Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
Khái niệm phương trình, cách giải $ax + b = 0$ và bài toán lập phương trình
Trong thực tế, nhiều bài toán dẫn đến việc tìm một giá trị chưa biết thỏa mãn một hệ thức nào đó. Hệ thức đó được gọi là một phương trình.
trong đó vế trái $A(x)$ và vế phải $B(x)$ là hai biểu thức của cùng một biến $x$.
Ví dụ về phương trình một ẩn:
🔵 Nghiệm của phương trình:
nếu giá trị của $A(x)$ và $B(x)$ tại $x_0$ bằng nhau.
🔵 Cách kiểm tra một số có là nghiệm hay không:
Cho phương trình $3x - 6 = 9 - 2x$. Kiểm tra $x = 3$ và $x = -1$ có là nghiệm không.
| Giá trị $x$ | VT $= 3x - 6$ | VP $= 9 - 2x$ | Kết luận |
|---|---|---|---|
| $x = 3$ | $3(3)-6=3$ | $9-2(3)=3$ | VT = VP → Là nghiệm ✓ |
| $x = -1$ | $3(-1)-6=-9$ | $9-2(-1)=11$ | VT ≠ VP → Không phải ✗ |
• Giải phương trình: là tìm tất cả các nghiệm của nó.
• Tập nghiệm: là tập hợp tất cả các nghiệm, thường kí hiệu là $S$.
• Nếu phương trình không có nghiệm nào → tập nghiệm là tập rỗng $S = \varnothing$.
Trong tất cả các phương trình một ẩn, dạng đơn giản và cơ bản nhất là phương trình bậc nhất.
với $a$, $b$ là hai số đã cho và $\mathbf{a \neq 0}$
được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn $x$.
Trong đó: $a$ là hệ số của $x$, $b$ là hạng tử tự do, $x$ là ẩn.
🔵 Hai quy tắc giải phương trình:
thì $A = B - C$
thì $A \cdot C = B \cdot C$
🔵 Cách giải phương trình bậc nhất:
luôn có một nghiệm duy nhất: $\;x = -\dfrac{b}{a}$
a) Giải phương trình $5x + 15 = 0$.
Vậy nghiệm là $x = -3$. Tập nghiệm $S = \{-3\}$.
b) Giải phương trình $3 - \dfrac{1}{4}x = 0$.
Vậy nghiệm là $x = 12$. Tập nghiệm $S = \{12\}$.
Trong thực tế, nhiều phương trình không ở sẵn dạng $ax + b = 0$, nhưng bằng cách thực hiện các phép biến đổi phù hợp, ta có thể đưa chúng về dạng bậc nhất và giải được.
🔵 Các bước giải:
khử mẫu
📋 Chi tiết các bước:
• Dấu "+" trước ngoặc → giữ nguyên dấu các hạng tử bên trong.
• Dấu "−" trước ngoặc → đổi dấu tất cả hạng tử bên trong.
Ví dụ: $-(2x - 3) = -2x + 3$ (không phải $-2x - 3$).
Giải phương trình $4x - (3 - 2x) = 3(x + 5)$.
Vậy nghiệm là $x = 6$.
Giải phương trình $\dfrac{2x - 1}{3} + x = 1 + \dfrac{3 - x}{2}$.
Quy đồng và khử mẫu (nhân cả hai vế với $6$):
Vậy nghiệm là $x = \dfrac{17}{13}$.
Khi giải, nếu thu được một đẳng thức vô lí (ví dụ $0 = -7$), thì phương trình vô nghiệm, tức $S = \varnothing$.
Ví dụ: Giải $7x - (2x + 3) = 5(x - 2)$
$\Leftrightarrow 7x - 2x - 3 = 5x - 10$
$\Leftrightarrow 5x - 3 = 5x - 10$
$\Leftrightarrow 5x - 5x = -10 + 3$
$\Leftrightarrow 0 = -7$ (vô lí)
→ Phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc nhất giúp ta giải được rất nhiều bài toán thực tế: tính tuổi, tính tiền, tính nhiệt độ, tính quãng đường... Quy trình giải gồm 5 bước:
Hiện nay tuổi của bố bạn Nam gấp $3$ lần tuổi của Nam. Sau $10$ năm nữa thì tổng số tuổi của Nam và bố là $76$ tuổi. Tính tuổi hiện nay của hai người.
Bước 1 — Gọi ẩn: Gọi $x$ (tuổi) là tuổi hiện nay của Nam, $x > 0$.
Bước 2 — Biểu thị các đại lượng:
| Đại lượng | Hiện nay | Sau 10 năm |
|---|---|---|
| Tuổi Nam | $x$ | $x + 10$ |
| Tuổi bố | $3x$ | $3x + 10$ |
Bước 3 — Lập phương trình (tổng tuổi sau 10 năm là $76$):
Bước 4 — Giải:
Bước 5 — Kết luận: Nam hiện $14$ tuổi, bố hiện $3 \cdot 14 = 42$ tuổi.
✓ Kiểm tra: Sau 10 năm, Nam $24$ + bố $52 = 76$ tuổi. Đúng!
• Phương trình một ẩn dạng $A(x) = B(x)$. Nghiệm: giá trị làm 2 vế bằng nhau.
• Phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ ($a \neq 0$) luôn có nghiệm duy nhất $x = -\dfrac{b}{a}$.
• 2 quy tắc giải: chuyển vế (đổi dấu) và quy tắc nhân.
• PT đưa về $ax + b = 0$: quy đồng → khử mẫu → bỏ ngoặc → chuyển vế → thu gọn → giải.
• Bài toán thực tế: 5 bước (gọi ẩn → biểu thị → lập PT → giải → kết luận).
📚 Xem thêm tại edus.vn →
Cùng luyện giải Phương trình nhé!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du