Menu Học Tập

Bài tập Toán 8 Bài 33: Hai tam giác đồng dạng (20 bài tập)

Lớp 8 · Toán Bài 33

Hai Tam Giác Đồng Dạng

Định nghĩa, tỉ số đồng dạng, kí hiệu và định lí đường thẳng song song

1
Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
▼

Ở các bài trước, các em đã học về hai tam giác bằng nhau (cùng hình dạng, cùng kích thước). Bây giờ ta sẽ tìm hiểu một khái niệm tổng quát hơn: hai tam giác đồng dạng — cùng hình dạng nhưng kích thước có thể khác nhau.

Định nghĩa
Tam giác $A'B'C'$ gọi là đồng dạng với tam giác $ABC$ nếu:
$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC}$
và $\widehat{A'} = \widehat{A}$ ; $\widehat{B'} = \widehat{B}$ ; $\widehat{C'} = \widehat{C}$
Hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng
Hình 1 — Hai tam giác đồng dạng (các góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ)

🔵 Hai điều kiện cần kiểm tra:

1
Các góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{A'} = \widehat{A}$ ; $\widehat{B'} = \widehat{B}$ ; $\widehat{C'} = \widehat{C}$.
2
Các cạnh tương ứng tỉ lệ: $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC}$.
📌 Kí hiệu đồng dạng
$\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$

(viết theo đúng thứ tự cặp đỉnh tương ứng)

🔵 Cặp đỉnh tương ứng — quan trọng! Khi viết $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$, ta hiểu các cặp đỉnh tương ứng theo thứ tự:

$A' \leftrightarrow A$
đỉnh thứ 1
$B' \leftrightarrow B$
đỉnh thứ 2
$C' \leftrightarrow C$
đỉnh thứ 3
⚠️Cực kì quan trọng: Phải viết kí hiệu đồng dạng đúng thứ tự đỉnh tương ứng!
Ví dụ: $\triangle ABC \sim \triangle MNP$ ⟹ $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow P$.
Nếu viết $\triangle ACB \sim \triangle MNP$ thì sai vì sẽ hiểu $C \leftrightarrow N$ (trong khi đáng lẽ $B \leftrightarrow N$).
Ví dụ 1 — Hai tam giác đều luôn đồng dạng

Cho $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ là hai tam giác đều có $AB = 4$ cm và $A'B' = 3$ cm. Chứng minh $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$.

Bước 1 — Kiểm tra các góc:

$\triangle ABC$ đều ⟹ $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60°$
$\triangle A'B'C'$ đều ⟹ $\widehat{A'} = \widehat{B'} = \widehat{C'} = 60°$
⟹ $\widehat{A'} = \widehat{A}$ ; $\widehat{B'} = \widehat{B}$ ; $\widehat{C'} = \widehat{C}$ ✓

Bước 2 — Kiểm tra các cạnh:

$\triangle ABC$ đều ⟹ $AB = BC = CA = 4$ cm
$\triangle A'B'C'$ đều ⟹ $A'B' = B'C' = C'A' = 3$ cm
⟹$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{3}{4}$ ✓

Vậy $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$.

2
Tỉ số đồng dạng
▼

Khi hai tam giác đồng dạng, tỉ số chung giữa các cạnh tương ứng là một con số quan trọng.

Định nghĩa tỉ số đồng dạng
Nếu $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$, tỉ số:
$k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC}$
được gọi là tỉ số đồng dạng của $\triangle A'B'C'$ với $\triangle ABC$.
📌Nhớ: Tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{\text{cạnh tam giác viết TRƯỚC}}{\text{cạnh tương ứng tam giác viết SAU}}$. Nhầm thứ tự sẽ ra $\dfrac{1}{k}$.

🔵 Ba nhận xét quan trọng về tỉ số đồng dạng:

1
Đảo chiều: Nếu $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$ với tỉ số $k$ thì ngược lại $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ với tỉ số $\dfrac{1}{k}$.
→ Do đó nói "hai tam giác đồng dạng với nhau" không cần phân biệt thứ tự.
2
Hai tam giác bằng nhau thì luôn đồng dạng với nhau theo tỉ số $k = 1$. Đặc biệt: mọi tam giác đồng dạng với chính nó.
3
Tính chất bắc cầu: Nếu $\triangle A''B''C'' \sim \triangle A'B'C'$ với tỉ số $k$, và $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$ với tỉ số $m$, thì $\triangle A''B''C'' \sim \triangle ABC$ với tỉ số $\mathbf{k \cdot m}$.
Ví dụ 2 — Tính cạnh từ tỉ số đồng dạng

Cho $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{3}{5}$.

a) Tỉ số đồng dạng của $\triangle DEF$ với $\triangle ABC$ là bao nhiêu?

Theo nhận xét 1: tỉ số ngược $= \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{3/5} = \mathbf{\dfrac{5}{3}}$

b) Biết $DE = 10$ cm. Tính $AB$.

→$\dfrac{AB}{DE} = k = \dfrac{3}{5}$ (cạnh tam giác trước / tam giác sau)
→$\dfrac{AB}{10} = \dfrac{3}{5}$
→$AB = 10 \cdot \dfrac{3}{5} = \mathbf{6}$ cm
Ví dụ 3 — Tính chất bắc cầu

Cho $\triangle ABC \sim \triangle MNP$ với tỉ số $k_1 = 2$ và $\triangle MNP \sim \triangle XYZ$ với tỉ số $k_2 = 3$. Tìm tỉ số đồng dạng của $\triangle ABC$ với $\triangle XYZ$.

Theo nhận xét 3: $k = k_1 \cdot k_2 = 2 \cdot 3 = \mathbf{6}$
(hai tỉ số nhân với nhau theo "đường truyền")
3
Một số trường hợp đặc biệt
▼

Để tránh nhầm lẫn, các em cần phân biệt rõ những trường hợp luôn đồng dạng và chưa chắc đồng dạng:

✓ LUÔN đồng dạng
• Hai tam giác bằng nhau ($k = 1$).
• Hai tam giác đều bất kì (vì 3 góc đều $60°$, 3 cạnh tỉ lệ).
• Một tam giác với chính nó ($k = 1$).
✗ CHƯA chắc đồng dạng
• Hai tam giác bất kì.
• Hai tam giác vuông bất kì (chỉ có $1$ góc bằng nhau là $90°$, $2$ góc nhọn còn lại có thể khác).
• Hai tam giác cân bất kì.
⚠️Lưu ý: Hai tam giác đồng dạng không có nghĩa là bằng nhau! Chúng chỉ bằng nhau khi tỉ số đồng dạng $k = 1$. Hai tam giác đồng dạng nói chung có cùng hình dạng nhưng kích thước khác nhau.
Ví dụ 4 — Phân tích đúng/sai

Khẳng định nào sau đây là đúng?

✓"Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng" → ĐÚNG (theo nhận xét 2, đồng dạng với $k = 1$).
✗"Hai tam giác bất kì đồng dạng" → SAI (ví dụ tam giác đều và tam giác vuông không đồng dạng).
✓"Hai tam giác đều bất kì đồng dạng" → ĐÚNG (cả 3 góc đều $60°$, 3 cạnh tỉ lệ).
✗"Hai tam giác vuông bất kì đồng dạng" → SAI (chỉ có 1 góc bằng nhau, 2 góc nhọn có thể khác).
✗"Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau" → SAI (chỉ bằng khi $k = 1$).
4
Định lí — Đường thẳng song song với một cạnh
▼

Đây là công cụ chính để chứng minh hai tam giác đồng dạng trong bài học này.

Định lí
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại
thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Tam giác ABC với MN song song BC
Hình 2 — $\triangle ABC$ với $MN \parallel BC$, $M \in AB$, $N \in AC$ ⟹ $\triangle AMN \sim \triangle ABC$

🔵 Phát biểu cụ thể:

Cho $\triangle ABC$, lấy $M \in AB$, $N \in AC$ sao cho $MN \parallel BC$.
⟹$\triangle AMN \sim \triangle ABC$

🔵 Tỉ số đồng dạng khi này:

$k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
📌Mở rộng: Định lí vẫn đúng nếu đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác. Chẳng hạn nếu $D$, $E$ nằm trên phần kéo dài của $AB$, $AC$ và $DE \parallel BC$ thì $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

🔵 Các trường hợp hay gặp:

1
Đường trung bình: $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $AC$ ⟹ $MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$ ⟹ $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ với tỉ số $\mathbf{k = \dfrac{1}{2}}$.
2
Hình thang: $ABCD$ có $AB \parallel CD$, hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$ ⟹ $\triangle OAB \sim \triangle OCD$.
(Vì trong $\triangle OCD$, đường $AB$ song song $CD$ và cắt phần kéo dài 2 cạnh $OC$, $OD$.)
3
Đường kẻ song song: Trên cạnh $BC$ lấy $M$, từ $M$ kẻ $MN \parallel AC$ cắt $AB$ tại $N$ ⟹ $\triangle BMN \sim \triangle BCA$ (chú ý thứ tự đỉnh).
Ví dụ 5 — Tam giác có 3 trung điểm

Cho $\triangle ABC$. Gọi $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $AC$; $P$, $Q$ là trung điểm $AM$, $AN$. Tìm tất cả các cặp tam giác đồng dạng (phân biệt).

Tam giác ABC với M, N trung điểm AB, AC; P, Q trung điểm AM, AN
Hình 3 — Ba cặp tam giác đồng dạng

Lập luận:

(1) $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ ⟹ $MN \parallel BC$ ⟹ $\triangle AMN \sim \triangle ABC$.
(2) $PQ$ là đường trung bình của $\triangle AMN$ ⟹ $PQ \parallel MN$ ⟹ $\triangle APQ \sim \triangle AMN$.
(3) Từ (1) và (2): $PQ \parallel MN \parallel BC$ ⟹ $\triangle APQ \sim \triangle ABC$.

Vậy có 3 cặp tam giác đồng dạng: $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ ; $\triangle APQ \sim \triangle AMN$ ; $\triangle APQ \sim \triangle ABC$.

5
Phương pháp giải các dạng bài tập
▼

🔵 Dạng 1: Nhận biết kí hiệu đồng dạng và viết đúng thứ tự đỉnh

1
Xác định cặp đỉnh tương ứng từ kí hiệu cho trước.
2
Khi viết kí hiệu mới, chỉ được đổi cùng thứ tự ở cả 2 vế (ví dụ $\triangle CAB \sim \triangle PMN$ — đổi thứ tự nhưng đúng cặp).

🔵 Dạng 2: Tỉ số đồng dạng và tính độ dài cạnh

Xác định
cặp đỉnh
→
Lập tỉ số
$k = \dfrac{a'}{a}$
→
Thay vào
tỉ lệ thức
→
Tính cạnh
cần tìm

🔵 Dạng 3: Chứng minh đồng dạng bằng định lí đường thẳng song song

1
Tìm đường thẳng song song với một cạnh tam giác (đường trung bình, hai đáy hình thang, đường kẻ song song theo đề).
2
Áp dụng định lí: đường thẳng song song với một cạnh, cắt 2 cạnh kia (hoặc phần kéo dài) → tạo tam giác đồng dạng.
3
Viết kí hiệu đồng dạng đúng thứ tự đỉnh tương ứng.

🔵 Dạng 4: Ứng dụng tính độ dài (cột đèn, cọc gỗ, đo gián tiếp...)

1
Vẽ hình, xác định các đoạn thẳng song song (thường do "thẳng đứng" hoặc theo giả thiết).
2
Tìm cặp tam giác đồng dạng → lập tỉ lệ thức.
3
Thay số vào, giải tỉ lệ thức để tìm độ dài cần tính.
Tổng kết Bài 33:
• Đồng dạng = các góc tương ứng bằng + các cạnh tương ứng tỉ lệ.
• Tỉ số đồng dạng $k$: cạnh tam giác trước / tam giác sau. Đảo lại là $\dfrac{1}{k}$. Bắc cầu: $k_1 \cdot k_2$.
• Tam giác bằng nhau, hai tam giác đều → luôn đồng dạng. Hai tam giác vuông, cân bất kì → chưa chắc.
• Định lí cốt lõi: đường thẳng song song với một cạnh tam giác → tạo tam giác đồng dạng (thường gặp: đường trung bình, đường chéo hình thang).
• Viết kí hiệu phải đúng thứ tự cặp đỉnh tương ứng.

📚 Ôn lại lý thuyết và mở rộng: Để xem chi tiết hơn các công thức, mẹo giải nhanh và những thông tin bổ ích khác về tam giác đồng dạng, các em có thể tham khảo tại: Hai tam giác đồng dạng — Định nghĩa, Lý thuyết đầy đủ

1
—
Điểm: 0/20
📐

Cùng luyện tập về Hai tam giác đồng dạng!

20 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng (17 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng (20 bài tập) ( 30/04 )