Menu Học Tập

Bài tập Toán 8 Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu (25 bài tập)

Lớp 8 · Toán Bài 6

Hiệu Hai Bình Phương · Bình Phương Của Một Tổng Hay Một Hiệu

Ba hằng đẳng thức đáng nhớ đầu tiên — công cụ tính nhanh và biến đổi biểu thức

1
Hằng đẳng thức là gì?
▼

Ta đã biết: $(a + 1) \cdot b = ab + b$. Trong đẳng thức này, khi thay $a$, $b$ bởi bất kì giá trị nào thì hai vế luôn bằng nhau. Một đẳng thức như vậy được gọi là hằng đẳng thức.

Định nghĩa
Nếu hai biểu thức đại số $A$ và $B$ luôn nhận giá trị bằng nhau
với mọi giá trị của biến thì ta nói
$A = B$ là một hằng đẳng thức (hay đồng nhất thức).

🔵 Cách kiểm tra một đẳng thức có phải hằng đẳng thức:

1
Khai triển hai vế (nếu có thể) và xem chúng có giống nhau không.
2
Hoặc thử thay vài giá trị cụ thể. Nếu có một giá trị làm hai vế khác nhau → KHÔNG phải hằng đẳng thức.
✓ Là hằng đẳng thức
$a(a+3) = a^2 + 3a$
Khai triển vế trái được đúng vế phải với mọi $a$.
✗ Không phải
$a^2 + 1 = 2a$
Thay $a=0$: VT $=1$, VP $=0$ → không bằng.
💡Lưu ý: Bài học này sẽ giới thiệu 3 hằng đẳng thức đáng nhớ đầu tiên — đây là 3 công thức cực kỳ quan trọng, các em phải thuộc lòng để vận dụng trong toàn bộ chương trình Toán THCS và THPT sau này.
2
Hiệu hai bình phương
▼

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

HẰNG ĐẲNG THỨC 1
$A^2$ $-$ $B^2$ $=$ $($ $A$ $-$ $B$ $)$$($ $A$ $+$ $B$ $)$
Hiệu hai bình phương = (Hiệu) × (Tổng) của hai biểu thức
📝Cách nhớ: "Hiệu hai bình phương = Hiệu nhân Tổng".
Ngược lại: nếu thấy biểu thức $(A-B)(A+B)$ thì có thể viết gọn thành $A^2 - B^2$.
Ví dụ 1 — Tính nhanh $102^2 - 98^2$
=$(102 - 98)(102 + 98)$
(áp dụng $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ với $A=102$, $B=98$)
=$4 \cdot 200 = 800$
Ví dụ 2 — Viết $x^2 - 25$ dưới dạng tích
=$x^2 - 5^2$
(viết $25 = 5^2$ để đưa về dạng $A^2 - B^2$)
=$(x - 5)(x + 5)$
Ví dụ 3 — Tính nhanh $198 \cdot 202$
=$(200 - 2)(200 + 2)$
(viết về dạng $(A-B)(A+B)$ — đây là dạng ngược của $A^2 - B^2$)
=$200^2 - 2^2 = 40000 - 4 = 39996$
3
Bình phương của một tổng
▼

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

HẰNG ĐẲNG THỨC 2
$($$A$ $+$ $B$$)^2$ $=$ $A^2$ $+$ $2AB$ $+$ $B^2$
Bình phương của tổng = Bình phương của số thứ nhất + 2 lần tích + Bình phương của số thứ hai

🔵 Minh họa hình học: Cắt một hình vuông cạnh $A+B$ thành 4 phần — kết quả thấy rõ tổng diện tích là $A^2 + 2AB + B^2$.

A² AB AB B² A B A B (A+B)² = A² + 2AB + B²
⚠️Sai lầm hay gặp: Học sinh thường viết $(A+B)^2 = A^2 + B^2$ — SAI! Đừng bao giờ quên hạng tử $\mathbf{2AB}$ ở giữa!
Ví dụ 4 — Tính nhanh $201^2$
=$(200 + 1)^2$
(viết $201 = 200 + 1$ để đưa về $(A+B)^2$ với $A=200$, $B=1$)
=$200^2 + 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2$
=$40000 + 400 + 1 = 40401$
Ví dụ 5 — Khai triển $(3x + y)^2$
Áp dụng $(A+B)^2$ với $A = 3x$, $B = y$:
=$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot y + y^2$
=$9x^2 + 6xy + y^2$
Ví dụ 6 — Viết $x^2 + 6xy + 9y^2$ dưới dạng bình phương
Nhận dạng: $x^2$ và $9y^2 = (3y)^2$ là hai bình phương; hạng tử giữa $6xy = 2 \cdot x \cdot 3y$ ✓
=$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2$
=$(x + 3y)^2$
🔍Cách nhận dạng "ngược": Khi thấy biểu thức $A^2 + ?\, + B^2$, kiểm tra hạng tử giữa có bằng $2AB$ không. Nếu đúng → đó là $(A+B)^2$.
4
Bình phương của một hiệu
▼

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

HẰNG ĐẲNG THỨC 3
$($$A$ $-$ $B$$)^2$ $=$ $A^2$ $-$ $2AB$ $+$ $B^2$
Khác $(A+B)^2$ ở dấu của hạng tử giữa: dấu trừ ở $2AB$
📌Lưu ý: Có thể suy ra công thức này từ bình phương của một tổng bằng cách viết $A - B = A + (-B)$:
$(A-B)^2 = (A + (-B))^2 = A^2 + 2A(-B) + (-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
⚠️Đừng nhầm:
• $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ — bình phương của hiệu
• $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ — hiệu hai bình phương
Hai công thức HOÀN TOÀN khác nhau, đừng nhầm lẫn!
Ví dụ 7 — Tính nhanh $199^2$
=$(200 - 1)^2$
(viết $199 = 200 - 1$, áp dụng $(A-B)^2$ với $A=200$, $B=1$)
=$200^2 - 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2$
=$40000 - 400 + 1 = 39601$
Ví dụ 8 — Khai triển $\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2$
Áp dụng $(A-B)^2$ với $A=x$, $B=\dfrac{5}{2}$:
=$x^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{5}{2} + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2$
=$x^2 - 5x + \dfrac{25}{4}$

🔵 Bảng tổng hợp 3 hằng đẳng thức:

STTTênCông thức
1Hiệu hai
bình phương		$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$
2Bình phương
của một tổng		$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
3Bình phương
của một hiệu		$(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
5
Các dạng bài tập thường gặp
▼
1
Khai triển biểu thức theo hằng đẳng thức

Cách làm: Xác định biểu thức thuộc dạng nào → xác định $A$, $B$ → áp dụng công thức.

VD: Khai triển $(3x + 2y)^2$
Dạng $(A+B)^2$ với $A=3x$, $B=2y$:
=$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$
2
Tính nhanh giá trị số

Mẹo: Viết số cần tính về số tròn chục/trăm ± một số nhỏ rồi áp dụng hằng đẳng thức.

VD: $54 \cdot 66 = (60 - 6)(60 + 6)$
=$60^2 - 6^2 = 3600 - 36 = 3564$
3
Viết biểu thức dưới dạng bình phương / dạng tích

Cách làm: Lấy căn bậc hai của hạng tử đầu và hạng tử cuối → kiểm tra hạng tử giữa có bằng $\pm 2AB$ không → viết kết quả.

VD: Viết $16a^2 - 16ab + 4b^2$ dưới dạng bình phương
$\sqrt{16a^2}=4a$; $\sqrt{4b^2}=2b$; kiểm tra: $2 \cdot 4a \cdot 2b = 16ab$ ✓
=$(4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 2b + (2b)^2 = (4a - 2b)^2$
4
Rút gọn biểu thức

Cách làm: Khai triển từng phần theo hằng đẳng thức → bỏ ngoặc (chú ý dấu) → thu gọn hạng tử đồng dạng.

VD: Rút gọn $(x - 3y)^2 - (x + 3y)^2$
Khai triển:
=$(x^2 - 6xy + 9y^2) - (x^2 + 6xy + 9y^2)$
=$x^2 - 6xy + 9y^2 - x^2 - 6xy - 9y^2 = -12xy$
5
Tính giá trị biểu thức bằng hằng đẳng thức

Mẹo hay: Nếu đề cho dạng $x - 4y = 5$ (không cho riêng $x$, $y$), hãy đưa biểu thức về dạng chứa $(x - 4y)$.

VD: Tính $C = x^2 - 8xy + 16y^2$ tại $x - 4y = 5$.
Nhận dạng: $C = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4y + (4y)^2 = (x-4y)^2$
→$C = 5^2 = 25$
6
Tìm $x$ bằng hằng đẳng thức

Cách làm: Đưa phương trình về dạng $A^2 - B^2 = 0$ → phân tích $(A-B)(A+B) = 0$ → suy ra $A=B$ hoặc $A=-B$.

VD: Tìm $x$ biết $x^2 - 9 = 0$.
⇔$(x - 3)(x + 3) = 0$
⇔$x = 3$ hoặc $x = -3$
7
Chứng minh chia hết · Chứng minh biểu thức luôn dương

Chứng minh chia hết: Khai triển bằng hằng đẳng thức → phân tích thành tích chứa thừa số cần chia hết.

VD: Chứng minh $(n+2)^2 - n^2$ chia hết cho $4$.
=$[(n+2) - n][(n+2) + n] = 2 \cdot (2n+2) = 4(n+1)$
→ luôn chia hết cho $4$ với mọi $n$ ∎

Chứng minh biểu thức luôn dương: Đưa về dạng $(\ldots)^2 + c$ với $c > 0$.

VD: Chứng minh $x^2 - 6x + 10 > 0$ với mọi $x$.
=$(x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$
$(x-3)^2 \ge 0$ → biểu thức $\ge 1 > 0$ ∎
⚡Tổng kết Bài 6 — 3 hằng đẳng thức đáng nhớ:
① $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$
② $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
③ $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Các em cần thuộc lòng 3 công thức này — chúng sẽ xuất hiện liên tục trong toàn bộ chương trình Toán THCS và THPT!
📚
Xem bài lý thuyết đầy đủ
Hiệu hai bình phương · Bình phương của một tổng hay một hiệu — đầy đủ công thức, mẹo giải nhanh và sai lầm thường gặp.
→
1
—
Điểm: 0/25
🎯

Cùng luyện 3 hằng đẳng thức nhé!

25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng (17 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng (20 bài tập) ( 30/04 )