Phép Nhân & Phép Chia Phân Thức Đại Số
Quy tắc nhân, chia · Phân thức nghịch đảo · Rút gọn biểu thức tổng hợp
Quy tắc nhân phân thức hoàn toàn giống quy tắc nhân phân số đã học: nhân tử với tử, mẫu với mẫu.
🔵 Cách nhân tối ưu (luôn áp dụng):
nhân tử
nhân tử chung
mẫu × mẫu
(rút gọn)
🔵 Một số hằng đẳng thức cần nhớ:
| Tên | Công thức |
|---|---|
| Hiệu hai bình phương | $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ |
| Bình phương tổng/hiệu | $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ |
| Tổng hai lập phương | $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ |
| Hiệu hai lập phương | $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ |
Tính: $\dfrac{3x - 1}{4x + 1} \cdot \dfrac{4x + 1}{9x^2 - 1}$.
🔵 Tính chất phép nhân phân thức:
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Giao hoán | $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D} \cdot \dfrac{A}{B}$ |
| Kết hợp | $\left(\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D}\right) \cdot \dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B} \cdot \left(\dfrac{C}{D} \cdot \dfrac{E}{F}\right)$ |
| Phân phối với phép cộng | $\dfrac{A}{B} \cdot \left(\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}\right) = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{E}{F}$ |
Tính: $\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x - 1}{x + 1} \cdot \dfrac{y}{x}$.
🔵 Phân thức nghịch đảo:
(đảo tử thành mẫu, mẫu thành tử)
$\dfrac{C}{D} \cdot \dfrac{D}{C} = 1$
Một vài ví dụ về phân thức nghịch đảo:
🔵 Quy tắc chia phân thức: hoàn toàn giống chia phân số — nhân với phân thức nghịch đảo.
(với $\dfrac{C}{D} \ne 0$)
(nhầm như tích chéo của hai phân thức bằng nhau)
(đảo phân thức sau, rồi nhân)
Kết quả cuối CÓ THỂ trông giống nhau, nhưng cách hiểu phải đúng: chia là nhân với nghịch đảo!
Tính: $\dfrac{5}{x^2 - 1} : \dfrac{3}{x^2 - x}$.
Đây là dạng bài cho một đẳng thức chứa phân thức cần tìm, yêu cầu tìm phân thức đó. Nguyên tắc: dùng phép tính ngược lại.
| Đề bài | Cách tìm |
|---|---|
| $P \cdot Q = R$ | $P = R : Q = R \cdot \dfrac{1}{Q}$ |
| $\dfrac{P}{Q} = R$ hay $P : Q = R$ | $P = R \cdot Q$ |
| $Q : P = R$ | $P = Q : R = Q \cdot \dfrac{1}{R}$ |
• Tìm thừa số chưa biết trong tích → lấy tích chia cho thừa số đã biết.
• Tìm số bị chia → lấy thương nhân với số chia.
• Tìm số chia → lấy số bị chia chia cho thương.
Tìm phân thức $P$ sao cho: $P \cdot \dfrac{x + 1}{2x + 1} = \dfrac{x^2 + x}{4x^2 - 1}$.
Tìm phân thức $Q$ sao cho: $Q : \dfrac{x^2}{x^2 + 4x + 4} = \dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2 - 2x}$.
Đây là dạng bài kinh điển nhất của chương Phân thức, kết hợp cả 4 phép tính (cộng, trừ, nhân, chia). Xuất hiện rất nhiều trong kiểm tra và thi.
🔵 Thứ tự thực hiện:
🔵 Quy trình giải bài rút gọn tổng hợp:
Cho $P = \left(\dfrac{x^2 - 2}{x^2 + 2x} + \dfrac{1}{x + 2}\right) : \dfrac{x + 1}{x}$ với $x \ne 0$, $x \ne -2$, $x \ne -1$.
Bước 1 — Tính trong ngoặc:
Bước 2 — Thực hiện phép chia:
Vậy $P = \dfrac{x - 1}{x + 1}$.
Sau khi rút gọn $P = \dfrac{A}{B}$, viết lại bằng cách chia đa thức:
$\dfrac{A}{B} = q + \dfrac{r}{B}$ (với $q$ là thương, $r$ là phần dư là số nguyên).
$P$ nguyên ⟺ $\dfrac{r}{B}$ nguyên ⟺ $B$ là ước của $r$.
Ví dụ: $\dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{(x+1) - 2}{x+1} = 1 - \dfrac{2}{x+1}$. $P$ nguyên ⟺ $(x+1)$ là ước của $2$.
Đây là bài cuối cùng trong chương Phân thức đại số. Bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia đã hoàn tất.
🔵 Bảng tổng kết 4 phép tính phân thức:
| Phép tính | Quy tắc |
|---|---|
| Cộng cùng mẫu | $\dfrac{A}{M} + \dfrac{B}{M} = \dfrac{A+B}{M}$ |
| Trừ cùng mẫu | $\dfrac{A}{M} - \dfrac{B}{M} = \dfrac{A-B}{M}$ |
| Cộng/trừ khác mẫu | Quy đồng → cộng/trừ → rút gọn |
| Nhân | $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$ |
| Chia | $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$ |
• Nhân: tử × tử, mẫu × mẫu. Phân tích nhân tử trước, rút gọn ngay.
• Chia: nhân với phân thức nghịch đảo (đảo tử mẫu phân thức sau dấu chia).
• Tính chất phép nhân: giao hoán, kết hợp, phân phối với cộng.
• Tìm phân thức: dùng phép tính ngược (tích → chia ; thương → nhân).
• Rút gọn biểu thức tổng hợp: ĐKXĐ → ngoặc → nhân/chia → cộng/trừ → rút gọn cuối.
Cùng luyện nhân & chia phân thức nhé!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du