Tổng và Hiệu Hai Lập Phương
Hai hằng đẳng thức cuối cùng — hoàn thành bộ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Đây là hằng đẳng thức thứ $6$ trong bộ $7$ hằng đẳng thức đáng nhớ. Khác với $(A+B)^3$ là khai triển ra tổng, hằng đẳng thức này biến một tổng thành tích.
($A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý)
🔵 Phân tích cấu trúc — vế phải gồm 2 nhân tử:
Đây chính là cụm "bình phương thiếu của một hiệu" — tức $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ nhưng "thiếu" hệ số $2$.
🔵 Một số lập phương cần thuộc:
Nhận dạng: $27 = 3^3$ → $A = x$, $B = 3$.
Nhận dạng: $27x^3 = (3x)^3$ → $A = 3x$, $B = y$.
🔵 So sánh dấu của hai hằng đẳng thức:
$(A \;\;$+$\;\; B)(A^2 \;\;$−$\;\; AB + B^2)$
$(A \;\;$−$\;\; B)(A^2 \;\;$+$\;\; AB + B^2)$
và dấu hạng tử giữa $AB$ ở nhân tử thứ hai
LUÔN NGƯỢC NHAU.
Nhận dạng: $64 = 4^3$ → $A = x$, $B = 4$.
• $(A+B)^3$ và $(A-B)^3$ — khai triển ra $4$ hạng tử.
• $A^3 + B^3$ và $A^3 - B^3$ — viết thành tích $2$ nhân tử.
$\to$ Hai dạng hoàn toàn khác nhau, đừng nhầm $A^3 + B^3$ với $(A+B)^3$!
Đến đây các em đã học đầy đủ $7$ hằng đẳng thức đáng nhớ — bộ công cụ quan trọng nhất của đại số!
| # | Tên | Công thức |
|---|---|---|
| 1 | Bình phương của một tổng | $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ |
| 2 | Bình phương của một hiệu | $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ |
| 3 | Hiệu hai bình phương | $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ |
| 4 | Lập phương của một tổng | $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ |
| 5 | Lập phương của một hiệu | $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ |
| 6 | Tổng hai lập phương | $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$ |
| 7 | Hiệu hai lập phương | $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ |
• Khai triển (lũy thừa của tổng/hiệu thành đa thức): HĐT $1, 2, 4, 5$.
• Phân tích thành nhân tử (đa thức về tích): HĐT $3, 6, 7$.
Hai loại này ngược nhau — biết một chiều thì làm chiều kia bằng cách "đọc ngược lại" công thức.
🔵 Dạng 1 — Phân tích đa thức thành nhân tử bằng HĐT:
(căn bậc 3
hạng tử 1)
(căn bậc 3
hạng tử 2)
dấu $(\pm)$
thành tích
🔵 Dạng 2 — Điền vào chỗ trống:
Đây thực chất là dạng phân tích thành nhân tử nhưng đã cho sẵn một phần, ta phải dùng công thức để tìm phần còn lại.
Tìm biểu thức điền vào ô vuông: $x^3 + 512 = (x+8)(x^2 - \square + 64)$.
🔵 Dạng 3 — Rút gọn biểu thức:
Khi gặp biểu thức có dạng $(A + B)(A^2 - AB + B^2)$ hoặc $(A - B)(A^2 + AB + B^2)$, hãy nhận dạng và viết gọn ngay thành $A^3 \pm B^3$ — sau đó nhiều hạng tử sẽ triệt tiêu, biểu thức đơn giản đi rất nhiều.
🔵 Dạng tìm $x$ đơn giản: Đưa về dạng $A^3 \pm B^3 = k$ rồi giải.
🔵 Dạng tìm $x$ phức hợp: Khai triển nhiều biểu thức, các hạng tử $x^3$ thường triệt tiêu nhau, đưa về phương trình bậc nhất.
Cho $A = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 7(x^3 + 1)$. Rút gọn $A$ rồi tính giá trị tại $x = -\dfrac{1}{2}$.
• Tổng 2 lập phương: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$
• Hiệu 2 lập phương: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$
• Quy tắc dấu: nhân tử $1$ và hạng tử giữa nhân tử $2$ luôn ngược dấu.
• Phân tích thành nhân tử: tìm $A$, $B$ qua căn bậc 3 → áp dụng công thức.
• Rút gọn: nhận dạng HĐT để viết gọn nhanh, các hạng tử $A^3$ hoặc $B^3$ thường triệt tiêu.
• Tìm $x$: khai triển bằng HĐT, phần $x^3$ triệt tiêu, còn phương trình bậc nhất.
Cùng luyện tập tổng & hiệu hai lập phương!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du