Tính Chất Cơ Bản Của Phân Thức Đại Số
Tính chất cơ bản, quy tắc đổi dấu, rút gọn và quy đồng mẫu thức
Ở lớp dưới các em đã quen thuộc với tính chất cơ bản của phân số: nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu cho cùng một số khác $0$ thì được phân số bằng phân số đã cho. Phân thức đại số có hai tính chất tương tự — chỉ khác là dùng đa thức thay cho số.
($m$ là số khác $0$)
($M$ là đa thức $\ne 0$)
Nhân cả tử và mẫu với cùng đa thức $M$ → phân thức không đổi.
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $N$ → phân thức không đổi.
Giải thích vì sao $\dfrac{3x + 6}{x^2 - 4} = \dfrac{3}{x - 2}$.
Cách làm:
Đây là một hệ quả quan trọng của tính chất cơ bản, dùng rất nhiều khi rút gọn và quy đồng phân thức.
thì được phân thức bằng phân thức đã cho.
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{-B}$
🔵 Cách đổi dấu một đa thức: đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức đó (tương đương với việc nhân đa thức với $-1$). Kết quả nhận được là số đối của đa thức ban đầu.
Mỗi đa thức ở cột trái có số đối tương ứng ở cột phải:
Hai biểu thức $1 - x$ và $x - 1$ là HAI ĐA THỨC ĐỐI NHAU, KHÔNG bằng nhau! Cụ thể: $1 - x = -(x - 1)$.
Kiểm tra với $x = 5$: $1 - 5 = -4$, còn $5 - 1 = 4$. Rõ ràng $-4 \ne 4$.
VẬY điều gì "bằng nhau" theo quy tắc đổi dấu?
Là PHÂN THỨC, không phải biểu thức. Khi đổi dấu cả tử lẫn mẫu (mỗi cái thành số đối của nó), giá trị phân thức không đổi:
$\dfrac{1 - x}{2 - x} = \dfrac{-(1-x)}{-(2-x)} = \dfrac{x - 1}{x - 2}$ ✓
Chứng tỏ rằng phân thức $\dfrac{-x}{1 - x}$ bằng phân thức $\dfrac{x}{x - 1}$.
Cách làm: Nhân cả tử và mẫu của phân thức trái với $(-1)$ — phép biến đổi này không làm thay đổi giá trị phân thức.
Lưu ý: Tử $-x$ và $x$ là hai số đối nhau; mẫu $1-x$ và $x-1$ cũng đối nhau. Khi cả tử lẫn mẫu cùng đổi dấu thì phân thức giữ nguyên giá trị.
• Khi gặp tử và mẫu "ngược dấu" (như $3 - x$ và $x - 3$).
• Khi quy đồng mà hai mẫu là đa thức đối nhau (đổi dấu để đưa về cùng mẫu).
• Khi muốn đưa mẫu về dạng có hệ số cao nhất dương.
Rút gọn phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.
🔵 Cách rút gọn phân thức:
tử & mẫu
chung
mẫu cho NTC
rút gọn
🔵 Một số hằng đẳng thức hay dùng để phân tích:
| Tên | Công thức |
|---|---|
| Hiệu hai bình phương | $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ |
| Bình phương tổng | $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| Bình phương hiệu | $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ |
| Tổng hai lập phương | $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ |
| Hiệu hai lập phương | $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ |
(Không được gạch hạng tử $2x$)
(Gạch nhân tử chung $x$)
Rút gọn $\dfrac{5x + 10}{25x^2 + 50}$.
Rút gọn $\dfrac{45x(3 - x)}{15x(x - 3)^3}$.
Rút gọn $\dfrac{(x^2 - 1)^2}{(x + 1)(x^3 + 1)}$.
Quy đồng mẫu thức là biến đổi các phân thức đã cho thành các phân thức mới cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.
🔵 Cách quy đồng mẫu thức:
các mẫu
tử phụ
và mẫu
• Mỗi nhân tử (biểu thức): chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
• Nhân tử phụ = MTC $\div$ mẫu thức.
🔵 Ví dụ chọn MTC:
| Mẫu 1 | Mẫu 2 | MTC |
|---|---|---|
| $5x^2(x+1)$ | $2x(x+1)^2$ | $10x^2(x+1)^2$ |
| $(x-1)(x+1)$ | $(x+1)^2$ | $(x-1)(x+1)^2$ |
| $x-2$ | $(x-2)(x^2+2x+4)$ | $(x-2)(x^2+2x+4)$ |
$\dfrac{3}{4 - 2x} = \dfrac{3}{-2(x-2)} = \dfrac{-3}{2(x-2)}$
Quy đồng mẫu thức $\dfrac{1}{x^3 - 8}$ và $\dfrac{3}{4 - 2x}$.
Bước 1 — Phân tích & đổi dấu:
Bước 2 — MTC & nhân tử phụ:
Bước 3 — Kết quả:
Quy đồng mẫu thức $\dfrac{x}{x^2 - 1}$ và $\dfrac{1}{x^2 + 2x + 1}$.
🔵 Tìm đa thức / hệ số trong đẳng thức phân thức:
Tìm đa thức thay cho "?": $\dfrac{y - x}{4 - x} = \dfrac{?}{x - 4}$.
Vậy đa thức cần điền là $x - y$.
Tìm $a$ sao cho $\dfrac{5x}{x + 1} = \dfrac{ax(x - 1)}{(1 - x)(x + 1)}$.
• Tính chất cơ bản: nhân/chia tử và mẫu cùng đa thức $\ne 0$ → phân thức không đổi.
• Đổi dấu: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{-B}$ — đổi dấu cả tử lẫn mẫu.
• Rút gọn: phân tích nhân tử → chia nhân tử chung. Chỉ gạch nhân tử, KHÔNG gạch hạng tử.
• Quy đồng: phân tích mẫu → chọn MTC (số mũ cao nhất) → tìm nhân tử phụ → nhân tử và mẫu.
• Hai kỹ năng rút gọn và quy đồng sẽ là nền tảng cho các phép cộng, trừ, nhân, chia phân thức ở những bài tiếp theo.
Cùng luyện tập về Tính chất phân thức nhé!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du