Menu Học Tập

Bài tập Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử (22 bài tập)

Lớp 8 · Toán Bài 9

Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử

Ba phương pháp: Đặt nhân tử chung — Hằng đẳng thức — Nhóm hạng tử

1
Khái niệm & Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
▼

Trước khi học về phân tích, các em cần hiểu rõ thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử:

Định nghĩa
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.

Có $3$ phương pháp cơ bản ở chương trình lớp 8:

1
Đặt nhân tử
chung
2
Sử dụng hằng
đẳng thức
3
Nhóm các
hạng tử

🔵 Phương pháp 1 — Đặt nhân tử chung:

Khi tất cả các hạng tử của đa thức đều có chung một nhân tử (đơn thức hoặc đa thức), ta có thể "đặt" nhân tử chung đó ra ngoài.

🔵 Các bước thực hiện:

Tìm nhân tử
chung lớn nhất
→
Đặt ra ngoài
ngoặc
→
Chia từng
hạng tử
→
Kiểm tra
phân tích tiếp
💡Cách tìm nhân tử chung lớn nhất (NTCLN):
• Phần hệ số: lấy ƯCLN của các hệ số.
• Phần biến: lấy các biến chung, mỗi biến với số mũ NHỎ NHẤT.

Ví dụ: $6a^2b$ và $18ab$ có NTCLN là $6ab$ (ƯCLN(6,18) = 6; biến $a$ chung mũ nhỏ nhất là $1$; biến $b$ chung mũ nhỏ nhất là $1$).
Ví dụ 1 — Đặt nhân tử chung là đơn thức

a) Phân tích $x^3 + 2x$:

Cả hai hạng tử đều có nhân tử chung là $x$:
=$x \cdot x^2 + x \cdot 2$
=$x(x^2 + 2)$

b) Phân tích $6a^2b - 18ab$:

NTCLN: $6ab$
=$6ab \cdot a - 6ab \cdot 3 = 6ab(a - 3)$
Ví dụ 2 — Đặt nhân tử chung là đa thức

Phân tích $3(x + y) - 5y(x + y)$:

Cả hai hạng tử đều có chung nhân tử $(x+y)$:
=$(3 - 5y)(x + y)$
⚠️Lưu ý quan trọng: Phải phân tích đến khi không thể phân tích tiếp được nữa.

Ví dụ: $x^3 - x = x(x^2 - 1)$ chưa xong — phải tiếp tục: $= x(x-1)(x+1)$ (vì $x^2 - 1$ là hiệu hai bình phương).
2
Phương pháp 2: Sử dụng hằng đẳng thức
▼

Khi đa thức có dạng phù hợp với một trong $7$ hằng đẳng thức đáng nhớ, ta áp dụng hằng đẳng thức để viết thành tích.

🔵 Bộ 7 hằng đẳng thức (tham khảo):

HĐT 1 $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
HĐT 2 $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
HĐT 3 $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$
HĐT 4 $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
HĐT 5 $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$
HĐT 6 $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$
HĐT 7 $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$
🔍 Mẹo nhận dạng nhanh theo số hạng tử
2 hạng tử Thử HĐT 3, 6, 7
($A^2-B^2$ hoặc $A^3 \pm B^3$)
3 hạng tử Thử HĐT 1, 2
($(A \pm B)^2$)
4 hạng tử Thử HĐT 4, 5
($(A \pm B)^3$)
Ví dụ 3 — Phân tích bằng HĐT

a) $x^2 - 10x + 25$:

3 hạng tử → thử HĐT 2: $(A-B)^2$ với $A = x$, $B = 5$:
=$x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$

b) $4x^2 + 12x + 9$:

3 hạng tử → HĐT 1 với $A = 2x$, $B = 3$:
=$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$

c) $27x^3 - 8$:

2 hạng tử lập phương → HĐT 7 với $A = 3x$, $B = 2$:
=$(3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$
📌Lưu ý: Một số bài cần kết hợp với đặt nhân tử chung trước. Ví dụ: $x^4 - 8x = x(x^3 - 8) = x(x-2)(x^2+2x+4)$.
3
Phương pháp 3: Nhóm các hạng tử
▼

Khi đa thức có nhiều hạng tử mà không có nhân tử chung cho tất cả, ta có thể nhóm các hạng tử thích hợp lại để xuất hiện nhân tử chung, rồi đặt nhân tử chung.

🔵 Các bước thực hiện:

Nhóm các
hạng tử
→
Đặt NTC
mỗi nhóm
→
Đặt NTC
(đa thức)
cả biểu thức
💡Cách nhóm phù hợp:
• Với $4$ hạng tử: thường nhóm $2 + 2$.
• Với $5–6$ hạng tử: thử $3 + 2$ hoặc $3 + 3$.
• Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm khác nhau, nhưng kết quả cuối cùng phải giống nhau.
Ví dụ 4 — Phân tích $xy + 2z + xz + 2y$ thành nhân tử

Cách 1 — Nhóm $(xy + xz)$ và $(2z + 2y)$:

=$\big(\,xy + xz\,\big) + \big(\,2z + 2y\,\big)$
=$x(y + z) + 2(z + y)$
Có nhân tử chung là $(y + z)$:
=$(x + 2)(y + z)$

Cách 2 — Nhóm $(xy + 2y)$ và $(2z + xz)$:

=$y(x + 2) + z(2 + x) = (x + 2)(y + z)$
→ Cả hai cách đều cho cùng kết quả ✓
Ví dụ 5 — Phân tích $x^2 - 9 + xy + 3y$
Nhóm $(x^2 - 9)$ và $(xy + 3y)$:
=$(x^2 - 9) + (xy + 3y)$
Áp dụng HĐT 3 và đặt $y$ ra ngoài:
=$(x - 3)(x + 3) + y(x + 3)$
Đặt nhân tử chung là $(x + 3)$:
=$(x + 3)(x - 3 + y)$
⚠️Sai lầm thường gặp: Quên đổi dấu khi nhóm. Ví dụ với đa thức $x^2 - 9 + xy + 3y$, nếu nhóm thành $(x^2 - 9) + (xy - 3y)$ thì SAI vì đã đổi dấu của $3y$. Phải kiểm tra dấu từng hạng tử sau khi nhóm.
4
Phối hợp các phương pháp
▼

Nhiều bài yêu cầu kết hợp $2$–$3$ phương pháp. Thứ tự thường áp dụng:

Đặt nhân tử
chung trước
→
Nhóm hạng tử
(nếu cần)
→
Áp dụng
hằng đẳng thức
→
Phân tích tiếp
nếu còn được
Ví dụ 6 — Phân tích $x^2 - y^2 + 2x - 2y$
Nhóm $(x^2 - y^2)$ và $(2x - 2y)$:
=$(x^2 - y^2) + (2x - 2y)$
Dùng HĐT 3 và đặt $2$ ra ngoài:
=$(x - y)(x + y) + 2(x - y)$
Đặt nhân tử chung là $(x - y)$:
=$(x - y)(x + y + 2)$
Ví dụ 7 — Phân tích $x^2 - 2x + 1 - y^2$ (kỹ thuật quan trọng)

Đây là kỹ thuật "gom 3 hạng tử thành bình phương hoàn hảo", sau đó dùng hiệu hai bình phương:

Nhóm 3 hạng tử đầu thành bình phương hoàn hảo:
=$(x^2 - 2x + 1) - y^2 = (x - 1)^2 - y^2$
Áp dụng HĐT 3 với $A = (x-1)$, $B = y$:
=$(x - 1 - y)(x - 1 + y)$
⚡Mẹo nhận dạng kỹ thuật $(...)^2 - (...)^2$:
Khi gặp đa thức có $4$ hạng tử mà $3$ trong đó tạo thành bình phương hoàn hảo, hạng tử còn lại là một bình phương → áp dụng hiệu hai bình phương.
5
Áp dụng: Tìm $x$ và Bài toán thực tế
▼

🔵 Dạng 1 — Tìm $x$ bằng phân tích thành nhân tử:

Quy tắc tích bằng 0
Nếu $A \cdot B = 0$ thì $A = 0$ HOẶC $B = 0$.
(Mở rộng: $A \cdot B \cdot C = 0 \Leftrightarrow A = 0$ hoặc $B = 0$ hoặc $C = 0$.)

🔵 Các bước tìm $x$:

Chuyển
về dạng
"= 0"
→
Phân tích
vế trái
thành tích
→
Cho mỗi
nhân tử = 0
→
Giải tìm
các giá trị $x$
Ví dụ 8 — Tìm $x$ biết $x^2 - 4x = 0$
Đặt nhân tử chung là $x$:
$x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0$
Tích bằng $0$ → mỗi nhân tử có thể bằng $0$:
$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x - 4 = 0$
$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 4$
Ví dụ 9 — Tìm $x$ biết $2x^3 - 2x = 0$
Đặt $2x$ ra ngoài, rồi áp dụng HĐT 3:
$2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1) = 2x(x - 1)(x + 1) = 0$
Tích bằng $0$ → 3 trường hợp:
$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = -1$
⚠️Sai lầm thường gặp: Khi $x(x-3) = 0$, học sinh chỉ ghi $x = 3$ mà quên nghiệm $x = 0$. Phải nhớ: tích bằng $0$ → MỖI nhân tử đều có thể bằng $0$.

🔵 Dạng 2 — Bài toán thực tế:

Phân tích thành nhân tử giúp tính nhanh giá trị của biểu thức (đặc biệt khi số liệu lớn). Sau khi viết về tích, ta thay số vào và tính theo các nhân tử.

📐Một số công thức diện tích/chu vi hay dùng:
• Diện tích hình vuông cạnh $a$: $S = a^2$
• Diện tích hình chữ nhật: $S = $ dài $\times$ rộng
• Hiệu hai diện tích hình vuông: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
⚡Tổng kết Bài 9:
• Có $3$ phương pháp: đặt NTC, dùng HĐT, nhóm hạng tử.
• Thường kết hợp các phương pháp: NTC trước → HĐT/nhóm → tiếp tục phân tích.
• Phân tích triệt để: phân tích đến khi không thể tiếp tục.
• Tìm $x$: chuyển về "$= 0$", phân tích thành tích, cho mỗi nhân tử $= 0$.
• Bài thực tế: phân tích thành nhân tử rồi thay số để tính nhanh.
📚 Xem lại lý thuyết đầy đủ Công thức chi tiết, các mẹo giải nhanh, sai lầm thường gặp và nhiều ví dụ minh họa →
1
—
Điểm: 0/22
🧩

Cùng luyện tập phân tích đa thức nào!

22 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng (17 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng (20 bài tập) ( 30/04 )