Menu Học Tập

Bài tập Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác (20 bài tập)

Lớp 8 · Toán Bài 34

Ba Trường Hợp Đồng Dạng Của Hai Tam Giác

Cạnh–Cạnh–Cạnh (c.c.c), Cạnh–Góc–Cạnh (c.g.c), Góc–Góc (g.g)

1
Tổng quan ba trường hợp đồng dạng
▼

Ở Bài 33, để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần kiểm tra cả 3 cặp góc bằng nhau và cả 3 cặp cạnh tỉ lệ. Điều này khá tốn công! Trong bài này, các em sẽ học 3 cách "ngắn gọn" để chứng minh đồng dạng — chỉ cần kiểm tra 2 hoặc 3 dữ kiện.

🔵 Ba trường hợp đồng dạng:

c.c.c
Cạnh – Cạnh – Cạnh
Ba cặp cạnh tỉ lệ ⟹ hai tam giác đồng dạng.
c.g.c
Cạnh – Góc – Cạnh
Hai cặp cạnh tỉ lệ + góc xen giữa bằng nhau ⟹ hai tam giác đồng dạng.
g.g
Góc – Góc
Hai cặp góc bằng nhau ⟹ hai tam giác đồng dạng. (Trường hợp dễ áp dụng nhất!)
💡Liên hệ với "tam giác bằng nhau": Ba trường hợp này tương tự như ba trường hợp bằng nhau (c.c.c, c.g.c, g.c.g) đã học, chỉ khác ở chỗ "tỉ lệ" thay cho "bằng nhau".

🔵 Khi nào nên dùng trường hợp nào?

c.c.c
Khi đề cho đầy đủ 3 cạnh của cả 2 tam giác
c.g.c
Khi đề cho 2 cạnh và 1 góc xen giữa
g.g
Khi đề chỉ cho các góc (không biết cạnh)
2
Trường hợp 1: Cạnh – Cạnh – Cạnh (c.c.c)
▼
📐 Định lí (c.c.c)
Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Phát biểu
Nếu $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{B'C'}{BC}$
⟹ $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$
Hai tam giác có ba cạnh tỉ lệ
Hình 1 — Hai tam giác có ba cạnh tỉ lệ thì đồng dạng (c.c.c)

🔵 Các bước áp dụng:

Xác định
3 cạnh mỗi tam giác
→
Lập 3 tỉ số
cạnh tương ứng
→
So sánh
3 tỉ số
→
Kết luận
đồng dạng
⚠️Cẩn thận khi ghép cạnh tương ứng! Phải ghép theo thứ tự cạnh nhỏ nhất ứng cạnh nhỏ nhất, cạnh lớn nhất ứng cạnh lớn nhất. Nếu ghép sai thứ tự thì 3 tỉ số sẽ KHÁC nhau → kết luận sai.
Ví dụ 1 — Áp dụng c.c.c

Cho $\triangle ABC$ có $AB = 6$ cm, $BC = 9$ cm, $CA = 12$ cm. Cho $\triangle DEF$ có $DE = 4$ cm, $EF = 6$ cm, $FD = 8$ cm. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Lập 3 tỉ số:

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$
$\dfrac{BC}{EF} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$
$\dfrac{CA}{FD} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$
⟹$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD} = \dfrac{3}{2}$ ✓

Vậy $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (c.c.c) với tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{3}{2}$.

📌Mở rộng — Tỉ số chu vi: Nếu hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k$ thì tỉ số chu vi cũng bằng $k$ (vì các cạnh tương ứng đều tỉ lệ theo $k$).
3
Trường hợp 2: Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)
▼
📐 Định lí (c.g.c)
Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
Phát biểu
Nếu $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC}$ và $\widehat{A'} = \widehat{A}$
⟹ $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$
Hai tam giác có hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau
Hình 2 — c.g.c: hai cạnh tỉ lệ + góc xen giữa bằng nhau
⚠️CỰC KÌ QUAN TRỌNG — Góc XEN GIỮA:
Trong c.g.c, góc bằng nhau phải là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ. Nếu góc đó không xen giữa thì chưa đủ để kết luận đồng dạng!

Ví dụ: nếu $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC}$ thì góc bằng nhau phải là $\widehat{A'} = \widehat{A}$ (góc tại đỉnh $A$, $A'$ — xen giữa $AB,AC$ và $A'B',A'C'$). Nếu cho $\widehat{B'} = \widehat{B}$ (không phải góc xen giữa) thì không kết luận được!

🔵 Các bước áp dụng:

Tìm 2 cặp
cạnh tỉ lệ
→
Xác định
góc xen giữa
→
Chứng minh
góc đó bằng nhau
→
Kết luận
(c.g.c)
💡Mẹo nhỏ: Khi hai tam giác có chung 1 góc (gọi là "góc chung") — ví dụ $\widehat{A}$ chung — thì ta thường dùng c.g.c. Chỉ cần kiểm tra 2 cặp cạnh kề góc đó có tỉ lệ không.
Ví dụ 2 — Áp dụng c.g.c (góc chung)

Cho $\triangle ABC$ có $AB = 12$ cm, $AC = 15$ cm. Trên các tia $AB$, $AC$ lần lượt lấy $M$, $N$ sao cho $AM = 10$ cm, $AN = 8$ cm. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle ANM$.

Xét hai tam giác $ABC$ và $ANM$:

(1) $\dfrac{AB}{AN} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$
(2) $\dfrac{AC}{AM} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}$
⟹ $\dfrac{AB}{AN} = \dfrac{AC}{AM}$ (hai cặp cạnh tỉ lệ).
(3) Góc $\widehat{A}$ chung (xen giữa hai cặp cạnh).
⟹$\triangle ABC \sim \triangle ANM$ (c.g.c)
4
Trường hợp 3: Góc – Góc (g.g)
▼
📐 Định lí (g.g)
Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Phát biểu
Nếu $\widehat{A'} = \widehat{A}$ và $\widehat{B'} = \widehat{B}$
⟹ $\triangle A'B'C' \sim \triangle ABC$
Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau
Hình 3 — g.g: chỉ cần hai cặp góc bằng nhau
⚡Vì sao chỉ cần 2 góc? Tổng 3 góc trong tam giác luôn bằng $180°$, nên nếu 2 cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba tự động bằng nhau.

🔵 Các nguồn góc bằng nhau phổ biến:

📌 Góc chung
Hai tam giác có chung 1 góc (ví dụ $\widehat{A}$ chung).
📌 Góc đối đỉnh
Tại giao điểm của 2 đường thẳng, 2 góc đối đỉnh luôn bằng nhau.
📌 Góc so le trong
Khi có 2 đường thẳng song song, các cặp góc so le trong bằng nhau.
📌 Góc vuông
Hai tam giác vuông luôn có 1 cặp góc bằng $90°$ (chỉ cần thêm 1 cặp góc nhọn bằng nhau là đồng dạng).
📌 Đề bài cho
Đề bài cho biết trực tiếp: $\widehat{ABM} = \widehat{ACN}$, ...
📌 Góc phân giác
Tia phân giác chia một góc thành 2 nửa bằng nhau.
Ví dụ 3 — g.g với góc chung

Cho $\triangle ABC$ nhọn có $AB = 2$ cm, $AC = 4$ cm. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ sao cho $\widehat{ABM} = \widehat{ACB}$. Chứng minh $\triangle ABM \sim \triangle ACB$ và tính $AM$.

Bước 1 — Chứng minh đồng dạng:

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACB$:
(1) $\widehat{A}$ chung
(2) $\widehat{ABM} = \widehat{ACB}$ (giả thiết)
⟹$\triangle ABM \sim \triangle ACB$ (g.g)

Bước 2 — Tính $AM$:

Từ đồng dạng: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AM}{AB}$
$\dfrac{2}{4} = \dfrac{AM}{2}$
$AM = \dfrac{2 \cdot 2}{4} = \mathbf{1}$ cm

🔵 Mẹo cực hữu ích — Tam giác vuông có đường cao:

Tam giác vuông tại A có đường cao AH
Hình 4 — Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ tạo 3 cặp tam giác đồng dạng
⚡ 3 cặp tam giác đồng dạng (nhớ thuộc!)
① $\triangle HBA \sim \triangle ABC$ (chung góc $B$, cùng có góc $90°$)
② $\triangle HAC \sim \triangle ABC$ (chung góc $C$, cùng có góc $90°$)
③ $\triangle HBA \sim \triangle HAC$ (suy ra từ ① và ②, hoặc dùng góc bằng)
📌Ứng dụng: Mẹo này giúp giải nhanh các bài toán tính độ dài trong tam giác vuông có đường cao (tính $BH$, $CH$, $AH$, …).
5
Phương pháp giải các dạng bài tập
▼

🔵 Dạng 1: Chứng minh đồng dạng bằng c.c.c

1
Xác định độ dài 3 cạnh của mỗi tam giác.
2
Lập 3 tỉ số cạnh tương ứng (chú ý ghép đúng thứ tự!).
3
So sánh: nếu cả 3 tỉ số bằng nhau → đồng dạng (c.c.c).

🔵 Dạng 2: Chứng minh đồng dạng bằng c.g.c

1
Tìm 2 cặp cạnh tỉ lệ.
2
Xác định góc xen giữa 2 cặp cạnh đó.
3
Chứng minh góc xen giữa bằng nhau → đồng dạng (c.g.c).

🔵 Dạng 3: Chứng minh đồng dạng bằng g.g

1
Tìm 2 cặp góc bằng nhau (từ các nguồn: chung, đối đỉnh, so le trong, vuông, đề cho, phân giác…).
2
Kết luận đồng dạng (g.g).

🔵 Dạng 4: Ứng dụng để tính độ dài

Chứng minh
đồng dạng
→
Lập tỉ lệ thức
các cạnh
→
Thay số
vào tỉ lệ
→
Giải tìm
độ dài

🔵 Dạng 5: Chứng minh tích bằng nhau / bình phương

1
Để chứng minh $AB \cdot CD = EF \cdot GH$ → viết thành tỉ lệ $\dfrac{AB}{EF} = \dfrac{GH}{CD}$.
2
Để chứng minh $AB^2 = CD \cdot EF$ → viết thành $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{EF}{AB}$.
3
Tìm cặp tam giác đồng dạng có chứa tỉ lệ đó.
Tổng kết Bài 34:
• c.c.c: 3 cặp cạnh tỉ lệ.
• c.g.c: 2 cặp cạnh tỉ lệ + góc xen giữa bằng nhau.
• g.g: 2 cặp góc bằng nhau (dễ áp dụng nhất!).
• Trong tam giác vuông có đường cao: nhớ thuộc 3 cặp đồng dạng.
• Để tính cạnh: chứng minh đồng dạng → lập tỉ lệ → thay số.

📚 Ôn lại lý thuyết và mở rộng: Để xem chi tiết hơn các công thức, mẹo giải nhanh cùng nhiều bài tập có lời giải về ba trường hợp đồng dạng, các em có thể tham khảo tại: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác — Lý thuyết & Bài tập

1
—
Điểm: 0/20
🔺

Cùng luyện tập 3 trường hợp đồng dạng!

20 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
Thầy Võ Văn Trung

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du

Bài tập Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng (17 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (20 bài tập) ( 30/04 )

Bài tập Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng (20 bài tập) ( 30/04 )