Câu hỏi 3 (trang 51)

Đề bài: Biết bội chung nhỏ nhất của $8$ và $6$ là $24$. Tìm các bội chung nhỏ hơn $100$ của $8$ và $6$.

Lời giải:

Ta nhớ: bội chung của các số chính là các bội của BCNN. Vậy ta tìm các bội của $24$:

$$BC(8, 6) = B(24) = {0; 24; 48; 72; 96; 120; \ldots}$$

Các bội chung nhỏ hơn $100$ là: $0;\ 24;\ 48;\ 72;\ 96$.

Luyện tập 2 (trang 52)

Đề bài: Tìm bội chung nhỏ nhất của $15$ và $54$. Từ đó, hãy tìm các bội chung nhỏ hơn $1\ 000$ của $15$ và $54$.

Lời giải:

Phân tích: $15 = 3 \cdot 5$; $\quad 54 = 2 \cdot 3^3$.

Thừa số chung: $3$ (mũ lớn nhất $3$); thừa số riêng: $2$ và $5$.

$$BCNN(15, 54) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2 \cdot 27 \cdot 5 = 270$$

Bội chung của $15$ và $54$ là các bội của $270$:

$$BC(15, 54) = {0; 270; 540; 810; 1\ 080; \ldots}$$

Các bội chung nhỏ hơn $1\ 000$ là: $0;\ 270;\ 540;\ 810$.

Thử thách nhỏ (trang 52)

Đề bài: Lịch xuất bến của một số xe buýt tại bến xe Mỹ Đình (Hà Nội) được ghi ở bảng sau. Giả sử các xe buýt xuất bến cùng lúc vào $10$ giờ $35$ phút. Hỏi vào các thời điểm nào trong ngày (từ $10$ giờ $35$ phút đến $22$ giờ) các xe buýt này lại xuất bến cùng một lúc?

Lời giải:

Khoảng thời gian (tính bằng phút) giữa hai lần các xe cùng xuất bến phải là bội chung của $15;\ 9;\ 10$. Lần gần nhất ứng với BCNN.

Phân tích: $15 = 3 \cdot 5$; $\quad 9 = 3^2$; $\quad 10 = 2 \cdot 5$.

Thừa số chung và riêng, lấy mũ lớn nhất: $2^1;\ 3^2;\ 5^1$.

$$BCNN(15, 9, 10) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90 \text{ (phút)}$$

Vậy cứ sau mỗi $90$ phút (tức $1$ giờ $30$ phút) các xe lại cùng xuất bến. Bắt đầu từ $10$ giờ $35$ phút, ta cộng dần $1$ giờ $30$ phút:

$$12\text{h}05;\ 13\text{h}35;\ 15\text{h}05;\ 16\text{h}35;\ 18\text{h}05;\ 19\text{h}35;\ 21\text{h}05$$

(Mốc tiếp theo là $22$h$35$, đã vượt quá $22$ giờ nên không lấy.)

Vậy trong khoảng từ $10$h$35$ đến $22$h, các xe cùng xuất bến vào các thời điểm: $12$h$05$; $13$h$35$; $15$h$05$; $16$h$35$; $18$h$05$; $19$h$35$; $21$h$05$.

3. Quy đồng mẫu các phân số

Câu hỏi 4 (trang 52)

Đề bài: Quy đồng mẫu hai phân số: $\dfrac{7}{9}$ và $\dfrac{4}{15}$.

Lời giải:

Ta lấy mẫu chung là $BCNN$ của hai mẫu $9$ và $15$.

Phân tích: $9 = 3^2$; $\quad 15 = 3 \cdot 5$. Vậy $BCNN(9, 15) = 3^2 \cdot 5 = 45$.

Tính thừa số phụ (mẫu chung chia cho mẫu cũ): $45 : 9 = 5$ và $45 : 15 = 3$. Khi đó:

$$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{35}{45}; \qquad \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{12}{45}$$

Luyện tập 3 (trang 53)

Đề bài:

1. Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) $\dfrac{5}{12}$ và $\dfrac{7}{15}$; $\qquad$ b) $\dfrac{2}{7}$, $\dfrac{4}{9}$ và $\dfrac{7}{12}$.

2. Thực hiện các phép tính sau:

a) $\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{24}$; $\qquad$ b) $\dfrac{7}{16} – \dfrac{5}{12}$.

Lời giải:

1a) $12 = 2^2 \cdot 3$; $\ 15 = 3 \cdot 5$. Vậy $BCNN(12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Thừa số phụ: $60 : 12 = 5$; $\ 60 : 15 = 4$.

$$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{60} = \frac{25}{60}; \qquad \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{60} = \frac{28}{60}$$

1b) $7 = 7$; $\ 9 = 3^2$; $\ 12 = 2^2 \cdot 3$. Vậy $BCNN(7, 9, 12) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 252$.

Thừa số phụ: $252 : 7 = 36$; $\ 252 : 9 = 28$; $\ 252 : 12 = 21$.

$$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 36}{252} = \frac{72}{252}; \qquad \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 28}{252} = \frac{112}{252}; \qquad \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 21}{252} = \frac{147}{252}$$

2a) $BCNN(8, 24) = 24$ (vì $24 \vdots 8$). Quy đồng mẫu $24$:

$$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{24} = \frac{9}{24}; \qquad \frac{5}{24} = \frac{5}{24}$$

Cộng hai tử, giữ nguyên mẫu:

$$\frac{3}{8} + \frac{5}{24} = \frac{9}{24} + \frac{5}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$$

(Rút gọn $\dfrac{14}{24}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho $2$.)

2b) $16 = 2^4$; $\ 12 = 2^2 \cdot 3$. Vậy $BCNN(16, 12) = 2^4 \cdot 3 = 48$. Quy đồng mẫu $48$:

$$\frac{7}{16} = \frac{7 \cdot 3}{48} = \frac{21}{48}; \qquad \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{48} = \frac{20}{48}$$

Trừ hai tử, giữ nguyên mẫu:

$$\frac{7}{16} – \frac{5}{12} = \frac{21}{48} – \frac{20}{48} = \frac{1}{48}$$

Bài tập (trang 53)

Bài 2.36 (trang 53)

Đề bài: Tìm bội chung nhỏ hơn $200$ của:

a) $5$ và $7$; $\qquad$ b) $3; 4$ và $10$.

Lời giải:

a) Vì $5$ và $7$ là hai số nguyên tố (không có thừa số chung) nên $BCNN(5, 7) = 5 \cdot 7 = 35$.

$$BC(5, 7) = B(35) = {0; 35; 70; 105; 140; 175; 210; \ldots}$$

Các bội chung nhỏ hơn $200$ là: $0;\ 35;\ 70;\ 105;\ 140;\ 175$.

b) Phân tích: $3 = 3$; $\ 4 = 2^2$; $\ 10 = 2 \cdot 5$. Thừa số chung và riêng, lấy mũ lớn nhất: $2^2;\ 3;\ 5$.

$$BCNN(3, 4, 10) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

$$BC(3, 4, 10) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; \ldots}$$

Các bội chung nhỏ hơn $200$ là: $0;\ 60;\ 120;\ 180$.

Bài 2.37 (trang 53)

Đề bài: Tìm $BCNN$ của:

a) $2 \cdot 3^3$ và $3 \cdot 5$; $\qquad$ b) $2 \cdot 5 \cdot 7^2$ và $3 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Lời giải:

Các số đã ở dạng phân tích sẵn, ta chỉ cần chọn thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất.

a) Hai số $2 \cdot 3^3$ và $3 \cdot 5$:

• Thừa số $3$: chung, mũ lớn nhất là $3$;
• Thừa số $2$ và $5$: riêng.

$$BCNN = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2 \cdot 27 \cdot 5 = 270$$

b) Hai số $2 \cdot 5 \cdot 7^2$ và $3 \cdot 5^2 \cdot 7$:

• Thừa số $5$: chung, mũ lớn nhất là $2$;
• Thừa số $7$: chung, mũ lớn nhất là $2$;
• Thừa số $2$ và $3$: riêng.

$$BCNN = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 49 = 7\ 350$$

Bài 2.38 (trang 53)

Đề bài: Tìm $BCNN$ của các số sau:

a) $30$ và $45$; $\qquad$ b) $18; 27$ và $45$.

Lời giải:

a) $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$; $\ 45 = 3^2 \cdot 5$. Thừa số chung $3$ (mũ lớn nhất $2$), $5$ (mũ $1$); riêng $2$.

$$BCNN(30, 45) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$$

b) $18 = 2 \cdot 3^2$; $\ 27 = 3^3$; $\ 45 = 3^2 \cdot 5$. Thừa số chung $3$ (mũ lớn nhất $3$); riêng $2$ và $5$.

$$BCNN(18, 27, 45) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$$

Bài 2.39 (trang 53)

Đề bài: Tìm số tự nhiên $a$ nhỏ nhất khác $0$, biết rằng $a \vdots 28$ và $a \vdots 32$.

Lời giải:

Vì $a \vdots 28$ và $a \vdots 32$ nên $a$ là bội chung của $28$ và $32$. Để $a$ nhỏ nhất khác $0$ thì $a = BCNN(28, 32)$.

Phân tích: $28 = 2^2 \cdot 7$; $\ 32 = 2^5$. Thừa số chung $2$ (mũ lớn nhất $5$); riêng $7$.

$$a = BCNN(28, 32) = 2^5 \cdot 7 = 32 \cdot 7 = 224$$

Vậy $a = 224$.

Bài 2.40 (trang 53)

Đề bài: Học sinh lớp 6A khi xếp thành $3$ hàng, $4$ hàng hay $9$ hàng đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp từ $30$ đến $40$. Tính số học sinh lớp 6A.

Lời giải:

Gọi $x$ là số học sinh lớp 6A ($30 \leq x \leq 40$).

Vì xếp $3$, $4$, $9$ hàng đều vừa đủ nên $x \vdots 3$, $x \vdots 4$, $x \vdots 9$, tức $x$ là bội chung của $3; 4; 9$.

Phân tích: $3 = 3$; $\ 4 = 2^2$; $\ 9 = 3^2$. Vậy $BCNN(3, 4, 9) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$.

$$BC(3, 4, 9) = B(36) = {0; 36; 72; \ldots}$$

Trong khoảng từ $30$ đến $40$, chỉ có $x = 36$ thoả mãn.

Vậy lớp 6A có $36$ học sinh.

Bài 2.41 (trang 53)

Đề bài: Hai đội công nhân trồng được một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội I trồng $8$ cây, mỗi công nhân đội II trồng $11$ cây. Tính số cây mỗi đội đã trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ $100$ đến $200$ cây.

Lời giải:

Gọi $x$ là số cây mỗi đội trồng được ($100 \leq x \leq 200$).

• Đội I: mỗi người trồng $8$ cây nên tổng số cây là bội của $8$, tức $x \vdots 8$.
• Đội II: mỗi người trồng $11$ cây nên $x \vdots 11$.

Vậy $x$ là bội chung của $8$ và $11$. Vì $8$ và $11$ không có thừa số chung nên:

$$BCNN(8, 11) = 8 \cdot 11 = 88$$

$$BC(8, 11) = B(88) = {0; 88; 176; 264; \ldots}$$

Trong khoảng từ $100$ đến $200$, chỉ có $x = 176$ thoả mãn.

Vậy mỗi đội đã trồng $176$ cây.

Bài 2.42 (trang 53)

Đề bài: Cứ $2$ ngày, Hà đi dạo cùng bạn cún yêu quý của mình. Cứ $7$ ngày, Hà lại tắm cho cún. Hôm nay, cún vừa được đi dạo, vừa được tắm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm?

Lời giải:

Số ngày kể từ hôm nay đến lần cún được đi dạo là bội của $2$; đến lần được tắm là bội của $7$. Để cún vừa được đi dạo vừa được tắm, số ngày phải là bội chung của $2$ và $7$. Lần gần nhất (“ít nhất”) ứng với BCNN.

Vì $2$ và $7$ không có thừa số chung nên:

$$BCNN(2, 7) = 2 \cdot 7 = 14$$

Vậy sau ít nhất $14$ ngày nữa, cún lại vừa được đi dạo, vừa được tắm.

Bài 2.43 (trang 53)

Đề bài: Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) $\dfrac{9}{12}$ và $\dfrac{7}{15}$; $\qquad$ b) $\dfrac{7}{10}$, $\dfrac{3}{4}$ và $\dfrac{9}{14}$.

Lời giải:

a) $12 = 2^2 \cdot 3$; $\ 15 = 3 \cdot 5$. Vậy $BCNN(12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Thừa số phụ: $60 : 12 = 5$; $\ 60 : 15 = 4$.

$$\frac{9}{12} = \frac{9 \cdot 5}{60} = \frac{45}{60}; \qquad \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{60} = \frac{28}{60}$$

b) $10 = 2 \cdot 5$; $\ 4 = 2^2$; $\ 14 = 2 \cdot 7$. Vậy $BCNN(10, 4, 14) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Thừa số phụ: $140 : 10 = 14$; $\ 140 : 4 = 35$; $\ 140 : 14 = 10$.

$$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 14}{140} = \frac{98}{140}; \qquad \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 35}{140} = \frac{105}{140}; \qquad \frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 10}{140} = \frac{90}{140}$$

Bài 2.44 (trang 53)

Đề bài: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\dfrac{7}{11} + \dfrac{5}{7}$; $\qquad$ b) $\dfrac{7}{20} – \dfrac{2}{15}$.

Lời giải:

a) Vì $11$ và $7$ không có thừa số chung nên $BCNN(11, 7) = 77$. Quy đồng mẫu $77$:

$$\frac{7}{11} = \frac{7 \cdot 7}{77} = \frac{49}{77}; \qquad \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 11}{77} = \frac{55}{77}$$

Cộng hai tử, giữ nguyên mẫu:

$$\frac{7}{11} + \frac{5}{7} = \frac{49}{77} + \frac{55}{77} = \frac{104}{77}$$

b) $20 = 2^2 \cdot 5$; $\ 15 = 3 \cdot 5$. Vậy $BCNN(20, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$. Quy đồng mẫu $60$:

$$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 3}{60} = \frac{21}{60}; \qquad \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{60} = \frac{8}{60}$$

Trừ hai tử, giữ nguyên mẫu:

$$\frac{7}{20} – \frac{2}{15} = \frac{21}{60} – \frac{8}{60} = \frac{13}{60}$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du