Phép Cộng & Phép Trừ Phân Thức Đại Số
Quy tắc cộng, trừ phân thức · Phân thức đối · Dấu ngoặc
Tương tự như phép cộng phân số, phép cộng phân thức được chia thành hai trường hợp: cùng mẫu và khác mẫu.
(cộng tử, giữ nguyên mẫu)
(quy tắc giống hệt)
Tính: $\dfrac{5x^2}{x - 1} + \dfrac{5 - 10x}{x - 1}$.
🔵 Cách cộng phân thức KHÁC mẫu:
các mẫu
phụ
rút gọn
Tính: $\dfrac{7}{x} + \dfrac{2}{1 - x}$.
🔵 Phân thức đối:
kí hiệu: $-\dfrac{C}{D}$.
Tổng của một phân thức và phân thức đối của nó bằng $0$:
$\dfrac{C}{D} + \left(-\dfrac{C}{D}\right) = 0$
🔵 Quy tắc trừ phân thức: Tương tự cộng, có hai trường hợp.
$\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} + \dfrac{-C}{D}$
(quên đổi dấu hạng tử $+3$)
$= \dfrac{5 - 2x - 3}{x} = \dfrac{2 - 2x}{x}$
(đặt ngoặc, đổi dấu cả $2x$ và $3$)
Tính: $\dfrac{5 - 3x}{x + 1} - \dfrac{-2 + 5x}{x + 1}$.
Tính: $\dfrac{3x + 1}{x} - \dfrac{y - 2}{y}$.
Khi gặp hai phân thức có mẫu là hai đa thức đối nhau (ví dụ $x - 3$ và $3 - x$), ta áp dụng quy tắc đổi dấu đã học ở Bài 22 để đưa về cùng mẫu.
🔵 Cách nhận biết mẫu đối nhau: Hai đa thức $P$ và $Q$ là đối nhau khi $P = -Q$. Ví dụ:
$\dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{3 - x} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{-B}{x - 3} = \dfrac{A - B}{x - 3}$
Tính: $\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{2 - x}$.
Tính: $\dfrac{x}{2x - 6} + \dfrac{9}{2x(3 - x)}$.
Phép cộng phân thức cũng có các tính chất tương tự phép cộng phân số. Khi tính biểu thức nhiều phân thức, ta tận dụng các tính chất này để rút gọn nhanh.
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Giao hoán | $\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}$ |
| Kết hợp | $\left(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D}\right) + \dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B} + \left(\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}\right)$ |
| Cộng với 0 | $\dfrac{A}{B} + 0 = \dfrac{A}{B}$ |
| Cộng phân thức đối | $\dfrac{A}{B} + \left(-\dfrac{A}{B}\right) = 0$ |
🔵 Quy tắc dấu ngoặc (giống quy tắc trong $\mathbb{Q}$ đã học):
$A - (B - C) = A - B + C$
$A - (B + C) = A - B - C$
Tính: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x}$.
Rút gọn: $P = \dfrac{2}{3x+1} + \left[\dfrac{4}{5x-1} - \left(\dfrac{4}{5x-1} + \dfrac{2}{3x+1}\right)\right]$.
Bước 1 — Bỏ ngoặc tròn (có dấu "−" trước):
Bước 2 — Bỏ ngoặc vuông (có dấu "+" trước):
Bước 3 — Nhóm phân thức triệt tiêu:
Phép cộng/trừ phân thức xuất hiện trong rất nhiều bài toán thực tế: tính tổng thời gian di chuyển, tổng khối lượng công việc, tỷ lệ trộn dung dịch…
🔵 Cách giải bài toán thực tế:
• Thời gian $= \dfrac{\text{Quãng đường}}{\text{Vận tốc}}$
• Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc nước
• Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực − vận tốc nước
Một tàu du lịch chạy xuôi dòng $15$ km, sau đó quay ngược lại điểm xuất phát. Vận tốc tàu khi nước yên lặng là $10$ km/h, vận tốc dòng nước là $x$ km/h.
a) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian.
b) Tại $x = 2$: $T = \dfrac{300}{100 - 4} = \dfrac{300}{96} = \dfrac{25}{8}$ (giờ).
• Cùng mẫu: $\dfrac{A}{M} \pm \dfrac{B}{M} = \dfrac{A \pm B}{M}$.
• Khác mẫu: quy đồng → cộng/trừ → rút gọn.
• Mẫu đối nhau: dùng quy tắc đổi dấu để đưa về cùng mẫu.
• Phân thức đối: $-\dfrac{C}{D} = \dfrac{-C}{D}$ ; tổng phân thức và phân thức đối $= 0$.
• Tính chất giao hoán, kết hợp & dấu ngoặc: dùng để nhóm phân thức triệt tiêu.
• Lưu ý: luôn đặt ngoặc cho tử bị trừ; rút gọn kết quả cuối cùng.
Cùng luyện cộng & trừ phân thức nhé!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du