Bài tập (trang 17 – 18)

Bài 1.18 (trang 17)

Đề bài: Cho các biểu thức:

$$\dfrac{4}{5}x; \quad (\sqrt{2} – 1)xy; \quad -3xy^2; \quad \dfrac{1}{2}x^2y; \quad \dfrac{1}{x}y^3; \quad -xy + \sqrt{2}; \quad -\dfrac{3}{2}x^2y; \quad \dfrac{\sqrt{x}}{5}.$$

a) Trong các biểu thức đã cho, biểu thức nào là đơn thức? Biểu thức nào không là đơn thức?

b) Hãy chỉ ra hệ số và phần biến của mỗi đơn thức đã cho.

c) Viết tổng tất cả các đơn thức trên để được một đa thức. Xác định bậc của đa thức đó.

Lời giải:

a) Phân loại các biểu thức.

Ta xét từng biểu thức theo định nghĩa đơn thức (chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích của các số và biến — không chứa phép cộng/trừ giữa các hạng tử, không có biến ở mẫu, không có biến dưới căn):

• $\dfrac{4}{5}x$: tích của số $\dfrac{4}{5}$ với biến $x$ → là đơn thức.
• $(\sqrt{2} – 1)xy$: $(\sqrt{2} – 1)$ là một số cụ thể (phép trừ giữa hai số $\sqrt{2}$ và $1$, không có biến), nên đây là tích của một số với các biến $x$, $y$ → là đơn thức.
• $-3xy^2$: tích của số $-3$ với các biến $x$, $y^2$ → là đơn thức.
• $\dfrac{1}{2}x^2y$: tích của số $\dfrac{1}{2}$ với các biến $x^2$, $y$ → là đơn thức.
• $\dfrac{1}{x}y^3$: có biến $x$ ở mẫu → không là đơn thức.
• $-xy + \sqrt{2}$: có phép cộng giữa $-xy$ và $\sqrt{2}$ → không là đơn thức.
• $-\dfrac{3}{2}x^2y$: tích của số $-\dfrac{3}{2}$ với các biến → là đơn thức.
• $\dfrac{\sqrt{x}}{5}$: có biến $x$ nằm dưới dấu căn → không là đơn thức.

Vậy:

• Các đơn thức: $\dfrac{4}{5}x$; $(\sqrt{2} – 1)xy$; $-3xy^2$; $\dfrac{1}{2}x^2y$; $-\dfrac{3}{2}x^2y$.
• Các biểu thức không là đơn thức: $\dfrac{1}{x}y^3$; $-xy + \sqrt{2}$; $\dfrac{\sqrt{x}}{5}$.

b) Hệ số và phần biến của mỗi đơn thức.

c) Lập đa thức $S$ là tổng tất cả các đơn thức trên rồi tìm bậc.

Tổng năm đơn thức:

$$S = \dfrac{4}{5}x + (\sqrt{2} – 1)xy + (-3xy^2) + \dfrac{1}{2}x^2y + \left(-\dfrac{3}{2}x^2y\right).$$

Bỏ dấu ngoặc:

$$S = \dfrac{4}{5}x + (\sqrt{2} – 1)xy – 3xy^2 + \dfrac{1}{2}x^2y – \dfrac{3}{2}x^2y.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng. Ta thấy chỉ có hai hạng tử $\dfrac{1}{2}x^2y$ và $-\dfrac{3}{2}x^2y$ có cùng phần biến $x^2y$:

$$\dfrac{1}{2}x^2y – \dfrac{3}{2}x^2y = \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}\right)x^2y = -1 \cdot x^2y = -x^2y.$$

Vậy đa thức thu gọn:

$$S = -x^2y + (\sqrt{2} – 1)xy – 3xy^2 + \dfrac{4}{5}x.$$

Bậc của từng hạng tử:

• $-x^2y$: bậc $2 + 1 = 3$.
• $(\sqrt{2} – 1)xy$: bậc $1 + 1 = 2$.
• $-3xy^2$: bậc $1 + 2 = 3$.
• $\dfrac{4}{5}x$: bậc $1$.

Bậc cao nhất là $3$. Vậy bậc của đa thức $S$ là $\mathbf{3}$.

Bài 1.19 (trang 17)

Đề bài: Trong một khách sạn có hai bể bơi dạng hình hộp chữ nhật. Bể thứ nhất có chiều sâu là $1{,}2$ m, đáy là hình chữ nhật có chiều dài $x$ mét, chiều rộng $y$ mét. Bể thứ hai có chiều sâu là $1{,}5$ m, hai kích thước đáy gấp $5$ lần hai kích thước đáy của bể thứ nhất.

a) Hãy tìm đơn thức (hai biến $x$ và $y$) biểu thị số mét khối nước cần có để bơm đầy cả hai bể bơi.

b) Tính lượng nước bơm đầy hai bể nếu $x = 5$ m, $y = 3$ m.

Lời giải:

a) Lập đơn thức biểu thị thể tích nước.

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng chiều dài $\times$ chiều rộng $\times$ chiều cao (ở đây chiều cao chính là chiều sâu của bể bơi).

Bể thứ nhất: chiều dài $x$ m, chiều rộng $y$ m, chiều sâu $1{,}2$ m. Thể tích:

$$V_1 = x \cdot y \cdot 1{,}2 = 1{,}2xy ; (\text{m}^3).$$

Bể thứ hai: hai kích thước đáy gấp $5$ lần hai kích thước đáy của bể thứ nhất, nên chiều dài là $5x$ m, chiều rộng là $5y$ m; chiều sâu là $1{,}5$ m. Thể tích:

$$V_2 = 5x \cdot 5y \cdot 1{,}5 = 25xy \cdot 1{,}5 = 37{,}5xy ; (\text{m}^3).$$

Tổng thể tích nước cần để bơm đầy cả hai bể:

$$V = V_1 + V_2 = 1{,}2xy + 37{,}5xy = (1{,}2 + 37{,}5)xy = 38{,}7xy ; (\text{m}^3).$$

Vậy đơn thức biểu thị số mét khối nước là $V = 38{,}7xy$ (m$^3$).

b) Tính lượng nước khi $x = 5$ m, $y = 3$ m.

Thay vào $V = 38{,}7xy$:

$$V = 38{,}7 \cdot 5 \cdot 3 = 38{,}7 \cdot 15 = 580{,}5 ; (\text{m}^3).$$

Vậy cần $580{,}5$ m$^3$ nước để bơm đầy hai bể.

Bài 1.20 (trang 17)

Đề bài: Tìm bậc của mỗi đa thức sau rồi tính giá trị của chúng tại $x = 1$; $y = -2$:

$$P = 5x^4 – 3x^3y + 2xy^3 – x^3y + 2y^4 – 7x^2y^2 – 2xy^3;$$

$$Q = x^3 + x^2y + xy^2 – x^2y – xy^2 – x^3.$$

Lời giải:

Đa thức $P$: trước hết thu gọn.

Tìm các hạng tử đồng dạng trong $P$:

• $-3x^3y$ và $-x^3y$: cùng phần biến $x^3y$. Cộng hệ số: $-3 + (-1) = -4$ → $-4x^3y$.
• $2xy^3$ và $-2xy^3$: cùng phần biến $xy^3$. Cộng hệ số: $2 + (-2) = 0$ → triệt tiêu.

Các hạng tử còn lại $5x^4$; $2y^4$; $-7x^2y^2$ không có đồng dạng. Vậy:

$$P = 5x^4 – 4x^3y + 2y^4 – 7x^2y^2.$$

Bậc của từng hạng tử:

• $5x^4$: bậc $4$.
• $-4x^3y$: bậc $3 + 1 = 4$.
• $2y^4$: bậc $4$.
• $-7x^2y^2$: bậc $2 + 2 = 4$.

Bậc cao nhất là $4$. Vậy bậc của $P$ là $\mathbf{4}$.

Tính giá trị $P$ tại $x = 1$; $y = -2$:

$$P = 5 \cdot 1^4 – 4 \cdot 1^3 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2)^4 – 7 \cdot 1^2 \cdot (-2)^2.$$

Tính từng hạng tử cho gọn:

• $5 \cdot 1^4 = 5$.
• $-4 \cdot 1^3 \cdot (-2) = -4 \cdot (-2) = 8$.
• $2 \cdot (-2)^4 = 2 \cdot 16 = 32$.
• $-7 \cdot 1^2 \cdot (-2)^2 = -7 \cdot 1 \cdot 4 = -28$.

Cộng lại:

$$P = 5 + 8 + 32 – 28 = 17.$$

Vậy tại $x = 1$; $y = -2$, $P = 17$.

Đa thức $Q$: trước hết thu gọn.

Tìm các hạng tử đồng dạng trong $Q$:

• $x^3$ và $-x^3$: cùng phần biến $x^3$. $1 – 1 = 0$ → triệt tiêu.
• $x^2y$ và $-x^2y$: cùng phần biến $x^2y$. $1 – 1 = 0$ → triệt tiêu.
• $xy^2$ và $-xy^2$: cùng phần biến $xy^2$. $1 – 1 = 0$ → triệt tiêu.

Tất cả các hạng tử đều triệt tiêu, nên:

$$Q = 0.$$

Đây là đa thức không, theo lý thuyết đa thức không không có bậc.

Tính giá trị $Q$ tại $x = 1$; $y = -2$: vì $Q = 0$ tại mọi giá trị của $x$, $y$, nên $Q = 0$.

Bài 1.21 (trang 17)

Đề bài: Cho hai đa thức

$$A = 7xyz^2 – 5xy^2z + 3x^2yz – xyz + 1; \quad B = 7x^2yz – 5xy^2z + 3xyz^2 – 2.$$

a) Tìm đa thức $C$ sao cho $A – C = B$.

b) Tìm đa thức $D$ sao cho $A + D = B$.

c) Tìm đa thức $E$ sao cho $E – A = B$.

Lời giải:

Ta dùng tính chất: nếu $X – Y = Z$ thì $X = Y + Z$ (và ngược lại). Cụ thể:

• Từ $A – C = B$ suy ra $C = A – B$.
• Từ $A + D = B$ suy ra $D = B – A$.
• Từ $E – A = B$ suy ra $E = A + B$.

a) Tìm $C = A – B$:

$$C = (7xyz^2 – 5xy^2z + 3x^2yz – xyz + 1) – (7x^2yz – 5xy^2z + 3xyz^2 – 2).$$

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai):

$$C = 7xyz^2 – 5xy^2z + 3x^2yz – xyz + 1 – 7x^2yz + 5xy^2z – 3xyz^2 + 2.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $7xyz^2$ và $-3xyz^2$: $7 – 3 = 4$ → $4xyz^2$.
• $-5xy^2z$ và $5xy^2z$: $-5 + 5 = 0$ → triệt tiêu.
• $3x^2yz$ và $-7x^2yz$: $3 – 7 = -4$ → $-4x^2yz$.
• $-xyz$: không có đồng dạng.
• $1$ và $2$: $1 + 2 = 3$.

Vậy:

$$C = 4xyz^2 – 4x^2yz – xyz + 3.$$

b) Tìm $D = B – A$:

$$D = (7x^2yz – 5xy^2z + 3xyz^2 – 2) – (7xyz^2 – 5xy^2z + 3x^2yz – xyz + 1).$$

Bỏ dấu ngoặc:

$$D = 7x^2yz – 5xy^2z + 3xyz^2 – 2 – 7xyz^2 + 5xy^2z – 3x^2yz + xyz – 1.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $7x^2yz$ và $-3x^2yz$: $7 – 3 = 4$ → $4x^2yz$.
• $-5xy^2z$ và $5xy^2z$: triệt tiêu.
• $3xyz^2$ và $-7xyz^2$: $3 – 7 = -4$ → $-4xyz^2$.
• $xyz$: không có đồng dạng.
• $-2$ và $-1$: $-2 – 1 = -3$.

Vậy:

$$D = 4x^2yz – 4xyz^2 + xyz – 3.$$

(Nhận xét: $D = -C$ — kết quả phù hợp với việc $D = B – A = -(A – B) = -C$.)

c) Tìm $E = A + B$:

$$E = (7xyz^2 – 5xy^2z + 3x^2yz – xyz + 1) + (7x^2yz – 5xy^2z + 3xyz^2 – 2).$$

Bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên các hạng tử vì trước cả hai ngoặc đều là dấu “+”):

$$E = 7xyz^2 – 5xy^2z + 3x^2yz – xyz + 1 + 7x^2yz – 5xy^2z + 3xyz^2 – 2.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $7xyz^2$ và $3xyz^2$: $7 + 3 = 10$ → $10xyz^2$.
• $-5xy^2z$ và $-5xy^2z$: $-5 – 5 = -10$ → $-10xy^2z$.
• $3x^2yz$ và $7x^2yz$: $3 + 7 = 10$ → $10x^2yz$.
• $-xyz$: không có đồng dạng.
• $1$ và $-2$: $1 – 2 = -1$.

Vậy:

$$E = 10xyz^2 – 10xy^2z + 10x^2yz – xyz – 1.$$

Bài 1.22 (trang 18)

Đề bài: Từ một miếng bìa, người ta cắt ra hai hình tròn có bán kính $x$ centimét và $y$ centimét. Tìm biểu thức biểu thị diện tích phần còn lại của miếng bìa, nếu biết miếng bìa có hình dạng gồm hai hình vuông ghép lại và có kích thước (centimét) như Hình 1.2. Biểu thức đó có phải là một đa thức không? Nếu phải thì đó là đa thức bậc mấy?

Lời giải:

Phần còn lại của miếng bìa $=$ (Diện tích hai hình vuông) $-$ (Diện tích hai hình tròn).

Bước 1: Tính diện tích hai hình vuông.

• Hình vuông cạnh $2x$ có diện tích: $(2x)^2 = 4x^2$ (cm$^2$).
• Hình vuông cạnh $2{,}5y$ có diện tích: $(2{,}5y)^2 = 6{,}25y^2$ (cm$^2$).

Tổng diện tích hai hình vuông:

$$S_{\text{vuông}} = 4x^2 + 6{,}25y^2 ; (\text{cm}^2).$$

Bước 2: Tính diện tích hai hình tròn.

Nhắc lại công thức diện tích hình tròn bán kính $r$ là $\pi r^2$.

• Hình tròn bán kính $x$ có diện tích: $\pi \cdot x^2 = \pi x^2$ (cm$^2$).
• Hình tròn bán kính $y$ có diện tích: $\pi \cdot y^2 = \pi y^2$ (cm$^2$).

Tổng diện tích hai hình tròn:

$$S_{\text{tròn}} = \pi x^2 + \pi y^2 ; (\text{cm}^2).$$

Bước 3: Diện tích phần còn lại của miếng bìa.

$$S = S_{\text{vuông}} – S_{\text{tròn}} = (4x^2 + 6{,}25y^2) – (\pi x^2 + \pi y^2).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$S = 4x^2 + 6{,}25y^2 – \pi x^2 – \pi y^2 = (4 – \pi)x^2 + (6{,}25 – \pi)y^2.$$

Bước 4: Trả lời câu hỏi về đa thức.

Biểu thức $S = (4 – \pi)x^2 + (6{,}25 – \pi)y^2$ là tổng của hai đơn thức $(4 – \pi)x^2$ và $(6{,}25 – \pi)y^2$ (vì $4 – \pi$ và $6{,}25 – \pi$ đều là những số cụ thể), nên $S$ là một đa thức.

Bậc của các hạng tử:

• $(4 – \pi)x^2$: bậc $2$.
• $(6{,}25 – \pi)y^2$: bậc $2$.

Bậc cao nhất là $2$. Vậy $S$ là đa thức bậc $2$.

Bài 1.23 (trang 18)

Đề bài: Cho ba đa thức:

$$M = 3x^3 – 4x^2y + 3x – y; \quad N = 5xy – 3x + 2; \quad P = 3x^3 + 2x^2y + 7x – 1.$$

Tính $M + N – P$ và $M – N – P$.

Lời giải:

Tính $M + N – P$:

$$M + N – P = (3x^3 – 4x^2y + 3x – y) + (5xy – 3x + 2) – (3x^3 + 2x^2y + 7x – 1).$$

Bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên các hạng tử trong hai ngoặc đầu, đổi dấu các hạng tử trong ngoặc cuối vì trước nó là dấu “−”):

$$M + N – P = 3x^3 – 4x^2y + 3x – y + 5xy – 3x + 2 – 3x^3 – 2x^2y – 7x + 1.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $3x^3$ và $-3x^3$: $3 – 3 = 0$ → triệt tiêu.
• $-4x^2y$ và $-2x^2y$: $-4 – 2 = -6$ → $-6x^2y$.
• $3x$, $-3x$ và $-7x$: $3 – 3 – 7 = -7$ → $-7x$.
• $-y$: không có đồng dạng.
• $5xy$: không có đồng dạng.
• $2$ và $1$: $2 + 1 = 3$.

Vậy:

$$M + N – P = -6x^2y + 5xy – 7x – y + 3.$$

Tính $M – N – P$:

$$M – N – P = (3x^3 – 4x^2y + 3x – y) – (5xy – 3x + 2) – (3x^3 + 2x^2y + 7x – 1).$$

Bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên ngoặc đầu, đổi dấu các hạng tử trong hai ngoặc sau):

$$M – N – P = 3x^3 – 4x^2y + 3x – y – 5xy + 3x – 2 – 3x^3 – 2x^2y – 7x + 1.$$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• $3x^3$ và $-3x^3$: triệt tiêu.
• $-4x^2y$ và $-2x^2y$: $-4 – 2 = -6$ → $-6x^2y$.
• $3x$, $3x$ và $-7x$: $3 + 3 – 7 = -1$ → $-x$.
• $-y$: không có đồng dạng.
• $-5xy$: không có đồng dạng.
• $-2$ và $1$: $-2 + 1 = -1$.

Vậy:

$$M – N – P = -6x^2y – 5xy – x – y – 1.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du