Menu Học Tập

Bài tập Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều (20 bài tập)

Lớp 8 · Toán Bài 39

Hình Chóp Tứ Giác Đều

Khái niệm, các yếu tố, diện tích xung quanh và thể tích

1
Khái niệm hình chóp tứ giác đều
▼

Trong cuộc sống ta thường thấy nhiều công trình hình khối có dạng hình chóp tứ giác đều — như Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập, các đèn trang trí, hay đỉnh tháp các công trình kiến trúc.

📐 Định nghĩa
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có:
$\bullet$ Mặt đáy là một hình vuông.
$\bullet$ Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung một đỉnh.
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD với các yếu tố
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với các yếu tố cơ bản

🔵 Tính chất quan trọng:

• Đáy là hình vuông (4 cạnh bằng nhau, 4 góc đều $90°$).
• 4 cạnh bên bằng nhau ($SA = SB = SC = SD$).
• 4 mặt bên là 4 tam giác cân bằng nhau.
• Chân đường cao $O$ là tâm hình vuông đáy (giao điểm hai đường chéo).
• Điểm $O$ cách đều 4 đỉnh đáy.
💡So sánh với hình chóp tam giác đều (Bài 38):
• Tam giác đều: đáy là tam giác đều, có $3$ mặt bên.
• Tứ giác đều: đáy là HÌNH VUÔNG, có $4$ mặt bên.
2
Các yếu tố của hình chóp tứ giác đều
▼

Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, ta có 6 yếu tố cơ bản:

1
Đỉnh
Điểm $S$ — đỉnh chung của các mặt bên.
2
Mặt đáy
Hình vuông $ABCD$ ở dưới.
3
Cạnh bên
$SA, SB, SC, SD$ — bốn cạnh bằng nhau.
4
Mặt bên
$\triangle SAB, \triangle SBC, \triangle SCD, \triangle SDA$.
5
Đường cao
$SO$ — nối đỉnh $S$ với tâm $O$ (giao điểm hai đường chéo), vuông góc mặt đáy.
6
Trung đoạn
$SH$ — đoạn từ đỉnh $S$ đến trung điểm $H$ một cạnh đáy. Là đường cao mặt bên.
⚠️QUAN TRỌNG — Phân biệt đường cao và trung đoạn:
Hai đại lượng này khác nhau và dùng cho hai công thức khác nhau!
📏 Đường cao $SO$
Nối đỉnh $S$ với tâm $O$ hình vuông đáy.
Vuông góc với mặt đáy.
Là chiều cao $h$ của hình chóp.
Dùng cho $V$ (thể tích)
📐 Trung đoạn $SH$
Là đoạn từ đỉnh $S$ đến trung điểm $H$ một cạnh đáy.
Là đường cao của mặt bên.
Nằm trên mặt bên.
Dùng cho $S_{xq}$ (diện tích xung quanh)
💡Mẹo nhớ: Trung đoạn LUÔN dài hơn đường cao $SO$ (vì $SH$ là cạnh huyền, $SO$ là cạnh góc vuông trong cùng tam giác $SOH$).
3
Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều
▼

Diện tích xung quanh bằng tổng diện tích 4 mặt bên (4 tam giác cân bằng nhau).

🌟 Công thức diện tích xung quanh
$S_{xq} = p \cdot d$
$p$: nửa chu vi đáy ($p = \dfrac{4a}{2} = 2a$ với $a$ là cạnh đáy)
$d$: trung đoạn (đường cao mặt bên)

🔵 Công thức gộp (tiện cho đáy hình vuông cạnh $a$):

$\boxed{S_{xq} = 2a \cdot d}$

🔵 Diện tích toàn phần: bằng diện tích xung quanh cộng diện tích đáy.

$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = S_{xq} + a^2$
Ví dụ 1 — Diện tích xung quanh và toàn phần

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $10$ cm, trung đoạn $13$ cm. Tính $S_{xq}$ và $S_{tp}$.

Nửa chu vi đáy: $p = \dfrac{4 \cdot 10}{2} = 20$ (cm).
$S_{xq}$ =$p \cdot d = 20 \cdot 13 = \mathbf{260}$ (cm²).
Diện tích đáy: $S = 10^2 = 100$ (cm²).
$S_{tp}$ =$260 + 100 = \mathbf{360}$ (cm²).
4
Thể tích hình chóp tứ giác đều
▼

Thể tích bằng một phần ba tích diện tích đáy với chiều cao.

🌟 Công thức thể tích
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h$
$S$: diện tích đáy (với đáy hình vuông cạnh $a$: $S = a^2$)
$h$: chiều cao của hình chóp ($SO$)
$\boxed{V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h}$
⚠️Sai lầm thường gặp:
• Quên hệ số $\dfrac{1}{3}$ → tính thành $V = a^2 h$ (sai!).
• Dùng trung đoạn $d$ thay cho chiều cao $h$ trong công thức $V$ (sai!).
Ví dụ 2 — Tính thể tích trực tiếp

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $6$ cm, chiều cao $4$ cm. Tính thể tích.

Diện tích đáy: $S = 6^2 = 36$ (cm²).
$V$ =$\dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = \mathbf{48}$ (cm³).
Ví dụ 3 — Bài toán bánh ít

Bánh ít có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy $3$ cm, chiều cao $3$ cm. Tính thể tích.

$S = 3^2 = 9$ (cm²).
$V$ =$\dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = \mathbf{9}$ (cm³).
5
Tam giác vuông "vàng" SOH — Pythagore
▼

Đây là kỹ thuật quan trọng nhất của bài này! Khi đề chỉ cho cạnh đáy và chiều cao (hoặc chỉ cho cạnh đáy và trung đoạn), ta phải dùng Pythagore trong tam giác vuông $SOH$ để tìm đại lượng còn lại.

Hình chóp tứ giác đều với chiều cao h, trung đoạn d, cạnh đáy a
Tam giác vuông $SOH$ với $SO = h$, $OH = \dfrac{a}{2}$, $SH = d$

🔵 Cấu tạo tam giác vuông SOH:

📐 Tam giác $SOH$ vuông tại $O$
$SO$ (cạnh góc vuông) = chiều cao hình chóp = $h$
$OH$ (cạnh góc vuông) = khoảng cách từ tâm $O$ đến trung điểm cạnh = $\dfrac{a}{2}$
$SH$ (cạnh huyền) = trung đoạn = $d$
🌟 Định lí Pythagore trong $\triangle SOH$
$d^2 = h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$
Từ đó suy ra:
$d = \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{4}}$ (tính trung đoạn)
$h = \sqrt{d^2 - \dfrac{a^2}{4}}$ (tính chiều cao)
⚠️Cẩn thận: $OH = \dfrac{a}{2}$ (khoảng cách từ tâm đến trung điểm cạnh), KHÔNG phải $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (đó là khoảng cách từ tâm đến đỉnh — nửa đường chéo).
Ví dụ 4 — Tính trung đoạn từ cạnh đáy và chiều cao

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $6$ cm, chiều cao $4$ cm. Tính trung đoạn $d$.

$OH = \dfrac{a}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ (cm).
Pythagore: $d^2 = h^2 + OH^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
⇒$d = \sqrt{25} = \mathbf{5}$ (cm).
Ví dụ 5 — Tính chiều cao từ cạnh đáy và trung đoạn

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $8$ cm, trung đoạn $5$ cm. Tính chiều cao $h$.

$OH = \dfrac{a}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ (cm).
Pythagore: $h^2 = d^2 - OH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
⇒$h = \sqrt{9} = \mathbf{3}$ (cm).

🔵 Quy trình tính tổng hợp:

Vẽ tam giác
$SOH$
→
Áp dụng
Pythagore
→
Tính $d$
hoặc $h$
→
Áp dụng
$S_{xq}$ hoặc $V$
6
Bài toán hình khối ghép & Tổng kết
▼

Trong thực tế, ta thường gặp những vật được ghép từ nhiều khối hình khác nhau — như cột bê tông (hình hộp + hình chóp), nhà có mái chóp, đồ trang trí…

🔵 Quy trình giải:

B1: Tách hình thành các khối đơn giản (hộp chữ nhật, lập phương, chóp).
B2: Xác định kích thước từng khối (cạnh đáy hình chóp = cạnh trên hình hộp).
B3: Tính thể tích từng phần.
B4: Cộng thể tích các phần lại.
⚠️Cẩn thận: Chiều cao hình chóp KHÔNG phải chiều cao tổng của khối! Phải tách rõ: chiều cao chóp = chiều cao tổng − chiều cao phần hình hộp.
Ví dụ 6 — Khối bê tông

Khối bê tông gồm: phần dưới là hình hộp chữ nhật đáy vuông cạnh $40$ cm, cao $25$ cm. Phần trên là hình chóp tứ giác đều cao $100$ cm. Tính thể tích.

Phần dưới (hình hộp):
$V_1$ =$40 \cdot 40 \cdot 25 = 40\,000$ (cm³).
Phần trên (hình chóp): $a = 40$ cm, $h = 100$ cm.
$V_2$ =$\dfrac{1}{3} \cdot 40^2 \cdot 100 = \dfrac{160\,000}{3} \approx 53\,333{,}3$ (cm³).
$V$ =$V_1 + V_2 \approx \mathbf{93\,333{,}3}$ (cm³).
⚡Tổng kết Bài 39:
• Hình chóp tứ giác đều: đáy hình vuông + 4 mặt bên là tam giác cân bằng nhau.
• Phân biệt: trung đoạn $d$ (mặt bên) ≠ đường cao $h$ (chiều cao chóp).
• $S_{xq} = 2a \cdot d$ (cần trung đoạn $d$).
• $V = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot h$ (cần chiều cao $h$).
• $S_{tp} = S_{xq} + a^2$.
• Pythagore trong $\triangle SOH$: $d^2 = h^2 + (a/2)^2$.
• Bài hình ghép: tách thành các khối → tính riêng → cộng lại.
📚
Xem lý thuyết đầy đủ
Ôn lại toàn bộ lý thuyết, công thức, mẹo giải và các ví dụ chi tiết của Bài 39.
→
1
—
Điểm: 0/20
🔺

Cùng luyện tập về hình chóp tứ giác đều!

20 câu · 4 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng (17 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác (20 bài tập) ( 30/04 )