Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm $(1; -2)$ và có hệ số góc là $3$.

Hàm số có dạng $y = 3x + b$. Thay $x = 1$, $y = -2$:

Vậy hàm số là $\mathbf{y = 3x - 5}$.

Tìm hàm số bậc nhất có hệ số góc $-2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $3$.

Hàm số có dạng $y = -2x + b$. Cắt trục hoành tại $x = 3$ → tại đó $y = 0$. Thay vào:

Vậy hàm số là $\mathbf{y = -2x + 6}$.

Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng:

$(a)$ $y = 2x + 1$ ; $(b)$ $y = -1 - 2x$ ; $(c)$ $y = 2 + 2x$ ; $(d)$ $y = -1 + 2x$

Bước 1 — Đưa về dạng chuẩn:

Bước 2 — So sánh: Các đường thẳng $(a)$, $(c)$, $(d)$ đều có $a = 2$ nhưng $b$ khác nhau ($1, 2, -1$) → đôi một song song.

Vậy các cặp song song: $(a) \parallel (c)$, $(a) \parallel (d)$, $(c) \parallel (d)$.

Tìm $m$ để $y = (m+1)x + 2$ ($m \neq -1$) song song với $y = -2x + 1$.

Vậy $\mathbf{m = -3}$.

Tìm $m$ để $y = mx - 2$ ($m \neq 0$) cắt $y = -2x + 1$.

Điều kiện cắt nhau: $a \neq a'$ → $m \neq -2$.

Kết hợp điều kiện hàm bậc nhất ($m \neq 0$):

$m \neq 0$ và $m \neq -2$

Tìm $m$ để $(d): y = (m-1)x + 2m - 3$ cắt $y = 2x + 1$ tại một điểm trên trục tung.

Cho $x = 0$:

Kiểm tra: $a = m - 1 = 1 \neq 2 = a'$ ✓ (cắt nhau).

Vậy $\mathbf{m = 2}$.

Tìm $m$ để $(d): y = 2x + (m-1)$ và $(d'): y = 3x - 5$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

Cho $y = 0$ vào $(d')$: $0 = 3x - 5 ⇔ x = \dfrac{5}{3}$.

Vậy điểm giao là $\left(\dfrac{5}{3}; 0\right)$. Thay vào $(d)$:

Kiểm tra: $a = 2 \neq 3 = a'$ ✓.

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $(d): y = 3x - 1$ và $(d'): y = 5x - 2$.

Bước 1 — Kiểm tra: $a = 3 \neq 5 = a'$ ✓ (cắt nhau).

Bước 2 — Lập phương trình:

Bước 3 — Tìm $y$: Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào $(d)$: $y = 3 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$.

Vậy giao điểm là $\mathbf{\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)}$.

Kiểm tra: Thay vào $(d')$: $5 \cdot \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{1}{2}$ ✓.