Hình Chữ Nhật
Định nghĩa, tính chất và $4$ dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
Hình chữ nhật là tứ giác quen thuộc nhất trong đời sống — mặt bàn, trang vở, màn hình điện thoại... đều là hình chữ nhật.
$\Rightarrow$ Khi giải bài tập, chỉ cần chứng minh $3$ góc vuông là đủ kết luận hình chữ nhật.
🔵 Hình chữ nhật là trường hợp đặc biệt của:
• Cạnh đối song song và bằng nhau (từ hình bình hành).
• Các góc đối bằng nhau (đều $= 90°$).
• Hai đường chéo bằng nhau (từ hình thang cân).
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm (từ hình bình hành).
Cụ thể, trong hình chữ nhật $ABCD$ với $O$ là giao điểm hai đường chéo:
$OA = OB = OC = OD = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{BD}{2}$
| Tính chất | Cụ thể |
|---|---|
| $4$ góc vuông | $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90°$ |
| Cạnh đối bằng nhau | $AB = CD$ ; $AD = BC$ |
| Đường chéo bằng nhau | $AC = BD$ |
| Giao điểm cách đều $4$ đỉnh | $OA = OB = OC = OD$ |
Ngoài cách nhận biết bằng định nghĩa (tứ giác có $4$ góc vuông, hoặc $3$ góc vuông), ta còn có thể nhận biết hình chữ nhật từ hình bình hành:
b) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
🔵 Tóm lại — có $4$ cách nhận biết hình chữ nhật:
(định nghĩa)
(chú ý từ định nghĩa — phổ biến nhất)
(Định lí 2a)
(Định lí 2b)
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau VÀ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow$ là hình chữ nhật.
Lý do: "đường chéo cắt nhau tại trung điểm" → là hình bình hành (Định lí 3b bài hình bình hành), kết hợp "đường chéo bằng nhau" → hình chữ nhật (Định lí 2b).
Hình thang cân cũng có $2$ đường chéo bằng nhau nhưng không phải hình chữ nhật. Phải có thêm điều kiện "là hình bình hành" hoặc "đường chéo cắt nhau tại trung điểm".
Một hệ quả trực tiếp rất hữu ích từ Định lí 1 là tính chất đặc biệt của đường trung tuyến trong tam giác vuông:
🔵 Vì sao có tính chất này? Vì tam giác vuông là nửa hình chữ nhật! Khi vẽ thêm điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $M$, ta được hình chữ nhật $ABDC$, suy ra $AM = OA = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC$.
$\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 10$ cm. $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$. Tính $AM$.
🔵 Dạng 1 — Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật:
$3$ góc vuông
HBH +
$1$ góc vuông
HBH +
đường chéo bằng
Đường chéo
= và chia đôi
🔵 Chiến thuật phổ biến nhất:
🔵 Dạng 2 — Tính toán liên quan đến đường chéo:
🔵 Dạng 3 — Áp dụng đường trung tuyến tam giác vuông:
• Định nghĩa: tứ giác có $4$ góc vuông (hoặc $3$ góc vuông).
• Tính chất: kế thừa hình bình hành + hình thang cân; $2$ đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm.
• $4$ dấu hiệu nhận biết: $4$ (hoặc $3$) góc vuông; HBH có $1$ góc vuông; HBH có đường chéo bằng nhau.
• Đường trung tuyến cạnh huyền $= \dfrac{1}{2}$ cạnh huyền (và ngược lại).
Cùng luyện tập về Hình chữ nhật nào!
20 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du