Menu Học Tập

Bài tập Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng (20 bài tập)

Lớp 8 · Toán Bài 35

Định Lí Pythagore Và Ứng Dụng

Định lí Pythagore thuận, đảo và ứng dụng tính độ dài, kiểm tra tam giác vuông

1
Định lí Pythagore
▼

Trong một tam giác vuông, ba cạnh có một mối liên hệ đặc biệt. Định lí Pythagore là một trong những định lí quan trọng nhất của Hình học, được phát hiện bởi nhà toán học Hy Lạp Pythagoras.

📐 Định lí Pythagore
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Tam giác ABC vuông tại A với cạnh huyền BC
Hình 1 — $\triangle ABC$ vuông tại $A$ với cạnh huyền $BC$, hai cạnh góc vuông $AB$ và $AC$
Công thức
Nếu $\triangle ABC$ vuông tại $A$ thì:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$

🔵 Nhận biết các cạnh:

1
Cạnh huyền: cạnh đối diện góc vuông — luôn là cạnh dài nhất.
2
Hai cạnh góc vuông: hai cạnh kề với góc vuông.

🔵 Hai công thức suy ra từ định lí:

1
Tính cạnh huyền (biết 2 cạnh góc vuông)
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$
2
Tính cạnh góc vuông (biết cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông)
$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$  hoặc  $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$
⚠️Sai lầm phổ biến:
• Nhầm cạnh huyền và cạnh góc vuông → áp dụng công thức sai.
• Quên lấy căn bậc hai sau khi tính bình phương: $BC^2 = 100$ phải lấy $BC = \sqrt{100} = 10$ chứ không phải $BC = 100$.
Ví dụ 1 — Tính cạnh huyền

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm. Tính $BC$.

Áp dụng định lí Pythagore:
→$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
→$BC = \sqrt{100} = \mathbf{10}$ cm
Ví dụ 2 — Tính cạnh góc vuông

Cho $\triangle MNP$ vuông tại $M$ có cạnh huyền $NP = 13$ cm, cạnh góc vuông $MN = 5$ cm. Tính $MP$.

Áp dụng định lí Pythagore: $NP^2 = MN^2 + MP^2$
→$MP^2 = NP^2 - MN^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
→$MP = \sqrt{144} = \mathbf{12}$ cm

🔵 Bộ ba Pythagore quen thuộc (cần nhớ thuộc!):

$(3 ; 4 ; 5)$
$3^2 + 4^2 = 5^2 = 25$
$(5 ; 12 ; 13)$
$5^2 + 12^2 = 13^2 = 169$
$(8 ; 15 ; 17)$
$8^2 + 15^2 = 17^2 = 289$
$(7 ; 24 ; 25)$
$7^2 + 24^2 = 25^2 = 625$
💡Mẹo nhớ nhanh: Các bội số của các bộ ba trên cũng là bộ ba Pythagore. Ví dụ: $(6; 8; 10)$ là bội $2$ của $(3; 4; 5)$; $(9; 12; 15)$ là bội $3$. Nhớ thuộc giúp giải nhanh không cần bình phương!
2
Định lí Pythagore đảo
▼

Định lí Pythagore thuận nói: tam giác vuông ⟹ có hệ thức bình phương. Định lí đảo nói ngược lại: nếu tam giác có hệ thức đó thì nó là tam giác vuông. Định lí đảo rất hữu ích — cho phép kiểm tra một tam giác có vuông hay không chỉ bằng tính toán (không cần đo góc).

📐 Định lí Pythagore đảo
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
Phát biểu cụ thể
Nếu $\triangle ABC$ có $BC^2 = AB^2 + AC^2$
⟹ $\triangle ABC$ vuông tại $A$
(góc vuông đối diện cạnh có bình phương lớn nhất)

🔵 Cách kiểm tra một tam giác có vuông không:

Tìm cạnh
lớn nhất ($c$)
→
Tính $c^2$
→
Tính tổng
$a^2 + b^2$
→
So sánh
(=) ⟹ vuông
📌Quan trọng: Phải so sánh bình phương cạnh LỚN NHẤT với tổng bình phương 2 cạnh còn lại. Nếu so nhầm cạnh khác sẽ ra kết luận sai.
Ví dụ 3 — Kiểm tra tam giác vuông

Cho tam giác có ba cạnh $9$ cm, $12$ cm, $15$ cm. Hỏi đây có phải tam giác vuông không?

Bước 1: Cạnh lớn nhất là $15$.
Bước 2: $15^2 = 225$.
Bước 3: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
→$15^2 = 9^2 + 12^2 = 225$ ✓
Theo định lí Pythagore đảo: đây là tam giác vuông (góc vuông đối diện cạnh $15$).
Ví dụ 4 — Bộ ba không phải tam giác vuông

Bộ ba $(4; 5; 6)$ có là cạnh tam giác vuông không?

Cạnh lớn nhất: $6$ → $6^2 = 36$.
$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.
→$36 \neq 41$ → KHÔNG phải tam giác vuông.
3
Đường cao trong tam giác vuông
▼

Khi kẻ đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền, ta được nhiều hệ thức đẹp giúp giải quyết các bài toán tính độ dài.

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Hình 2 — $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH \perp BC$, chia $BC$ thành hai đoạn $BH$ và $CH$
⚡ Các công thức quan trọng (cần nhớ thuộc!)
① Cạnh huyền: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$ (Pythagore cho $\triangle ABC$)
② Đường cao: $AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$ (suy từ công thức diện tích)
③ Pythagore trong $\triangle AHB$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$
④ Pythagore trong $\triangle AHC$: $AC^2 = AH^2 + CH^2$

🔵 Vì sao có công thức $AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$?

Diện tích $\triangle ABC$ tính theo 2 cách:
• Cách 1 (dùng 2 cạnh góc vuông): $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$
• Cách 2 (dùng cạnh huyền và đường cao): $S = \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot BC$
→$AB \cdot AC = AH \cdot BC$ ⟹ $AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$
Ví dụ 5 — Tính $AH$, $BH$, $CH$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, đường cao $AH$. Tính $BC$, $AH$, $BH$, $CH$.

Bước 1 — Tính $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$
$BC = 10$ cm.

Bước 2 — Tính $AH$:

$AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8$ cm.

Bước 3 — Tính $BH$ (Pythagore trong $\triangle AHB$):

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 36 - 23{,}04 = 12{,}96$
$BH = 3{,}6$ cm.

Bước 4 — Tính $CH$:

$CH = BC - BH = 10 - 3{,}6 = 6{,}4$ cm.
⚠️Sai lầm: Đừng áp dụng Pythagore trực tiếp cho cả $\triangle ABC$ chứa $AH$ — vì $AH$ không phải cạnh của $\triangle ABC$. Phải dùng công thức diện tích, hoặc Pythagore trong các tam giác con $\triangle AHB$, $\triangle AHC$.
4
Áp dụng vào hình học và bài toán thực tế
▼

Định lí Pythagore không chỉ áp dụng trong tam giác vuông "thuần túy" mà còn rất nhiều trong các hình quen thuộc.

🔵 Trong hình chữ nhật:

Đường chéo $d$ tạo với chiều dài $a$ và chiều rộng $b$ một tam giác vuông:
$d^2 = a^2 + b^2$

🔵 Trong hình vuông cạnh $a$:

Đường chéo: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
⟹ $d = a\sqrt{2}$

🔵 Trong tam giác cân:

Tam giác cân tại $A$ có đường cao $AH$ ⟹ $AH$ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.
⟹ $H$ là trung điểm $BC$, tức $BH = HC = \dfrac{BC}{2}$.
Áp dụng Pythagore trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$:
→$AB^2 = AH^2 + BH^2$

🔵 Bài toán thực tế:

Pythagore xuất hiện trong nhiều tình huống thực tế: cây bị gãy, cái thang dựa tường, xe rẽ vuông góc, đường đi tắt qua sân, đo khoảng cách 2 điểm…

Cách giải bài toán thực tế:

1
Đọc đề, vẽ hình minh họa.
2
Xác định tam giác vuông ẩn trong bài (thường có yếu tố "thẳng đứng", "vuông góc", "rẽ vuông").
3
Ghi các số liệu lên hình. Nếu hình phức tạp, kẻ đường phụ tạo tam giác vuông.
4
Áp dụng định lí Pythagore để tính cạnh cần tìm.
Bài toán cột cao và dây kéo (minh họa ứng dụng)
Hình 3 — Ứng dụng thực tế: cột thẳng đứng và dây kéo tạo thành tam giác vuông
Ví dụ 6 — Cái thang dựa tường

Một cái thang dài $5$ m dựa vào tường thẳng đứng. Chân thang cách chân tường $3$ m. Tính chiều cao của đỉnh thang trên tường.

Cái thang là cạnh huyền ($5$ m), chân thang đến tường là cạnh góc vuông ngang ($3$ m), chiều cao đỉnh thang là cạnh góc vuông dọc ($h$).
→$h^2 + 3^2 = 5^2$
→$h^2 = 25 - 9 = 16$
→$h = \mathbf{4}$ m.
5
Phương pháp giải các dạng bài tập
▼

🔵 Dạng 1: Tính độ dài cạnh trong tam giác vuông

1
Xác định cạnh huyền (đối diện góc vuông, lớn nhất) và 2 cạnh góc vuông.
2
Áp dụng công thức: tính cạnh huyền $= \sqrt{tổng}$, hoặc cạnh góc vuông $= \sqrt{hiệu}$.

🔵 Dạng 2: Nhận biết tam giác vuông bằng định lí đảo

1
Tìm cạnh lớn nhất.
2
So sánh bình phương cạnh lớn nhất với tổng bình phương 2 cạnh còn lại.
3
Bằng nhau ⟹ tam giác vuông; khác nhau ⟹ không vuông.

🔵 Dạng 3: Áp dụng vào hình chữ nhật, hình vuông, tam giác cân

1
Tách hình ra để thấy tam giác vuông bên trong (đường chéo, đường cao, ...).
2
Áp dụng Pythagore.

🔵 Dạng 4: Tam giác vuông có đường cao

Tính $BC$
(Pythagore)
→
Tính $AH$
$= \dfrac{bc}{a}$
→
Tính $BH$
(Pythagore $\triangle AHB$)
→
Tính $CH$
$= BC - BH$

🔵 Dạng 5: Bài toán thực tế

1
Đọc đề, vẽ hình, ghi số liệu.
2
Tìm tam giác vuông (hoặc kẻ đường phụ tạo tam giác vuông).
3
Áp dụng Pythagore tính cạnh cần tìm. Ghi đơn vị.
⚡Tổng kết Bài 35:
• Định lí Pythagore: $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ⟹ $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
• Định lí đảo: nếu $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ⟹ vuông tại $A$.
• Tính cạnh huyền: $\sqrt{tổng bình phương 2 cạnh góc vuông}$.
• Tính cạnh góc vuông: $\sqrt{cạnh huyền^2 - cạnh kia^2}$.
• Đường cao $AH$ trong tam giác vuông tại $A$: $AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$.
• Bộ ba quen thuộc: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$.

📚 Ôn lại lý thuyết và mở rộng: Để xem chi tiết hơn các công thức Pythagore thuận và đảo, mẹo giải nhanh cùng nhiều bài tập có lời giải, các em có thể tham khảo tại: Định lí Pythagore — Công thức Pythagore thuận và đảo

1
—
Điểm: 0/20
📐

Cùng luyện tập định lí Pythagore!

20 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng (17 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác (20 bài tập) ( 30/04 )