Các Trường Hợp Đồng Dạng Của Hai Tam Giác Vuông
3 trường hợp đồng dạng + tỉ số đường cao, diện tích + bài toán thực tế
Hai tam giác vuông đã có sẵn một cặp góc bằng nhau (đều có góc vuông $90°$). Vì vậy, các điều kiện đồng dạng của tam giác vuông đơn giản hơn so với tam giác thường.
🔵 Giải thích: Hai tam giác vuông đã có $\widehat{A} = \widehat{A'} = 90°$. Nếu thêm $\widehat{B} = \widehat{B'}$ thì theo trường hợp góc-góc (g.g), hai tam giác đồng dạng.
$\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$
Cho góc nhọn $xOy$, trên tia $Ox$ có điểm $A$, trên tia $Oy$ có điểm $B$. Kẻ $AM \perp Oy$ tại $M$, $BN \perp Ox$ tại $N$. Chứng minh $\triangle OAM \sim \triangle OBN$.
🔵 Giải thích: Hai tam giác vuông có $\widehat{A} = \widehat{A'} = 90°$ — đây là góc xen giữa hai cạnh góc vuông. Nếu thêm điều kiện $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC}$ thì theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c), hai tam giác đồng dạng.
$\Rightarrow \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$
Tam giác vuông thứ nhất có hai cạnh góc vuông là $3$ cm và $4$ cm. Tam giác vuông thứ hai có hai cạnh góc vuông là $6$ cm và $8$ cm. Hai tam giác này có đồng dạng không?
Ngoài hai định lí trên, tam giác vuông còn có một trường hợp đồng dạng riêng mà tam giác thường không có:
$\Rightarrow \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$
📊 Bảng tổng kết 3 trường hợp đồng dạng tam giác vuông:
| Trường hợp | Điều kiện |
|---|---|
| Định lí 1 (góc nhọn) |
Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia |
| Định lí 2 (2 cạnh GV) |
Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia |
| Định lí đặc biệt (ch + GV) |
Cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia |
Khi hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k$, ngoài tỉ lệ các cạnh, ta còn có hai tỉ số quan trọng khác:
Nếu $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$, $A'H'$ và $AH$ là hai đường cao tương ứng thì:
$$\dfrac{A'H'}{AH} = k$$
🔵 Tại sao? Vì $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$ nên $\widehat{B'} = \widehat{B}$. Hai tam giác vuông $A'B'H'$ và $ABH$ có cặp góc nhọn $\widehat{B'} = \widehat{B}$ → đồng dạng theo Định lí 1, suy ra $\dfrac{A'H'}{AH} = \dfrac{A'B'}{AB} = k$.
Nếu $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$ thì:
$$\dfrac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = k^2$$
🔵 Tại sao? Diện tích $\triangle A'B'C' = \dfrac{1}{2} \cdot B'C' \cdot A'H' = \dfrac{1}{2} \cdot (k \cdot BC) \cdot (k \cdot AH) = k^2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = k^2 \cdot S_{ABC}$.
Cho hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k = 2$. Biết tam giác bé có diện tích $5$ cm². Tính diện tích tam giác lớn.
• Tỉ số cạnh: $k$
• Tỉ số đường cao: $k$
• Tỉ số chu vi: $k$
• Tỉ số diện tích: $k^2$
Khi tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $A$) có đường cao $AH$ thì xuất hiện 3 cặp tam giác vuông đồng dạng rất thú vị:
🔵 Ba cặp tam giác vuông đồng dạng:
Từ ba cặp đồng dạng trên, suy ra 3 hệ thức quan trọng:
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $BH = 4$ cm, $CH = 9$ cm. Tính $AH$.
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $AB = 3$ cm, $BC = 5$ cm. Tính đường cao $AH$.
Tam giác vuông đồng dạng có rất nhiều ứng dụng thực tế: đo chiều cao (cây, cột cờ, tòa nhà), đo khoảng cách (qua sông, qua hố)…
🔵 Quy trình giải bài toán thực tế:
2 tam giác vuông
đồng dạng
và tính
$$\dfrac{\text{Chiều cao vật 1}}{\text{Chiều cao vật 2}} = \dfrac{\text{Bóng vật 1}}{\text{Bóng vật 2}}$$
Cột cờ trường có bóng dài $8$ m. Cùng lúc đó, bạn An cao $1{,}6$ m có bóng dài $0{,}8$ m. Tính chiều cao cột cờ.
• Định lí 1: 1 góc nhọn bằng nhau → đồng dạng.
• Định lí 2: 2 cạnh góc vuông tỉ lệ → đồng dạng.
• Định lí đặc biệt: cạnh huyền + 1 cạnh góc vuông tỉ lệ → đồng dạng.
• Tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng = $k$.
• Tỉ số diện tích = $k^2$.
• Hệ thức tam giác vuông + đường cao: $AB^2 = BH \cdot BC$, $AH^2 = BH \cdot CH$, $AH \cdot BC = AB \cdot AC$.
Cùng luyện tập về tam giác vuông đồng dạng!
20 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du