Cách Tính Xác Suất Bằng Tỉ Số
Công thức xác suất, điều kiện đồng khả năng và các dạng bài cơ bản
Ở Bài 30, các em đã học cách liệt kê kết quả có thể và kết quả thuận lợi cho biến cố. Trong bài này, ta sẽ dùng các thông tin đó để tính ra một con số cụ thể — gọi là xác suất — nói lên "khả năng xảy ra" của biến cố.
Trong đó:
Công thức trên CHỈ áp dụng được khi các kết quả có thể đều có khả năng xảy ra như nhau — gọi là đồng khả năng.
🔵 Khi nào các kết quả là đồng khả năng?
• Rút thẻ trong hộp (các thẻ giống nhau)
• Quay vòng tròn chia bằng nhau
• Lấy bi/bóng có cùng kích thước, khối lượng
• Xúc xắc bị cong, mất cân đối
• Tung đồng xu cong queo
• Số kẹo mỗi loại khác nhau mà chỉ phân loại theo loại
🔵 Các bước tính xác suất:
kết quả
đồng khả năng
thuận lợi
$P(E)$
Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để được mặt có số chấm chẵn.
Bước 1. Tổng kết quả có thể: $6$ (gồm $1, 2, 3, 4, 5, 6$).
Bước 2. Xúc xắc cân đối → $6$ kết quả đồng khả năng. ✓
Bước 3. Số chẵn trong $\{1, ..., 6\}$: $2, 4, 6$ → $3$ kết quả thuận lợi.
Bước 4. Áp dụng công thức:
Đôi khi đề bài cho nhiều đối tượng "giống nhau, chỉ khác loại/màu". Nếu ta phân loại theo "loại/màu" thì các kết quả không đồng khả năng (vì số lượng mỗi loại khác nhau). Phải kí hiệu riêng từng đối tượng để đưa về đồng khả năng rồi mới áp dụng công thức.
Một túi đựng $17$ viên bi cùng khối lượng và kích thước, chỉ khác màu: $8$ đỏ, $5$ xanh, $4$ vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên. Tính xác suất biến cố $E$: "Lấy được viên bi đỏ".
⚠️ Sai lầm: Có $3$ màu → có $3$ kết quả → $P(E) = \dfrac{1}{3}$. SAI!
Vì $3$ nhóm có số bi khác nhau → không đồng khả năng.
✓ Cách đúng: Vì $17$ viên bi cùng khối lượng và kích thước → khi lấy ngẫu nhiên, mỗi viên có khả năng được chọn như nhau.
→ Có $17$ kết quả có thể (mỗi viên là 1 kết quả), đồng khả năng.
→ $8$ kết quả thuận lợi (8 viên bi đỏ).
→ Tổng kết quả có thể $=$ tổng số đối tượng, đồng khả năng.
Túi có $20$ viên kẹo cùng kích thước: $7$ kẹo sữa, $4$ kẹo chanh, $6$ kẹo dừa, $3$ kẹo bạc hà. Lan lấy ngẫu nhiên một viên. Tính xác suất Lan lấy được kẹo sữa.
$20$ viên kẹo cùng kích thước → $20$ kết quả đồng khả năng.
Số kẹo sữa: $7$ viên ($S_1, ..., S_7$).
Trong bài tập, các em sẽ gặp các dạng biến cố đặc biệt sau. Mỗi dạng có cách đếm thuận lợi riêng.
🔵 Biến cố "$A$ hoặc $B$"
Đếm tổng các kết quả thuận lợi cho $A$ và cho $B$ (với điều kiện không trùng nhau).
Túi có $5$ kẹo đen, $3$ kẹo đỏ, $7$ kẹo trắng (giống nhau, khác màu). Lấy ngẫu nhiên một viên. Tính xác suất biến cố $F$: "Lấy được kẹo đen hoặc đỏ".
🔵 Biến cố "không phải $A$" (phần bù)
Hoặc: số thuận lợi cho "không $A$" $=$ tổng kết quả $-$ số thuận lợi cho $A$.
Túi có $5$ kẹo đen, $3$ kẹo đỏ, $7$ kẹo trắng. Tính xác suất biến cố $H$: "Không lấy được kẹo đỏ".
🔵 Biến cố "ít nhất", "nhiều nhất"
• "Ít nhất $k$" nghĩa là $\geq k$ (tức là $k$, $k+1$, $k+2$, ... ).
• "Nhiều nhất $k$" nghĩa là $\leq k$ (tức là $0, 1, 2, ..., k$).
• "Lớn hơn $k$": $> k$ (KHÔNG bao gồm $k$).
• "Nhỏ hơn $k$": $< k$ (KHÔNG bao gồm $k$).
Vòng quay $12$ ô bằng nhau: $2$ ô $100$đ, $2$ ô $200$đ, $2$ ô $300$đ, $2$ ô $400$đ, $1$ ô $500$đ, $2$ ô $1000$đ, $1$ ô $2000$đ. Tính xác suất biến cố $B$: "Lan được ít nhất $500$ điểm".
Khi đề bài yêu cầu lấy 2 đối tượng, có 2 cách thực hiện khác nhau:
🔵 Cách 1 — Lấy cùng lúc (không thứ tự)
Lấy $2$ đối tượng cùng một lúc. Cặp $\{A, B\}$ và $\{B, A\}$ là MỘT kết quả (không phân biệt thứ tự).
$\dfrac{n \times (n-1)}{2}$
🔵 Cách 2 — Lấy lần lượt có hoàn lại (có thứ tự)
Lấy lần thứ nhất, ghi kết quả, trả lại đối tượng vào hộp, rồi lấy lần thứ hai. Mỗi kết quả là cặp $(a; b)$ có thứ tự.
$n \times n = n^2$
Hộp có $5$ viên bi đánh số $1, 2, 3, 4, 5$. Lấy cùng lúc 2 viên. Tính xác suất biến cố $A$: "Hai viên bi đánh số lẻ".
Hộp có $5$ viên bi đánh số $1, 2, 3, 4, 5$. Lấy lần 1, trả lại, rồi lấy lần 2. Tính xác suất biến cố "hai lần lấy được số giống nhau".
Có thể minh họa $25$ cặp bằng bảng $5 \times 5$ — các ô tô màu là cặp giống nhau (trên đường chéo):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1;1) | (1;2) | (1;3) | (1;4) | (1;5) |
| 2 | (2;1) | (2;2) | (2;3) | (2;4) | (2;5) |
| 3 | (3;1) | (3;2) | (3;3) | (3;4) | (3;5) |
| 4 | (4;1) | (4;2) | (4;3) | (4;4) | (4;5) |
| 5 | (5;1) | (5;2) | (5;3) | (5;4) | (5;5) |
Đôi khi đề bài cho xác suất và yêu cầu tìm số đối tượng. Cách giải:
Hộp có $15$ quả bóng cùng kích thước (xanh, đỏ, vàng). Lấy ngẫu nhiên một quả. Biết xác suất lấy được bóng xanh là $\dfrac{1}{5}$. Hỏi có bao nhiêu quả bóng xanh?
Trên giá có $15$ cuốn sách, trong đó có một số cuốn tiểu thuyết. Thủ thư đặt thêm $5$ cuốn tiểu thuyết. Nam chọn ngẫu nhiên một cuốn. Biết xác suất chọn được tiểu thuyết là $\dfrac{3}{4}$. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu tiểu thuyết?
• Công thức: $P(E) = \dfrac{\text{số thuận lợi}}{\text{tổng kết quả}}$ — chỉ dùng khi đồng khả năng.
• Đối tượng "cùng kích thước, khối lượng, hình dạng" → kí hiệu riêng từng cái → đồng khả năng.
• Biến cố "hoặc": cộng số thuận lợi từng phần.
• Biến cố "không": dùng phần bù $P(\text{không } A) = 1 - P(A)$.
• "Ít nhất $k$" $= \geq k$; "nhiều nhất $k$" $= \leq k$.
• Lấy cùng lúc 2 từ $n$: $\dfrac{n(n-1)}{2}$ cặp; lấy có hoàn lại: $n^2$ cặp.
• Tìm ẩn → lập phương trình từ công thức xác suất.
📚 Xem thêm lý thuyết, công thức và các mẹo giải nhanh tại đây →
Cùng luyện tính xác suất nhé!
20 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du