Lớp 8 · Toán
Bài 17
Tính Chất Đường Phân Giác Của Tam Giác
Định lí, công thức tỉ lệ và ứng dụng trong tính toán hình học
1
Tính chất đường phân giác — Định lí
▼
Trong tam giác, đường phân giác của một góc xuất phát từ một đỉnh sẽ cắt cạnh đối diện tại một điểm, chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng. Hai đoạn thẳng này có một mối liên hệ đặc biệt với hai cạnh kề.
Định lí
Trong tam giác, đường phân giác của một góc
chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng
tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng
tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
Giả thiết (GT)
$\triangle ABC$
$AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$
$D \in BC$
$AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$
$D \in BC$
Kết luận (KL)
$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
Cách hiểu đơn giản: Đường phân giác từ đỉnh $A$ "chia" cạnh $BC$ tại $D$. Đoạn $DB$ (gần $B$) tỉ lệ với cạnh $AB$ (kề $B$); đoạn $DC$ (gần $C$) tỉ lệ với cạnh $AC$ (kề $C$). Cạnh nào dài hơn thì đoạn tương ứng cũng dài hơn.
🔵 Quy tắc "cùng phía":
Đoạn nào → cạnh nào?
Phía $B$
đoạn $DB$ ↔ cạnh $AB$
Phía $C$
đoạn $DC$ ↔ cạnh $AC$
⚠️Sai lầm thường gặp: Viết nhầm $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AC}{AB}$ (đảo ngược). Nhớ: đoạn và cạnh phải cùng phía — $DB$ với $AB$ (cùng phía $B$), $DC$ với $AC$ (cùng phía $C$).
2
Chứng minh định lí và chú ý chiều đảo
▼
🔵 Chứng minh định lí (tham khảo):
• Vẽ đường thẳng qua $B$, song song với $AD$, cắt đường thẳng $AC$ tại $E$.
• Vì $AD$ là phân giác góc $A$ nên $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$.
• $EB \parallel AD$ nên: $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$ (so le trong) và $\widehat{A_2} = \widehat{E}$ (đồng vị).
• Suy ra $\widehat{B_1} = \widehat{E}$ → $\triangle AEB$ cân tại $A$ → $AE = AB$ ... $(1)$
• Áp dụng định lí Thales cho $\triangle CEB$ (có $AD \parallel EB$): $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AE}{AC}$ ... $(2)$
→Từ $(1)$ và $(2)$: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ ✓
🔵 Chú ý — Chiều đảo của định lí:
Chiều đảo
Trong $\triangle ABC$, nếu $D$ thuộc đoạn $BC$ và
$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
thì $AD$ là đường phân giác của góc $A$.
$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
thì $AD$ là đường phân giác của góc $A$.
Chiều thuận
Có: $AD$ là phân giác
Suy ra:
$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
Ứng dụng: tính độ dài, tỉ số.
Suy ra:
$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
Ứng dụng: tính độ dài, tỉ số.
Chiều đảo
Có: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
Suy ra:
$AD$ là phân giác góc $A$
Ứng dụng: chứng minh phân giác.
Suy ra:
$AD$ là phân giác góc $A$
Ứng dụng: chứng minh phân giác.
Ví dụ — Tính độ dài $x$
Cho $\triangle MNP$ có $MI$ là phân giác góc $M$ ($I \in NP$). Biết $IN = 15$, $MN = 24$, $MP = 32$. Tính $x = IP$.
• Theo tính chất đường phân giác: $\dfrac{IN}{IP} = \dfrac{MN}{MP}$
• Hay: $\dfrac{IP}{IN} = \dfrac{MP}{MN}$
→$\dfrac{x}{15} = \dfrac{32}{24} \Rightarrow x = \dfrac{15 \times 32}{24} = 20$
Vậy $x = 20$.
📌Chú ý quan trọng: Chiều đảo chỉ đúng khi $D$ thuộc đoạn $BC$ (nằm giữa $B$ và $C$). Nếu $D$ nằm ngoài đoạn $BC$ thì là phân giác ngoài (kiến thức nâng cao, lớp 8 không học).
3
Dạng 1 — Tính độ dài và tỉ số đoạn thẳng
▼
🔵 Phương pháp giải:
Xác định
đường p.giác
đường p.giác
→
Viết tỉ
lệ thức
lệ thức
→
Thay số
→
Giải tìm
ẩn
ẩn
🔵 Mẹo — Công thức tính nhanh:
Công thức tính nhanh DB và DC
$DB = \dfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC$
$DC = \dfrac{AC}{AB + AC} \cdot BC$
$DC = \dfrac{AC}{AB + AC} \cdot BC$
🔵 Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Nếu $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{m}{n}$ và $DB + DC = BC$, ta dùng:
$\dfrac{DB}{m} = \dfrac{DC}{n} = \dfrac{DB + DC}{m + n} = \dfrac{BC}{m + n}$
để tính nhanh $DB$ và $DC$ mà không cần đặt ẩn.
$\dfrac{DB}{m} = \dfrac{DC}{n} = \dfrac{DB + DC}{m + n} = \dfrac{BC}{m + n}$
để tính nhanh $DB$ và $DC$ mà không cần đặt ẩn.
Ví dụ — BT 4.11 SGK
Cho $\triangle ABC$, đường phân giác góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Biết $AB = 4{,}5$ m, $AC = 7$ m, $BC = 3{,}5$ m. Tính $DC$.
• Theo tính chất phân giác: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4{,}5}{7} = \dfrac{9}{14}$
• Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:
$\dfrac{DB}{9} = \dfrac{DC}{14} = \dfrac{DB+DC}{23} = \dfrac{3{,}5}{23}$
→$DC = 14 \times \dfrac{3{,}5}{23} = \dfrac{49}{23} \approx 2{,}1$ (m) ✓
⚠️Lưu ý: Không nhầm tính chất phân giác với tính chất trung tuyến. Trung tuyến chia cạnh đối thành 2 đoạn bằng nhau, còn phân giác chia thành 2 đoạn tỉ lệ với 2 cạnh kề (chỉ bằng nhau khi tam giác cân).
4
Dạng 2 — Chứng minh hệ thức và đường thẳng song song
▼
🔵 Phương pháp giải:
1
Xác định các đường phân giác trong hình.
2
Áp dụng tính chất đường phân giác cho từng tam giác chứa phân giác → viết các tỉ lệ thức.
3
So sánh, biến đổi các tỉ lệ thức. Nếu các tam giác có chung cạnh → liên kết các tỉ số.
4
Khi chứng minh song song: dùng kết quả tỉ số bằng nhau, áp dụng định lí Thales đảo.
Ví dụ — Chứng minh $MN \parallel BC$
Cho $\triangle ABC$ trung tuyến $AD$. Tia phân giác $\widehat{ADB}$ cắt $AB$ tại $M$; tia phân giác $\widehat{ADC}$ cắt $AC$ tại $N$. Chứng minh $MN \parallel BC$.
Lời giải:
• Trong $\triangle ABD$: $DM$ là phân giác $\widehat{ADB}$ → $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{DA}{DB}$ ... $(1)$
• Trong $\triangle ADC$: $DN$ là phân giác $\widehat{ADC}$ → $\dfrac{NA}{NC} = \dfrac{DA}{DC}$ ... $(2)$
• $D$ là trung điểm $BC$ (vì $AD$ là trung tuyến) → $DB = DC$ ... $(3)$
• Từ $(1), (2), (3)$: $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{NA}{NC}$
• Áp dụng tính chất tỉ lệ: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$
→Theo định lí Thales đảo: $MN \parallel BC$ ✓
💡Mẹo: Khi bài toán cho 2 đường phân giác trong 2 tam giác có cạnh chung → tính 2 tỉ số rồi so sánh. Bằng nhau → kết luận song song bằng Thales đảo.
5
Dạng 3 — Bài toán ứng dụng thực tế
▼
🔵 Phương pháp giải bài thực tế:
1
Đọc kỹ đề, vẽ hình và gán các đại lượng đã biết.
2
Xác định tam giác và đường phân giác trong hình. Viết tỉ lệ thức theo tính chất đường phân giác.
3
Tính toán và đối chiếu với ý nghĩa thực tế (đơn vị, làm tròn nếu cần).
Mẹo — Đường chéo hình vuông là phân giác:
Đường chéo hình vuông luôn chia góc vuông thành hai góc $45°$ → là đường phân giác. Tính chất này hay xuất hiện trong các bài thực tế (ví dụ: BT 4.12 SGK).
Đường chéo hình vuông luôn chia góc vuông thành hai góc $45°$ → là đường phân giác. Tính chất này hay xuất hiện trong các bài thực tế (ví dụ: BT 4.12 SGK).
Ví dụ — BT 4.12 SGK (rút gọn)
$ABCD$ là hình vuông, $M$ là trung điểm $AB$. $I$ là giao điểm của $MD$ với đường chéo $AC$. Tính tỉ số $\dfrac{MI}{ID}$.
• Đường chéo $AC$ là phân giác góc $\widehat{DAB}$ (vì $\widehat{DAC} = \widehat{BAC} = 45°$).
• Trong $\triangle MAD$: $AI$ là phân giác góc $\widehat{MAD}$.
• Theo tính chất đường phân giác: $\dfrac{MI}{ID} = \dfrac{MA}{AD}$
• Gọi cạnh hình vuông là $a$: $MA = \dfrac{a}{2}$ (vì $M$ là trung điểm $AB$); $AD = a$.
→$\dfrac{MI}{ID} = \dfrac{a/2}{a} = \dfrac{1}{2}$ ✓
Tổng kết Bài 17:
• Tính chất phân giác: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ — đoạn nào, cạnh nào cùng phía.
• Chiều đảo: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ → $AD$ là phân giác.
• Ba dạng bài: tính độ dài/tỉ số, chứng minh hệ thức + song song, ứng dụng thực tế.
• Mẹo: dùng dãy tỉ số bằng nhau khi biết tổng $DB + DC = BC$.
• Tính chất phân giác: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ — đoạn nào, cạnh nào cùng phía.
• Chiều đảo: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ → $AD$ là phân giác.
• Ba dạng bài: tính độ dài/tỉ số, chứng minh hệ thức + song song, ứng dụng thực tế.
• Mẹo: dùng dãy tỉ số bằng nhau khi biết tổng $DB + DC = BC$.
📚
Ôn lại lý thuyết chi tiết
Xem thêm công thức, các mẹo giải nhanh và sai lầm thường gặp tại bài viết đầy đủ.
Xem bài đầy đủ →
1
—
Điểm: 0/20
📐
Cùng luyện tập về Đường phân giác tam giác!
20 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/20
💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du