Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
Phương pháp 3 bước và 4 dạng bài cốt lõi: tiền tệ, pha trộn, chuyển động, năng suất
Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình, ta thực hiện theo 3 bước cơ bản:
🔵 Chi tiết Bước 1 — Lập phương trình:
- • Tuổi, số người: $x > 0$ và $x$ nguyên dương.
- • Tiền, vận tốc, quãng đường: $x > 0$.
- • Thời gian: $x > 0$.
- • Khối lượng dung dịch nhỏ trong tổng lớn: $0 < x < \text{tổng}$.
Bác Minh gửi tiết kiệm $200$ triệu đồng với kì hạn $12$ tháng. Cuối kì, bác Minh thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là $212$ triệu đồng. Tính lãi suất gửi tiết kiệm.
Bước 1 — Lập phương trình:
Bước 2 — Giải phương trình:
Bước 3 — Trả lời: $x = 0{,}06 > 0$ thỏa mãn điều kiện. Vậy lãi suất là $0{,}06 = \mathbf{6\%}$ một năm.
Bao gồm các bài toán về lương, lãi suất, đầu tư, giảm giá, gói cước... Đây là dạng phổ biến nhất.
VD: Gửi 100 triệu, lãi 6%/năm → tiền lãi $= 100 \cdot 0{,}06 = 6$ triệu.
VD: Giảm 20% → giá sau $= 0{,}8 \cdot$ giá gốc.
Bác Hưng đầu tư $300$ triệu vào hai khoản: trái phiếu (lãi $8\%$/năm) và tiết kiệm ngân hàng (lãi $6\%$/năm). Cuối năm bác nhận được $22$ triệu tiền lãi. Hỏi mỗi khoản đầu tư bao nhiêu tiền?
Lập phương trình:
Giải:
Trả lời: Mua trái phiếu $\mathbf{200}$ triệu, gửi tiết kiệm $\mathbf{100}$ triệu.
Khi pha trộn các dung dịch có nồng độ khác nhau, ta dựa trên nguyên tắc bảo toàn chất nguyên chất:
(nồng độ viết dưới dạng số thập phân)
$=$ Chất nguyên chất SAU pha
🔵 Các bước giải bài toán pha trộn:
Cần pha bao nhiêu gam dung dịch acid nồng độ $60\%$ với bao nhiêu gam dung dịch acid nồng độ $30\%$ để được $300$ g dung dịch acid nồng độ $50\%$?
Lập phương trình:
Giải:
Trả lời: Cần $\mathbf{200}$ g dd $60\%$ pha với $\mathbf{100}$ g dd $30\%$.
Bài toán chuyển động liên quan đến ba đại lượng: quãng đường ($s$), vận tốc ($v$), thời gian ($t$).
🔵 Các tình huống chuyển động:
Tổng thời gian $= t_{đi} + t_{nghỉ} + t_{về}$.
Bạn Nam đi xe đạp lúc $14$h vận tốc $12$ km/h. Hùng xuất phát từ nhà Nam lúc $14$h$10$ phút đuổi theo với vận tốc $18$ km/h. Hỏi mấy giờ Hùng đuổi kịp Nam?
Lập bảng tóm tắt (gọi $x$ giờ là thời gian Hùng đi):
| Vận tốc (km/h) | Thời gian (giờ) | Quãng đường (km) | |
|---|---|---|---|
| Nam | $12$ | $x + \dfrac{1}{6}$ | $12\left(x + \dfrac{1}{6}\right)$ |
| Hùng | $18$ | $x$ | $18x$ |
(Hùng xuất phát muộn hơn Nam $10$ phút $= \dfrac{1}{6}$ giờ)
PT (đuổi kịp → hai quãng đường bằng nhau):
Trả lời: Hùng xuất phát lúc $14$h$10$ + $20$ phút → đuổi kịp Nam lúc $\mathbf{14}$h$\mathbf{30}$ phút.
Bài toán năng suất liên quan đến 3 đại lượng: tổng sản phẩm, năng suất (số SP/ngày), số ngày làm việc.
Số ngày $= \dfrac{\text{Tổng SP}}{\text{Năng suất}}$
🔵 Mối quan hệ "dự định — thực tế":
Một tổ sản xuất dự định mỗi ngày làm $120$ sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ làm $150$ sản phẩm, nên xong sớm $4$ ngày và còn làm thêm được $10$ sản phẩm. Tính số sản phẩm tổ dự định làm.
Lập bảng tóm tắt (gọi $x$ là số SP dự định):
| Năng suất | Số ngày | Tổng SP | |
|---|---|---|---|
| Dự định | $120$ | $\dfrac{x}{120}$ | $x$ |
| Thực tế | $150$ | $\dfrac{x}{120} - 4$ | $x + 10$ |
PT (Tổng SP thực tế $=$ Năng suất thực tế $\times$ Số ngày thực tế):
Trả lời: Tổ dự định làm $\mathbf{2440}$ sản phẩm.
• Phương pháp 3 bước: Lập PT (gọi ẩn → biểu thị → lập PT) → Giải PT → Trả lời (kiểm tra điều kiện).
• Dạng tiền tệ: tiền lãi $=$ gốc $\times$ lãi suất; giá sau giảm $=$ giá gốc $\times (1 - $ tỉ lệ giảm$)$.
• Dạng pha trộn: tổng chất tan trước $=$ chất tan sau ($=$ nồng độ $\times$ khối lượng dd).
• Dạng chuyển động: $s = v \cdot t$; lưu ý đổi phút sang giờ; lập bảng để rõ.
• Dạng năng suất: tổng SP $=$ năng suất $\times$ số ngày; so sánh dự định và thực tế.
📚 Xem thêm tại edus.vn →
Cùng giải bài toán bằng lập phương trình!
23 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du