Đường Trung Bình Của Tam Giác
Định nghĩa, tính chất và ứng dụng trong chứng minh hình học
nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Trong tam giác $ABC$ trên, $D$ là trung điểm $AB$, $E$ là trung điểm $AC$. Khi đó đoạn thẳng $DE$ được gọi là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$.
Ví dụ: với $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $AB, AC, BC$ thì 3 đường trung bình là $MN, MP, NP$.
và bằng nửa cạnh đó.
$D$ là trung điểm $AB$
$E$ là trung điểm $AC$
$DE = \dfrac{1}{2}BC$
🔵 Chứng minh tính chất:
Cho tam giác $PQR$ với $M$ là trung điểm $PQ$, $N$ là trung điểm $PR$ và $QR = 12$ cm. Tính $MN$.
và song song với cạnh thứ hai
thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
🔵 So sánh hai chiều:
Suy ra:
• Đoạn nối song song cạnh thứ ba
• Đoạn nối bằng nửa cạnh thứ ba
Suy ra:
• Đường thẳng đó đi qua trung điểm cạnh còn lại
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $BM = MA = 3$ ($M \in AB$), $BN = 5$ ($N \in BC$). Biết $MN \perp AB$. Tính $NC$.
🔵 Dạng 1: Tính độ dài bằng đường trung bình
tam giác
2 trung điểm
$DE = \dfrac{1}{2}BC$
• Nếu cần tìm cạnh đối diện: $BC = 2 \cdot DE$
• Nếu cần tìm đường trung bình: $DE = \dfrac{1}{2}BC$
Cho $\triangle DEF$ có $H$ là trung điểm $DF$, $K$ là trung điểm $EF$ và $HK = 3$. Tính $x = DE$.
Vậy $x = 6$.
🔵 Dạng 2: Chứng minh tứ giác đặc biệt
• Hình bình hành: 2 cặp cạnh đối song song; hoặc 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
• Hình chữ nhật: hình bình hành có một góc vuông.
Cho $\triangle ABC$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$. Chứng minh $BMNC$ là hình thang.
🔵 Dạng 3: Chứng minh song song, trung điểm, hệ thức
Cho $\triangle ABC$ có trung tuyến $AM$. Lấy $D, E$ trên cạnh $AB$ sao cho $AD = DE = EB$ ($D$ giữa $A$ và $E$). Chứng minh $DC \parallel EM$ và $DC$ cắt $AM$ tại $I$ là trung điểm $AM$.
🔵 Mẹo giải nhanh:
Mẹo 2: Chiều ngược (chú ý) rất hay gặp — giúp chứng minh trung điểm cực nhanh.
Mẹo 3: Ba đường trung bình chia tam giác thành 4 tam giác bằng nhau.
• Đường trung bình: nối trung điểm 2 cạnh tam giác. Mỗi tam giác có 3 đường trung bình.
• Tính chất: song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
• Chú ý: đi qua trung điểm 1 cạnh + song song cạnh khác → đi qua trung điểm cạnh còn lại.
• Ba dạng bài: tính độ dài, chứng minh tứ giác đặc biệt, chứng minh song song-trung điểm-hệ thức.
Cùng luyện tập về Đường trung bình của tam giác!
20 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du