Phân Thức Đại Số
Khái niệm phân thức, hai phân thức bằng nhau, điều kiện xác định và giá trị
Trong thực tế, các em thường gặp những biểu thức có dạng thương của hai đa thức. Ví dụ: nếu một ô tô đi quãng đường $s$ km với vận tốc $v$ km/h thì thời gian đi là $\dfrac{s}{v}$ — đây là một phân thức đại số.
trong đó $A$, $B$ là hai đa thức và $B$ khác đa thức $0$.
($A$: tử thức · $B$: mẫu thức)
🔵 Các trường hợp đặc biệt:
① Cả tử $A$ và mẫu $B$ đều phải là đa thức.
② Mẫu $B$ khác đa thức $0$.
Phân thức $\dfrac{5x - 2}{3}$ có:
Lưu ý: Số $3$ là một đa thức (đa thức bậc $0$), nên hoàn toàn hợp lệ làm mẫu.
Các em đã quen thuộc với quy tắc bằng nhau của hai phân số: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ khi $a \cdot d = b \cdot c$. Quy tắc này cũng áp dụng tương tự cho phân thức:
khi $a \cdot d = b \cdot c$
khi $A \cdot D = B \cdot C$
Tử của bên này × mẫu của bên kia, rồi kiểm tra xem có bằng nhau không.
Giải thích vì sao $\dfrac{1 + x}{1 - x^2} = \dfrac{1}{1 - x}$.
Cách làm: Dùng tích chéo.
Hai phân thức $\dfrac{x - 1}{3x + 6}$ và $\dfrac{x + 1}{3(x + 2)}$ có cùng mẫu thức không?
Vì phép chia chỉ thực hiện được khi số chia khác $0$, nên ta chỉ tính được giá trị của phân thức khi mẫu thức khác $0$.
là điều kiện của biến để mẫu $B \ne 0$.
🔵 Cách tìm ĐKXĐ:
mẫu $B$
nhân tử (nếu cần)
nhân tử $\ne 0$
🔵 Một số dạng mẫu thường gặp:
| Dạng mẫu | Phân tích | ĐKXĐ |
|---|---|---|
| $x + a$ | — | $x \ne -a$ |
| $ax + b$ | — | $x \ne -\dfrac{b}{a}$ |
| $x^2 - a^2$ | $(x-a)(x+a)$ | $x \ne \pm a$ |
| $ax^2 - bx$ | $x(ax - b)$ | $x \ne 0$ và $x \ne \dfrac{b}{a}$ |
a) Tìm ĐKXĐ của $\dfrac{x - 3}{x + 2}$.
b) Tìm ĐKXĐ của $\dfrac{x - 1}{x^2 - 1}$.
c) Tìm ĐKXĐ của $\dfrac{3x - 2}{2x^2 - 6x}$.
🔵 Tính giá trị của phân thức: Khi thay biến trong phân thức bằng các số (thỏa ĐKXĐ), ta được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức số đó là giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho.
thỏa ĐKXĐ?
phân thức
Cho phân thức $P = \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 2}$. Tính giá trị tại $x = 0$ ; $x = 1$ ; $x = 2$.
Bước 1 — ĐKXĐ: $x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.
Bước 2 — Kiểm tra & tính:
🔵 Phân thức bằng $0$:
$A = 0$ VÀ $B \ne 0$
① Giải tử $= 0$ để tìm các giá trị $x$.
② Đối chiếu với ĐKXĐ ($B \ne 0$): loại bỏ giá trị nào làm mẫu $= 0$.
③ Các giá trị còn lại là đáp số.
Cho phân thức $A = \dfrac{x^2 - 4}{4x + 8}$. Tìm $x$ để $A = 0$.
Bước 1 — ĐKXĐ: $4x + 8 = 4(x+2) \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.
Bước 2 — Giải tử $= 0$:
Bước 3 — Đối chiếu ĐKXĐ ($x \ne -2$):
Vậy $A = 0$ khi $x = 2$.
• $\dfrac{0}{A} = 0$ với mọi đa thức $A \ne 0$ (vì tử $= 0$, mẫu $\ne 0$).
• $\dfrac{A}{A} = 1$ với mọi đa thức $A \ne 0$ (vì $A \cdot 1 = A \cdot A$ chia cho $A$).
Phân thức xuất hiện rất nhiều trong các bài toán thực tế: tính thời gian, vận tốc, tỷ lệ phần trăm, năng suất…
🔵 Cách giải bài toán thực tế:
• Thời gian = Quãng đường / Vận tốc: $t = \dfrac{s}{v}$
• Vận tốc = Quãng đường / Thời gian: $v = \dfrac{s}{t}$
• Năng suất = Khối lượng / Thời gian
• Giá trung bình = Tổng tiền / Số sản phẩm
Một ô tô chạy với vận tốc $x$ km/h.
a) Viết phân thức biểu thị thời gian ô tô chạy hết quãng đường $120$ km.
b) Tính thời gian khi vận tốc là $60$ km/h.
a) Thời gian $= \dfrac{\text{Quãng đường}}{\text{Vận tốc}} = \dfrac{120}{x}$ (giờ).
ĐKXĐ: $x \ne 0$ (vận tốc phải khác $0$, phù hợp thực tế).
b) Tại $x = 60$ ($\ne 0$ ✓): $\dfrac{120}{60} = 2$ (giờ).
Vậy ô tô đi hết $120$ km trong $2$ giờ.
• Phân thức = $\dfrac{A}{B}$ với $A$, $B$ là đa thức và $B \ne 0$.
• Bằng nhau: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ ⟺ $A \cdot D = B \cdot C$ (tích chéo).
• ĐKXĐ: cho mẫu $\ne 0$.
• Phân thức $= 0$: tử $= 0$ VÀ mẫu $\ne 0$.
• Luôn kiểm tra ĐKXĐ trước khi tính giá trị.
Cùng luyện tập về Phân thức nhé!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du