1. Chia đơn thức cho đơn thức

Hoạt động 1 (trang 23)

Đề bài: Hãy nhớ lại cách chia đơn thức cho đơn thức trong trường hợp chúng có cùng một biến và hoàn thành các yêu cầu sau:

a) Thực hiện phép chia $6x^3 : 3x^2$.

b) Với $a, b \in \mathbb{R}$ và $b \neq 0$; $m, n \in \mathbb{N}$, hãy cho biết:

• Khi nào thì $ax^m$ chia hết cho $bx^n$.
• Nhắc lại cách thực hiện phép chia $ax^m$ cho $bx^n$.

Lời giải:

a) Để chia $6x^3$ cho $3x^2$, ta chia hệ số cho hệ số và chia luỹ thừa cùng cơ số cho nhau (trừ số mũ):

$$6x^3 : 3x^2 = (6 : 3) \cdot (x^3 : x^2) = 2 \cdot x^{3-2} = 2x.$$

b) Tổng quát hoá cho phép chia $ax^m : bx^n$ với $a, b \in \mathbb{R}$, $b \neq 0$, $m, n \in \mathbb{N}$:

• $ax^m$ chia hết cho $bx^n$ khi $m \geq n$ (tức là số mũ của $x$ ở số bị chia không nhỏ hơn số mũ của $x$ ở số chia).
• Khi đó, cách thực hiện phép chia: chia hệ số $a$ cho hệ số $b$, đồng thời chia luỹ thừa $x^m$ cho $x^n$ (trừ số mũ):

$$ax^m : bx^n = \dfrac{a}{b} \cdot x^{m – n}.$$

Hoạt động 2 (trang 23)

Đề bài: Với mỗi trường hợp sau, hãy đoán xem đơn thức $A$ có chia hết cho đơn thức $B$ không; nếu chia hết, hãy tìm thương của phép chia $A$ cho $B$ và giải thích cách làm:

a) $A = 6x^3y$, $B = 3x^2y$;

b) $A = x^2y$, $B = xy^2$.

Lời giải:

Ta dùng tiêu chí: $A$ chia hết cho $B$ khi mỗi biến của $B$ cũng là biến của $A$ với số mũ không lớn hơn số mũ của biến đó trong $A$.

a) $A = 6x^3y$, $B = 3x^2y$.

So sánh số mũ từng biến trong $B$ với trong $A$:

• Biến $x$: trong $B$ có số mũ $2$, trong $A$ có số mũ $3$. Vì $2 \leq 3$ → thoả mãn.
• Biến $y$: trong $B$ có số mũ $1$, trong $A$ có số mũ $1$. Vì $1 \leq 1$ → thoả mãn.

Vậy $A$ chia hết cho $B$. Cách chia: chia hệ số cho hệ số, chia luỹ thừa cùng cơ số cho nhau:

$$A : B = 6x^3y : 3x^2y = (6 : 3) \cdot (x^3 : x^2) \cdot (y : y) = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x.$$

b) $A = x^2y$, $B = xy^2$.

So sánh số mũ:

• Biến $x$: trong $B$ có số mũ $1$, trong $A$ có số mũ $2$. Vì $1 \leq 2$ → thoả mãn.
• Biến $y$: trong $B$ có số mũ $2$, trong $A$ có số mũ $1$. Vì $2 > 1$ → không thoả mãn.

Vậy $A$ không chia hết cho $B$ (vì số mũ của $y$ trong $B$ lớn hơn số mũ của $y$ trong $A$).

Luyện tập 1 (trang 23)

Đề bài: Trong các phép chia sau đây, phép chia nào không là phép chia hết? Tại sao? Tìm thương của các phép chia còn lại:

a) $-15x^2y^2$ chia cho $3x^2y$;

b) $6xy$ chia cho $2yz$;

c) $4xy^3$ chia cho $6xy^2$.

Lời giải:

a) $-15x^2y^2 : 3x^2y$.

So sánh số mũ: biến $x$ có $2 \leq 2$ ✓; biến $y$ có $1 \leq 2$ ✓. Vậy chia hết.

$$-15x^2y^2 : 3x^2y = (-15 : 3) \cdot (x^2 : x^2) \cdot (y^2 : y) = -5 \cdot 1 \cdot y = -5y.$$

b) $6xy : 2yz$.

Số chia $2yz$ có chứa biến $z$, nhưng số bị chia $6xy$ không chứa biến $z$. Vậy phép chia này không là phép chia hết.

c) $4xy^3 : 6xy^2$.

So sánh số mũ: biến $x$ có $1 \leq 1$ ✓; biến $y$ có $2 \leq 3$ ✓. Vậy chia hết.

$$4xy^3 : 6xy^2 = (4 : 6) \cdot (x : x) \cdot (y^3 : y^2) = \dfrac{2}{3} \cdot 1 \cdot y = \dfrac{2}{3}y.$$

Vận dụng 1 (trang 23)

Đề bài: Giải bài toán mở đầu.

Nhắc lại: Cho hai khối hộp chữ nhật. Khối hộp thứ nhất có ba kích thước là $x$, $2x$ và $3y$. Khối hộp thứ hai có diện tích đáy là $2xy$. Tính chiều cao (cạnh bên) của khối hộp thứ hai, biết rằng hai khối hộp có cùng thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính thể tích khối hộp thứ nhất.

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước:

$$V_1 = x \cdot 2x \cdot 3y = (1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x) \cdot y = 6x^2y.$$

Bước 2: Suy ra thể tích khối hộp thứ hai.

Hai khối hộp có cùng thể tích nên thể tích khối hộp thứ hai cũng bằng:

$$V_2 = 6x^2y.$$

Bước 3: Tính chiều cao khối hộp thứ hai.

Với hình hộp chữ nhật, thể tích bằng diện tích đáy nhân với chiều cao, nên chiều cao bằng thể tích chia cho diện tích đáy:

$$h = V_2 : S = 6x^2y : 2xy.$$

Thực hiện phép chia đơn thức:

$$h = (6 : 2) \cdot (x^2 : x) \cdot (y : y) = 3 \cdot x \cdot 1 = 3x.$$

Vậy chiều cao (cạnh bên) của khối hộp thứ hai là $3x$.

2. Chia đa thức cho đơn thức

Luyện tập 2 (trang 24)

Đề bài: Làm tính chia $(6x^4y^3 – 8x^3y^4 + 3x^2y^2) : 2xy^2$.

Lời giải:

Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả lại.

Trước hết kiểm tra phép chia có chia hết không: ba hạng tử của đa thức đều có biến $x$ với số mũ $\geq 1$ và biến $y$ với số mũ $\geq 2$, mà đơn thức $2xy^2$ có $x^1y^2$. Vậy ba hạng tử đều chia hết cho $2xy^2$ → đa thức chia hết cho đơn thức.

Thực hiện phép chia từng hạng tử:

$$(6x^4y^3 – 8x^3y^4 + 3x^2y^2) : 2xy^2 = (6x^4y^3 : 2xy^2) + (-8x^3y^4 : 2xy^2) + (3x^2y^2 : 2xy^2).$$

Tính từng phép chia:

• $6x^4y^3 : 2xy^2 = (6 : 2) \cdot (x^4 : x) \cdot (y^3 : y^2) = 3x^3y$.
• $-8x^3y^4 : 2xy^2 = (-8 : 2) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^4 : y^2) = -4x^2y^2$.
• $3x^2y^2 : 2xy^2 = (3 : 2) \cdot (x^2 : x) \cdot (y^2 : y^2) = \dfrac{3}{2}x$.

Cộng các kết quả:

$$(6x^4y^3 – 8x^3y^4 + 3x^2y^2) : 2xy^2 = 3x^3y – 4x^2y^2 + \dfrac{3}{2}x.$$

Vận dụng 2 (trang 24)

Đề bài: Tìm đa thức $A$ sao cho $A \cdot (-3xy) = 9x^3y + 3xy^3 – 6x^2y^2$.

Lời giải:

Ta dùng quan hệ giữa phép nhân và phép chia: nếu $A \cdot B = C$ (với $B \neq 0$) thì $A = C : B$.

Từ $A \cdot (-3xy) = 9x^3y + 3xy^3 – 6x^2y^2$ suy ra:

$$A = (9x^3y + 3xy^3 – 6x^2y^2) : (-3xy).$$

Chia từng hạng tử cho $-3xy$:

• $9x^3y : (-3xy) = (9 : (-3)) \cdot (x^3 : x) \cdot (y : y) = -3 \cdot x^2 \cdot 1 = -3x^2$.
• $3xy^3 : (-3xy) = (3 : (-3)) \cdot (x : x) \cdot (y^3 : y) = -1 \cdot 1 \cdot y^2 = -y^2$.
• $-6x^2y^2 : (-3xy) = ((-6) : (-3)) \cdot (x^2 : x) \cdot (y^2 : y) = 2 \cdot x \cdot y = 2xy$.

Cộng các kết quả:

$$A = -3x^2 – y^2 + 2xy.$$

Hay viết lại: $A = -3x^2 + 2xy – y^2.$

(Có thể kiểm tra lại: $A \cdot (-3xy) = (-3x^2 + 2xy – y^2)(-3xy) = 9x^3y – 6x^2y^2 + 3xy^3$, đúng bằng vế phải.)

Bài tập (trang 24)

Bài 1.30 (trang 24)

Đề bài:

a) Tìm đơn thức $M$, biết rằng $\dfrac{7}{3}x^3y^2 : M = 7xy^2$.

b) Tìm đơn thức $N$ sao cho $N : 0{,}5xy^2z = -xy$.

Lời giải:

a) Từ phép chia $\dfrac{7}{3}x^3y^2 : M = 7xy^2$ ta suy ra $M = \dfrac{7}{3}x^3y^2 : 7xy^2$ (số chia bằng số bị chia chia cho thương).

Thực hiện phép chia:

$$M = \left(\dfrac{7}{3} : 7\right) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^2 : y^2) = \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{1}{7} \cdot x^2 \cdot 1 = \dfrac{1}{3}x^2.$$

Vậy $M = \dfrac{1}{3}x^2.$

(Kiểm tra: $\dfrac{7}{3}x^3y^2 : \dfrac{1}{3}x^2 = \left(\dfrac{7}{3} : \dfrac{1}{3}\right) \cdot (x^3 : x^2) \cdot y^2 = 7 \cdot x \cdot y^2 = 7xy^2$, đúng.)

b) Từ phép chia $N : 0{,}5xy^2z = -xy$ ta suy ra $N = (-xy) \cdot 0{,}5xy^2z$ (số bị chia bằng số chia nhân với thương).

Thực hiện phép nhân:

$$N = (-1 \cdot 0{,}5) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y^2) \cdot z = -0{,}5x^2y^3z.$$

Vậy $N = -0{,}5x^2y^3z.$

(Kiểm tra: $-0{,}5x^2y^3z : 0{,}5xy^2z = (-0{,}5 : 0{,}5) \cdot (x^2 : x) \cdot (y^3 : y^2) \cdot (z : z) = -1 \cdot x \cdot y \cdot 1 = -xy$, đúng.)

Bài 1.31 (trang 24)

Đề bài: Cho đa thức $A = 9xy^4 – 12x^2y^3 + 6x^3y^2$. Với mỗi trường hợp sau đây, xét xem $A$ có chia hết cho đơn thức $B$ hay không. Thực hiện phép chia trong trường hợp $A$ chia hết cho $B$.

a) $B = 3x^2y$;

b) $B = -3xy^2$.

Lời giải:

Nhắc lại: đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ khi mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$.

a) Xét $B = 3x^2y$.

Kiểm tra từng hạng tử của $A$ xem có chia hết cho $3x^2y$ không.

Hạng tử thứ nhất $9xy^4$: số mũ của $x$ trong $9xy^4$ là $1$, trong $3x^2y$ là $2$. Vì $1 < 2$ nên $9xy^4$ không chia hết cho $3x^2y$.

Chỉ cần một hạng tử không chia hết là đủ để kết luận. Vậy $A$ không chia hết cho $B = 3x^2y$.

b) Xét $B = -3xy^2$.

Kiểm tra từng hạng tử của $A$:

• $9xy^4$: $x$ có $1 \geq 1$ ✓; $y$ có $4 \geq 2$ ✓ → chia hết.
• $-12x^2y^3$: $x$ có $2 \geq 1$ ✓; $y$ có $3 \geq 2$ ✓ → chia hết.
• $6x^3y^2$: $x$ có $3 \geq 1$ ✓; $y$ có $2 \geq 2$ ✓ → chia hết.

Cả ba hạng tử đều chia hết cho $-3xy^2$. Vậy $A$ chia hết cho $B = -3xy^2$.

Thực hiện phép chia (chia từng hạng tử rồi cộng):

$$A : B = (9xy^4 – 12x^2y^3 + 6x^3y^2) : (-3xy^2).$$

Tính từng phép chia hạng tử:

• $9xy^4 : (-3xy^2) = (9 : (-3)) \cdot (x : x) \cdot (y^4 : y^2) = -3 \cdot 1 \cdot y^2 = -3y^2$.
• $-12x^2y^3 : (-3xy^2) = ((-12) : (-3)) \cdot (x^2 : x) \cdot (y^3 : y^2) = 4 \cdot x \cdot y = 4xy$.
• $6x^3y^2 : (-3xy^2) = (6 : (-3)) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^2 : y^2) = -2 \cdot x^2 \cdot 1 = -2x^2$.

Cộng các kết quả:

$$A : B = -3y^2 + 4xy – 2x^2.$$

Hay viết lại: $A : B = -2x^2 + 4xy – 3y^2.$

Bài 1.32 (trang 24)

Đề bài: Thực hiện phép chia $(7y^5z^2 – 14y^4z^3 + 2{,}1y^3z^4) : (-7y^3z^2)$.

Lời giải:

Trước hết kiểm tra: trong đơn thức $-7y^3z^2$ có $y$ với số mũ $3$ và $z$ với số mũ $2$. Cả ba hạng tử của đa thức đều có $y$ với số mũ $\geq 3$ và $z$ với số mũ $\geq 2$, nên đa thức chia hết cho đơn thức.

Chia từng hạng tử cho $-7y^3z^2$:

$$(7y^5z^2 – 14y^4z^3 + 2{,}1y^3z^4) : (-7y^3z^2) = (7y^5z^2 : (-7y^3z^2)) + (-14y^4z^3 : (-7y^3z^2)) + (2{,}1y^3z^4 : (-7y^3z^2)).$$

Tính từng phép chia:

• $7y^5z^2 : (-7y^3z^2) = (7 : (-7)) \cdot (y^5 : y^3) \cdot (z^2 : z^2) = -1 \cdot y^2 \cdot 1 = -y^2$.
• $-14y^4z^3 : (-7y^3z^2) = ((-14) : (-7)) \cdot (y^4 : y^3) \cdot (z^3 : z^2) = 2 \cdot y \cdot z = 2yz$.
• $2{,}1y^3z^4 : (-7y^3z^2) = (2{,}1 : (-7)) \cdot (y^3 : y^3) \cdot (z^4 : z^2) = -0{,}3 \cdot 1 \cdot z^2 = -0{,}3z^2$.

Cộng các kết quả:

$$(7y^5z^2 – 14y^4z^3 + 2{,}1y^3z^4) : (-7y^3z^2) = -y^2 + 2yz – 0{,}3z^2.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du