Menu Học Tập

Bài tập Toán 8 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu (25 bài tập)

Lớp 8 · Toán Bài 7

Lập Phương Của Một Tổng — Lập Phương Của Một Hiệu

Hai hằng đẳng thức đáng nhớ tiếp theo: $(A+B)^3$ và $(A-B)^3$

1
Lập phương của một tổng
▼

Ở bài trước, các em đã học $3$ hằng đẳng thức về bình phương. Bài này tiếp tục với hai hằng đẳng thức về lập phương.

Hằng đẳng thức 4
$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

($A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý)

🔵 Phân tích cấu trúc — khai triển có $4$ hạng tử:

Hạng tử 1 $A^3$
Hạng tử 2 $3A^2B$
Hạng tử 3 $3AB^2$
Hạng tử 4 $B^3$
Cách nhớ hệ số (Tam giác Pascal)
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
Hệ số khai triển lập phương: 1, 3, 3, 1
💡Mẹo nhớ:
• Hệ số $1, 3, 3, 1$ (đối xứng).
• Số mũ của $A$ giảm dần: $3, 2, 1, 0$.
• Số mũ của $B$ tăng dần: $0, 1, 2, 3$.
• Tổng số mũ trong mỗi hạng tử luôn bằng $3$.
Ví dụ 1 — Khai triển $(x + 3)^3$

Áp dụng công thức với $A = x$, $B = 3$:

$(x+3)^3$ =$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3$
=$x^3 + 9x^2 + 27x + 27$
Ví dụ 2 — Khai triển $(3x + y)^3$

Áp dụng với $A = 3x$, $B = y$:

=$(3x)^3 + 3(3x)^2 \cdot y + 3 \cdot 3x \cdot y^2 + y^3$
=$27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$
⚠️Lưu ý quan trọng: Khi $A$ là biểu thức kiểu $3x$, $2y$… thì phải lũy thừa cả hệ số và biến! Ví dụ: $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$, KHÔNG phải $2x^3$.
2
Lập phương của một hiệu
▼
Hằng đẳng thức 5
$(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

🔵 So sánh dấu của hai hằng đẳng thức:

$(A+B)^3$
$A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
+
+
+
+
$(A-B)^3$
$A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$
+
−
+
−
📌Quy tắc dấu:
• $(A+B)^3$: tất cả dấu cộng $+,+,+,+$.
• $(A-B)^3$: dấu xen kẽ $+,-,+,-$.

Cách nhớ khác: hạng tử có $B$ mũ lẻ thì mang dấu trừ ($-3A^2B$ và $-B^3$), hạng tử có $B$ mũ chẵn thì mang dấu cộng.
Ví dụ 3 — Khai triển $(x - 2)^3$

Áp dụng với $A = x$, $B = 2$:

$(x-2)^3$ =$x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$
=$x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
Ví dụ 4 — Khai triển $(x - 3y)^3$

Áp dụng với $A = x$, $B = 3y$:

=$x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3y + 3 \cdot x \cdot (3y)^2 - (3y)^3$
=$x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$
⭐Tính chất hữu ích: $(a - b)^3 = -(b - a)^3$ — đổi thứ tự trong phép trừ thì lập phương đổi dấu.
3
Viết biểu thức về dạng lập phương
▼

Đôi khi đề bài cho biểu thức đã khai triển (4 hạng tử), yêu cầu ta viết lại dưới dạng $(A+B)^3$ hoặc $(A-B)^3$. Đây là chiều "ngược" của hằng đẳng thức.

🔵 Quy trình nhận dạng:

Tìm $A$
(căn bậc 3
hạng tử đầu)
→
Tìm $B$
(căn bậc 3
hạng tử cuối)
→
Kiểm tra
2 hạng tử
giữa
→
Xác định
dấu $(\pm)$
🔍Cách phân biệt $(A+B)^3$ và $(A-B)^3$:
• Nếu tất cả $4$ hạng tử dương → $(A+B)^3$.
• Nếu dấu xen kẽ $+,-,+,-$ → $(A-B)^3$.
Ví dụ 5 — Viết $8 + 12x + 6x^2 + x^3$ về dạng lập phương

Bước 1 — Tìm $A$, $B$:

• Hạng tử đầu: $8 = 2^3$ → $A = 2$
• Hạng tử cuối: $x^3$ → $B = x$
• Tất cả hạng tử dương → dạng $(A+B)^3$

Bước 2 — Kiểm tra hai hạng tử giữa:

$3A^2B = 3 \cdot 2^2 \cdot x = 12x$ ✓
$3AB^2 = 3 \cdot 2 \cdot x^2 = 6x^2$ ✓

→ $8 + 12x + 6x^2 + x^3 = (2+x)^3$

Ví dụ 6 — Viết $8 - 12x + 6x^2 - x^3$ về dạng lập phương

Có dấu xen kẽ $+,-,+,-$ → đây là dạng $(A-B)^3$.

• $A = 2$ (vì $8 = 2^3$); $B = x$ (vì hạng tử cuối là $-x^3$)
Kiểm tra: $-3A^2B = -12x$ ✓; $3AB^2 = 6x^2$ ✓
→$8 - 12x + 6x^2 - x^3 = (2-x)^3$
⚠️Cẩn thận: Phải kiểm tra cả hai hạng tử giữa mới kết luận. Nếu chỉ khớp một hạng tử thì có thể không phải dạng lập phương!
4
Áp dụng: Rút gọn và tính nhanh giá trị
▼

🔵 Dạng 1 — Rút gọn biểu thức: Khai triển từng phần, rồi cộng/trừ các hạng tử đồng dạng.

Ví dụ 7 — Rút gọn $(x-2y)^3 + (x+2y)^3$
(1) Khai triển từng phần:
$(x-2y)^3 = x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3$
$(x+2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$
(2) Cộng lại — các hạng tử $-6x^2y$ và $+6x^2y$ triệt tiêu; $-8y^3$ và $+8y^3$ triệt tiêu:
=$2x^3 + 24xy^2$
Công thức rút gọn nhanh ⚡
$(A+B)^3 + (A-B)^3 = 2A^3 + 6AB^2$
$(A+B)^3 - (A-B)^3 = 6A^2B + 2B^3$

(Nhớ: tổng giữ hạng tử có $A$ mũ lẻ; hiệu giữ hạng tử có $B$ mũ lẻ)

🔵 Dạng 2 — Tính nhanh giá trị biểu thức: Khi biểu thức có $4$ hạng tử dạng khai triển, hãy viết gọn về $(A \pm B)^3$ TRƯỚC, rồi mới thay số.

Ví dụ 8 — Tính giá trị $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$ tại $x = 7$
Nhận dạng: hạng tử đầu $x^3$, cuối $27 = 3^3$ → $A = x$, $B = 3$, dấu $+$:
=$(x+3)^3$
Thay $x = 7$:
=$(7+3)^3 = 10^3 = \mathbf{1000}$
Ví dụ 9 — Tính giá trị $27 - 54x + 36x^2 - 8x^3$ tại $x = 6{,}5$
Dấu xen kẽ → $(A-B)^3$. $A = 3$ (vì $27 = 3^3$), $B = 2x$ (vì $8x^3 = (2x)^3$):
=$(3-2x)^3$
Thay $x = 6{,}5$:
=$(3 - 2 \cdot 6{,}5)^3 = (3-13)^3 = (-10)^3 = \mathbf{-1000}$
💡Mẹo: Nếu thấy biểu thức có $4$ hạng tử với hạng tử đầu và cuối là lập phương đẹp (như $1, 8, 27, 64, 125$, $x^3$, $8y^3$…), hãy thử ngay xem có phải dạng lập phương không!
5
Áp dụng: Tìm $x$ và Chứng minh đẳng thức
▼

🔵 Dạng 1 — Tìm $x$:

Đưa về dạng
$(A \pm B)^3 = k$
→
Lấy căn
bậc 3
→
$A \pm B = \sqrt[3]{k}$
→
Giải tìm $x$
Ví dụ 10 — Tìm $x$ biết $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = 0$
Nhận dạng vế trái: $(2x)^3 - 3(2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1 - 1^3 = (2x-1)^3$
Phương trình $\Leftrightarrow (2x-1)^3 = 0$
$\Leftrightarrow 2x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$
Ví dụ 11 — Tìm $x$ biết $x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 27$
Vế trái = $(x-2)^3$:
$(x-2)^3 = 27 = 3^3$
$\Leftrightarrow x - 2 = 3 \Leftrightarrow x = 5$

🔵 Dạng 2 — Chứng minh đẳng thức: Khai triển một hoặc cả hai vế bằng hằng đẳng thức, rồi so sánh.

Ví dụ 12 — Chứng minh $(a-b)^3 = -(b-a)^3$
Khai triển vế trái:
$VT = (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Khai triển vế phải:
$(b-a)^3 = b^3 - 3b^2a + 3ba^2 - a^3$
$VP = -(b-a)^3 = -b^3 + 3a b^2 - 3a^2b + a^3$
$\quad\;\,= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
→ $VT = VP$ ⇒ đẳng thức được chứng minh.
Tổng kết Bài 7:
• $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ — tất cả dấu $+$.
• $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ — dấu xen kẽ.
• Hệ số luôn là $1, 3, 3, 1$.
• Khai triển: thay vào công thức.
• Viết về lập phương: tìm $A$, $B$ từ căn bậc 3 hai đầu, kiểm tra hai giữa.
• Tính nhanh giá trị: viết về $(A\pm B)^3$ rồi mới thay số.
• Tìm $x$: đưa về dạng $(...)^3 = k$ rồi lấy căn bậc 3.
📚 Xem lại lý thuyết đầy đủ Công thức chi tiết, các mẹo giải nhanh, sai lầm thường gặp và nhiều ví dụ minh họa →
1
—
Điểm: 0/25
🧊

Cùng luyện tập về lập phương nhé!

25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng (17 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng (20 bài tập) ( 30/04 )