Menu Học Tập

Bài tập Toán 8 Bài 32: Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất và ứng dụng (20 bài tập)

Lớp 8 · Toán Bài 32

Xác Suất Thực Nghiệm & Ứng Dụng

Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất, ước lượng và dự đoán

1
Xác suất thực nghiệm của một biến cố
▼

Ở Bài 31, các em đã học cách tính xác suất bằng công thức tỉ số khi các kết quả đồng khả năng. Tuy nhiên, trong thực tế có rất nhiều tình huống ta KHÔNG thể áp dụng cách đó:

!
Xác suất "tắc đường vào giờ cao điểm" — không có "kết quả đồng khả năng" để liệt kê.
!
Xác suất "một bóng đèn bị hỏng" — phải dựa vào dữ liệu kiểm tra thực tế.
!
Xác suất "một học sinh đạt giỏi" — phải thống kê kết quả nhiều lớp, nhiều năm.

Trong những trường hợp như vậy, ta cần quan sát thực tế nhiều lần, ghi nhận dữ liệu, rồi tính xác suất thực nghiệm.

⭐ Công thức xác suất thực nghiệm ⭐
$P_{tn}(E) = \dfrac{k}{n}$
(xác suất thực nghiệm của biến cố $E$)

Trong đó:

★
$n$ là tổng số lần thực nghiệm (hoặc theo dõi, quan sát).
★
$k$ là số lần biến cố $E$ xảy ra trong $n$ lần đó.

🔵 Các bước tính xác suất thực nghiệm:

Xác định
$n$
→
Đọc kỹ
biến cố $E$
→
Đếm $k$
(số lần $E$ xảy ra)
→
Tính
$\dfrac{k}{n}$
Ví dụ 1 — Tung kẹp giấy

Tung một chiếc kẹp giấy $130$ lần xuống sàn gạch hình vuông. Quan sát thấy $98$ lần kẹp nằm hoàn toàn trong hình vuông và $32$ lần kẹp nằm trên cạnh. Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố:

$E$: "Kẹp giấy nằm hoàn toàn trong hình vuông".

$F$: "Kẹp giấy nằm trên cạnh hình vuông".

Tổng số lần tung: $n = 130$.
$P_{tn}(E)$ =$\dfrac{98}{130} = \dfrac{49}{65}$
$P_{tn}(F)$ =$\dfrac{32}{130} = \dfrac{16}{65}$
💡Lưu ý cách viết: Có thể dùng kí hiệu $P_{tn}(E)$ hoặc đơn giản là $P(E)$. Trong sách giáo khoa thường viết $P(E) \approx \dfrac{k}{n}$ với dấu "$\approx$" (xấp xỉ) để nhấn mạnh đây là ước lượng.
2
Tính xác suất thực nghiệm từ bảng thống kê
▼

Khi đề cho bảng thống kê nhiều dòng (nhiều giá trị khác nhau), ta cần đọc kỹ biến cố $E$ để biết phải cộng những dòng nào.

🔵 Các từ khóa thường gặp:

Ít nhất $a$
$\geq a$
$a, a+1, a+2, ...$
Nhiều nhất $a$
$\leq a$
$0, 1, ..., a$
Lớn hơn $a$
$> a$
$a+1, a+2, ...$
(KHÔNG có $a$)
Nhỏ hơn $a$
$< a$
$0, 1, ..., a-1$
(KHÔNG có $a$)
⚠️Cẩn thận: "Ít nhất 5" $\neq$ "Lớn hơn 5"!
• Ít nhất 5: $\geq 5$ → bao gồm $5, 6, 7, ...$
• Lớn hơn 5: $> 5$ → KHÔNG bao gồm $5$, chỉ $6, 7, ...$
Đọc nhầm 1 từ là sai cả bài!
Ví dụ 2 — Phế phẩm trong $20$ ngày

Một nhân viên kiểm tra chất lượng sản phẩm tại một nhà máy trong $20$ ngày, ghi lại số phế phẩm mỗi ngày:

Số phế phẩm$0$$1$$2$$3$$\geq 4$
Số ngày$14$$3$$1$$1$$1$

Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố:

$M$: "Trong một ngày không có phế phẩm".

$N$: "Trong một ngày chỉ có $1$ phế phẩm".

$K$: "Trong một ngày có ít nhất $2$ phế phẩm".

Lời giải:

Tổng: $n = 14 + 3 + 1 + 1 + 1 = 20$ ngày.
$P(M)$ =$\dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}$
($M$: $0$ phế phẩm → $14$ ngày)
$P(N)$ =$\dfrac{3}{20}$
($N$: đúng $1$ phế phẩm → $3$ ngày)
$P(K)$ =$\dfrac{1+1+1}{20} = \dfrac{3}{20}$
($K$: ít nhất $2$ → cộng dòng $2$, $3$ và $\geq 4$)
3
Mối liên hệ với xác suất — Ước lượng
▼

Ở Bài 31 ta đã có xác suất lý thuyết $P(E)$ — tính khi các kết quả đồng khả năng. Bây giờ ta có thêm xác suất thực nghiệm — tính từ dữ liệu thực tế. Hai khái niệm này có liên hệ gì?

🎯 Xác suất lý thuyết
Áp dụng khi các kết quả đồng khả năng (xúc xắc, thẻ giống nhau, vòng quay đều...).
$P(E) = \dfrac{\text{thuận lợi}}{\text{tổng}}$
📊 Xác suất thực nghiệm
Áp dụng khi không có điều kiện đồng khả năng — phải theo dõi, thống kê.
$P(E) \approx \dfrac{k}{n}$
Công thức ước lượng
$P(E) \approx \dfrac{k}{n}$
$n$ càng lớn → ước lượng càng chính xác
📌Quan trọng: Xác suất thực nghiệm chỉ là ước lượng (có sai số). Số lần thực nghiệm $n$ càng lớn thì giá trị xác suất thực nghiệm càng gần với xác suất thực sự của biến cố. Vì vậy ta thường viết $P(E) \approx \dfrac{k}{n}$ với dấu "$\approx$" (xấp xỉ).
Ví dụ 3 — Kiểm tra chất lượng tivi

Kiểm tra ngẫu nhiên $500$ chiếc ti vi do nhà máy $X$ sản xuất, có $4$ chiếc không đạt chất lượng. Ước lượng xác suất biến cố $E$: "Một ti vi không đạt chất lượng".

📺
$500$ chiếc
kiểm tra
✓
$496$ chiếc
đạt
✗
$4$ chiếc
không đạt
Áp dụng $P(E) \approx \dfrac{k}{n}$ với $k = 4$, $n = 500$:
$P(E)$ ≈$\dfrac{4}{500} = 0{,}008 = 0{,}8\%$
$P(E) \approx 0{,}8\%$

Vậy xác suất một ti vi không đạt chất lượng được ước lượng khoảng $0{,}8\%$.

💡Mẹo viết kết quả: Trong các bài thực tế (chất lượng sản phẩm, dịch bệnh, tỉ lệ...), nên viết xác suất dạng số thập phân hoặc phần trăm để dễ hình dung ý nghĩa thực tế. Ví dụ: $0{,}008$ hoặc $0{,}8\%$ trực quan hơn $\dfrac{4}{500}$.
4
Ứng dụng — Dự đoán kết quả
▼

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của xác suất thực nghiệm là dự đoán: từ dữ liệu thống kê đã có, ta có thể đoán được trong tương lai (hoặc trong một mẫu lớn hơn) sẽ có bao nhiêu lần biến cố xảy ra.

⭐ Công thức dự đoán ⭐
$k' \approx n' \times P(E)$
$n'$ là số lần thực nghiệm mới, $k'$ là số lần dự đoán $E$ xảy ra

🔵 Các bước dự đoán:

Tính $P(E)$
từ dữ liệu cũ
→
Lấy $n'$ mới
(số lần mới)
→
$k' = n' \times P(E)$
→
Làm tròn
thành số nguyên
⚠️Quan trọng: Số lần xảy ra phải là số nguyên! Sau khi tính $k' = n' \times P(E)$, kết quả thường là số thập phân — phải làm tròn đến số nguyên gần nhất.

Ví dụ: $74{,}4 \approx 74$; $3{,}6 \approx 4$.
Ví dụ 4 — Dự đoán số sản phẩm lỗi

Kiểm tra $100$ sản phẩm thu được:

Số lỗi$0$$1$$> 1$
Số sản phẩm$62$$35$$3$

a) Ước lượng xác suất các biến cố:

$A$: "Sản phẩm không lỗi"; $B$: "Đúng $1$ lỗi"; $C$: "Nhiều hơn $1$ lỗi".

b) Nếu kiểm tra $120$ sản phẩm khác, dự đoán số sản phẩm mỗi loại.

Lời giải a)

$P(A)$ ≈$\dfrac{62}{100} = 0{,}62$
$P(B)$ ≈$\dfrac{35}{100} = 0{,}35$
$P(C)$ ≈$\dfrac{3}{100} = 0{,}03$

Lời giải b) Áp dụng $k' = n' \times P(E)$ với $n' = 120$:

Không lỗi: $120 \times 0{,}62 = 74{,}4 \approx 74$ sản phẩm.
Đúng $1$ lỗi: $120 \times 0{,}35 = 42$ sản phẩm.
Nhiều hơn $1$ lỗi: $120 \times 0{,}03 = 3{,}6 \approx 4$ sản phẩm.
Số lỗi$0$$1$$> 1$
Số sản phẩm (dự đoán)$74$$42$$4$
Tổng kết Bài 32:
• Xác suất thực nghiệm: $P(E) = \dfrac{k}{n}$ — $k$ là số lần $E$ xảy ra, $n$ là tổng số lần quan sát.
• Ước lượng xác suất: $P(E) \approx \dfrac{k}{n}$ — $n$ càng lớn, ước lượng càng chính xác.
• Dự đoán: $k' \approx n' \times P(E)$ — nhớ làm tròn thành số nguyên.
• Đọc đề cẩn thận: "ít nhất" $\geq$, "nhiều nhất" $\leq$, "lớn hơn" $>$, "nhỏ hơn" $<$.

📚 Xem thêm lý thuyết, công thức và các mẹo giải nhanh tại đây →
1
—
Điểm: 0/20
📊

Cùng luyện tập xác suất thực nghiệm!

20 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng (17 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng (20 bài tập) ( 30/04 )