Câu hỏi mở đầu (trang 27)

Đề bài: Bác An gửi tiết kiệm $150$ triệu đồng với kì hạn $12$ tháng. Đến cuối kì (tức là sau $1$ năm), bác An thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là $159$ triệu đồng. Tính lãi suất gửi tiết kiệm của bác An.

Lời giải: Câu trả lời chi tiết được trình bày ở Vận dụng 1 bên dưới (sau khi đã học cách giải phương trình bậc nhất một ẩn). Tại HĐ1 và HĐ2, ta lập biểu thức và phương trình; tại Vận dụng 1, ta giải phương trình đó để tìm lãi suất.

Phương trình một ẩn

Hoạt động 1 (trang 27)

Đề bài: Gọi $x$ (viết dưới dạng số thập phân) là lãi suất gửi tiết kiệm (tính theo năm) của bác An. Viết biểu thức tính số tiền lãi mà bác An nhận được sau $1$ năm theo $x$.

Lời giải:

Lãi suất $x$ nghĩa là cứ $1$ đồng gửi sau $1$ năm sinh ra $x$ đồng lãi. Với số vốn $150$ triệu đồng, số tiền lãi sau $1$ năm là:

$$150 \cdot x = 150x \text{ (triệu đồng)}.$$

Hoạt động 2 (trang 27)

Đề bài: Số tiền bác An thu được sau $1$ năm bao gồm cả số tiền vốn và số tiền lãi. Dựa vào kết quả của HĐ1, viết hệ thức chứa $x$ biểu thị số tiền bác An thu được là $159$ triệu đồng.

Lời giải:

Số tiền thu được $=$ vốn $+$ lãi $= 150 + 150x$ (triệu đồng). Vì số tiền này bằng $159$ triệu đồng, ta có hệ thức:

$$150 + 150x = 159.$$

Hoạt động 3 (trang 28)

Đề bài: Xét phương trình $2x + 9 = 3 – x$ $;(1)$.

a) Chứng minh rằng $x = -2$ thỏa mãn phương trình $(1)$ (tức là hai vế của phương trình nhận cùng một giá trị khi $x = -2$).

b) Bằng cách thay trực tiếp vào hai vế của phương trình, hãy kiểm tra xem $x = 1$ có phải là một nghiệm của phương trình $(1)$ không.

Lời giải:

a) Thay $x = -2$ vào hai vế:

• Vế trái: $2 \cdot (-2) + 9 = -4 + 9 = 5$.
• Vế phải: $3 – (-2) = 3 + 2 = 5$.

Hai vế cùng bằng $5$, vậy $x = -2$ là một nghiệm của phương trình $(1)$.

b) Thay $x = 1$ vào hai vế:

• Vế trái: $2 \cdot 1 + 9 = 11$.
• Vế phải: $3 – 1 = 2$.

Vì $11 \neq 2$, nên $x = 1$ không phải là nghiệm của phương trình $(1)$.

Luyện tập 1 (trang 28)

Đề bài: Hãy cho ví dụ về một phương trình với ẩn $x$ và kiểm tra xem $x = 2$ có là một nghiệm của phương trình đó không.

Lời giải:

Xét phương trình $3x – 1 = x + 3$. Thay $x = 2$ vào hai vế:

• Vế trái: $3 \cdot 2 – 1 = 5$.
• Vế phải: $2 + 3 = 5$.

Hai vế bằng nhau, vậy $x = 2$ là một nghiệm của phương trình $3x – 1 = x + 3$.

Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Câu hỏi (trang 29)

Đề bài: Những phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?

a) $2x + 1 = 0$; ; b) $-x + 1 = 0$; ; c) $0 \cdot x + 2 = 0$; ; d) $(-2) \cdot x = 0$.

Lời giải:

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ với $a \neq 0$. Ta đối chiếu hệ số $a$ trong mỗi phương trình:

• a) $a = 2 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất một ẩn.
• b) $a = -1 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất một ẩn.
• c) $a = 0$ → không là phương trình bậc nhất một ẩn.
• d) Viết lại $(-2) \cdot x + 0 = 0$, $a = -2 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất một ẩn.

Kết luận: Các phương trình bậc nhất một ẩn là a), b), d).

Hoạt động 4 (trang 29)

Đề bài: Xét phương trình bậc nhất một ẩn $2x – 6 = 0$ $;(2)$. Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình $(2)$:

a) Sử dụng quy tắc chuyển vế, hãy chuyển hạng tử tự do $-6$ sang vế phải.

b) Sử dụng quy tắc nhân, nhân cả hai vế của phương trình với $\dfrac{1}{2}$ (tức là chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của $x$ là $2$) để tìm nghiệm.

Lời giải:

a) Chuyển hạng tử $-6$ từ vế trái sang vế phải (đổi dấu thành $+6$):

$$2x = 6.$$

b) Nhân cả hai vế với $\dfrac{1}{2}$ (hay chia cả hai vế cho $2$):

$$x = 3.$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$.

Luyện tập 2 (trang 30)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $2x – 5 = 0$;

b) $4 – \dfrac{2}{5}x = 0$.

Lời giải:

a) Chuyển $-5$ sang vế phải, rồi chia hai vế cho $2$:

$$2x – 5 = 0 ;\Rightarrow; 2x = 5 ;\Rightarrow; x = \dfrac{5}{2}.$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{5}{2}$.

b) Chuyển $4$ sang vế phải, rồi chia hai vế cho $-\dfrac{2}{5}$ (tức nhân với $-\dfrac{5}{2}$):

$$4 – \dfrac{2}{5}x = 0 ;\Rightarrow; -\dfrac{2}{5}x = -4 ;\Rightarrow; x = (-4) : \left(-\dfrac{2}{5}\right) = (-4) \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right) = 10.$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 10$.

Vận dụng 1 (trang 30)

Đề bài: Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Từ HĐ2, ta có phương trình $150 + 150x = 159$. Giải:

$$150x = 159 – 150 ;\Rightarrow; 150x = 9 ;\Rightarrow; x = \dfrac{9}{150} = 0{,}06.$$

Đổi sang phần trăm: $x = 0{,}06 = \dfrac{6}{100} = 6\%$.

Kết luận: Lãi suất gửi tiết kiệm của bác An là $6\%$/năm.

Tranh luận (trang 30)

Đề bài: Hai bạn Vuông và Tròn giải phương trình $2x + 5 = 16$ như sau:

Bạn Vuông: $2x + 5 = 16 ;\Rightarrow; 2x = 16 – 5 ;\Rightarrow; 2x = 11 ;\Rightarrow; x = \dfrac{11}{2}.$

Bạn Tròn: $2x + 5 = 16 ;\Rightarrow; \dfrac{2x}{2} + 5 = \dfrac{16}{2} ;\Rightarrow; x + 5 = 8 ;\Rightarrow; x = 8 – 5 ;\Rightarrow; x = 3.$

Theo em, bạn nào giải đúng, bạn nào giải sai? Giải thích.

Lời giải:

• Bạn Vuông giải đúng: dùng quy tắc chuyển vế cho hạng tử $+5$, sau đó chia cả hai vế cho hệ số $2$ — đúng quy trình.
• Bạn Tròn giải sai: khi áp dụng quy tắc nhân (chia hai vế cho $2$), bạn Tròn chỉ chia $2x$ và $16$ cho $2$, bỏ sót hạng tử $5$. Quy tắc nhân yêu cầu phải nhân (hoặc chia) toàn bộ mỗi vế với cùng một số, tức cả $2x$ và $5$ ở vế trái phải được chia cho $2$, không phải chỉ một phần.

Kiểm tra lại bằng cách thử nghiệm:

• Với $x = \dfrac{11}{2}$: $2 \cdot \dfrac{11}{2} + 5 = 11 + 5 = 16$ → đúng.
• Với $x = 3$: $2 \cdot 3 + 5 = 11 \neq 16$ → sai.

Khẳng định bạn Vuông đúng, bạn Tròn sai.

Phương trình đưa được về dạng $ax + b = 0$

Luyện tập 3 (trang 31)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $5x – (2 – 4x) = 6 + 3(x – 1)$;

b) $\dfrac{x – 1}{4} + 2x = 3 – \dfrac{2x – 3}{3}$.

Lời giải:

a) Bỏ dấu ngoặc ở cả hai vế (chú ý vế trái có dấu “−” trước ngoặc nên đổi dấu các hạng tử bên trong):

$$5x – 2 + 4x = 6 + 3x – 3.$$

Thu gọn hai vế:

$$9x – 2 = 3x + 3.$$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, các hạng tử tự do sang vế phải:

$$9x – 3x = 3 + 2 ;\Rightarrow; 6x = 5 ;\Rightarrow; x = \dfrac{5}{6}.$$

Vậy nghiệm là $x = \dfrac{5}{6}$.

b) Quy đồng mẫu hai vế với mẫu số chung là $12$, rồi nhân cả hai vế với $12$ để khử mẫu:

$$\dfrac{3(x – 1)}{12} + \dfrac{24x}{12} = \dfrac{36}{12} – \dfrac{4(2x – 3)}{12}.$$

$$3(x – 1) + 24x = 36 – 4(2x – 3).$$

Bỏ ngoặc:

$$3x – 3 + 24x = 36 – 8x + 12.$$

Thu gọn:

$$27x – 3 = 48 – 8x.$$

Chuyển vế:

$$27x + 8x = 48 + 3 ;\Rightarrow; 35x = 51 ;\Rightarrow; x = \dfrac{51}{35}.$$

Vậy nghiệm là $x = \dfrac{51}{35}$.

Vận dụng 2 (trang 32)

Đề bài: Hai bạn Lan và Hương cùng vào hiệu sách. Lan mua $5$ quyển vở cùng loại và $1$ quyển sách giá $50$ nghìn đồng. Hương mua $3$ quyển vở cùng loại với loại vở của Lan và $1$ quyển sách giá $74$ nghìn đồng. Số tiền phải trả của Lan và Hương là bằng nhau.

a) Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá tiền của mỗi quyển vở. Viết phương trình biểu thị tổng số tiền mua sách và vở của hai bạn Lan và Hương là bằng nhau.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tìm giá tiền của mỗi quyển vở.

Lời giải:

a) Tổng số tiền của mỗi bạn:

• Lan: $5x + 50$ (nghìn đồng);
• Hương: $3x + 74$ (nghìn đồng).

Vì tổng tiền của hai bạn bằng nhau, ta có phương trình:

$$5x + 50 = 3x + 74.$$

b) Giải phương trình. Chuyển vế:

$$5x – 3x = 74 – 50 ;\Rightarrow; 2x = 24 ;\Rightarrow; x = 12.$$

Kết luận: Giá tiền của mỗi quyển vở là $12$ nghìn đồng.

Bài tập (trang 32)

Bài 7.1 (trang 32)

Đề bài: Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất một ẩn trong các phương trình sau:

a) $x + 1 = 0$; ; b) $0x – 2 = 0$; ; c) $2 – x = 0$; ; d) $3x = 0$.

Lời giải:

Đối chiếu với dạng $ax + b = 0$ ($a \neq 0$):

• a) $a = 1 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất một ẩn.
• b) $a = 0$ → không là phương trình bậc nhất một ẩn.
• c) Viết lại $-x + 2 = 0$, $a = -1 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất một ẩn.
• d) Viết lại $3x + 0 = 0$, $a = 3 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất một ẩn.

Kết luận: Các phương trình bậc nhất một ẩn là a), c), d).

Bài 7.2 (trang 32)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $5x – 4 = 0$;

b) $3 + 2x = 0$;

c) $7 – 5x = 0$;

d) $\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{3}x = 0$.

Lời giải:

a) $5x – 4 = 0 ;\Rightarrow; 5x = 4 ;\Rightarrow; x = \dfrac{4}{5}.$

b) $3 + 2x = 0 ;\Rightarrow; 2x = -3 ;\Rightarrow; x = -\dfrac{3}{2}.$

c) $7 – 5x = 0 ;\Rightarrow; -5x = -7 ;\Rightarrow; x = \dfrac{7}{5}.$

d) $\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{3}x = 0 ;\Rightarrow; \dfrac{5}{3}x = -\dfrac{3}{2} ;\Rightarrow; x = -\dfrac{3}{2} : \dfrac{5}{3} = -\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{5} = -\dfrac{9}{10}.$

Bài 7.3 (trang 32)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $7x – (2x + 3) = 5(x – 2)$;

b) $x + \dfrac{2x – 1}{5} = 3 + \dfrac{3 – x}{4}$.

Lời giải:

a) Bỏ dấu ngoặc (chú ý dấu “−” trước ngoặc ở vế trái):

$$7x – 2x – 3 = 5x – 10.$$

Thu gọn vế trái:

$$5x – 3 = 5x – 10.$$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, hạng tử tự do sang vế phải:

$$5x – 5x = -10 + 3 ;\Rightarrow; 0 = -7.$$

Đẳng thức $0 = -7$ là vô lý, nên không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn phương trình.

Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

b) Quy đồng mẫu hai vế với mẫu số chung là $20$, rồi nhân cả hai vế với $20$ để khử mẫu:

$$20x + 4(2x – 1) = 60 + 5(3 – x).$$

Bỏ ngoặc:

$$20x + 8x – 4 = 60 + 15 – 5x.$$

Thu gọn:

$$28x – 4 = 75 – 5x.$$

Chuyển vế:

$$28x + 5x = 75 + 4 ;\Rightarrow; 33x = 79 ;\Rightarrow; x = \dfrac{79}{33}.$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{79}{33}$.

Bài 7.4 (trang 32)

Đề bài: Ở một số quốc gia, người ta dùng cả hai đơn vị đo nhiệt độ là độ Fahrenheit ($^\circ$F) và độ Celsius ($^\circ$C), liên hệ với nhau bởi công thức $C = \dfrac{5}{9}(F – 32)$. Hãy tính độ Fahrenheit tương ứng với $10,^\circ$C.

Lời giải:

Thay $C = 10$ vào công thức, ta được phương trình ẩn $F$:

$$10 = \dfrac{5}{9}(F – 32).$$

Nhân cả hai vế với $\dfrac{9}{5}$ (tức chia cho $\dfrac{5}{9}$):

$$F – 32 = 10 \cdot \dfrac{9}{5} = 18.$$

Chuyển $-32$ sang vế phải:

$$F = 18 + 32 = 50.$$

Kết luận: $10,^\circ$C tương ứng với $50,^\circ$F.

Bài 7.5 (trang 32)

Đề bài: Hiện nay tuổi của bố bạn Nam gấp $3$ lần tuổi của Nam. Sau $10$ năm nữa thì tổng số tuổi của Nam và bố là $76$ tuổi. Gọi $x$ là số tuổi hiện nay của Nam.

a) Biểu thị tuổi hiện nay của bố bạn Nam theo tuổi hiện nay của Nam.

b) Viết phương trình biểu thị sự kiện sau $10$ năm nữa thì tổng số tuổi của Nam và bố là $76$ tuổi.

c) Giải phương trình nhận được ở câu b để tính tuổi của Nam và bố hiện nay.

Lời giải:

a) Tuổi bố hiện nay gấp $3$ lần tuổi Nam nên bằng $3x$ (tuổi).

b) Sau $10$ năm nữa:

• Tuổi của Nam: $x + 10$;
• Tuổi của bố: $3x + 10$.

Tổng số tuổi là $76$, ta có phương trình:

$$(x + 10) + (3x + 10) = 76.$$

c) Giải phương trình. Bỏ ngoặc và thu gọn vế trái:

$$x + 10 + 3x + 10 = 76 ;\Rightarrow; 4x + 20 = 76.$$

Chuyển vế và chia:

$$4x = 56 ;\Rightarrow; x = 14.$$

Kết luận: Hiện nay Nam $14$ tuổi, bố Nam $3 \cdot 14 = 42$ tuổi.

Bài 7.6 (trang 32)

Đề bài: Bạn Mai mua cả sách và vở hết $500$ nghìn đồng. Biết rằng số tiền mua sách nhiều gấp rưỡi số tiền mua vở, hãy tính số tiền bạn Mai dùng để mua mỗi loại.

Lời giải:

Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền bạn Mai dùng để mua vở ($x > 0$). “Số tiền mua sách gấp rưỡi số tiền mua vở” nghĩa là số tiền mua sách bằng $\dfrac{3}{2}x$ (nghìn đồng).

Tổng tiền cả sách và vở là $500$ nghìn, ta có phương trình:

$$x + \dfrac{3}{2}x = 500.$$

Nhân cả hai vế với $2$ để khử mẫu:

$$2x + 3x = 1000 ;\Rightarrow; 5x = 1000 ;\Rightarrow; x = 200.$$

Số tiền mua sách: $\dfrac{3}{2} \cdot 200 = 300$ (nghìn đồng).

Kết luận: Bạn Mai dùng $200$ nghìn đồng để mua vở và $300$ nghìn đồng để mua sách.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du