Bài tập (trang 46)

Bài 2.26 (trang 46)

Đề bài: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 – 6x + 9 – y^2$;

b) $4x^2 – y^2 + 4y – 4$;

c) $xy + z^2 + xz + yz$;

d) $x^2 – 4xy + 4y^2 + xz – 2yz$.

Lời giải:

a) Nhóm ba hạng tử đầu thành một bình phương:

$$x^2 – 6x + 9 – y^2 = (x^2 – 6x + 9) – y^2.$$

Nhận dạng $x^2 – 6x + 9 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x – 3)^2$ (bình phương của một hiệu). Khi đó:

$$x^2 – 6x + 9 – y^2 = (x – 3)^2 – y^2.$$

Tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ với $A = x – 3$, $B = y$:

$$= [(x – 3) – y] \cdot [(x – 3) + y] = (x – 3 – y)(x – 3 + y).$$

b) Quan sát thấy ba hạng tử cuối $-y^2 + 4y – 4$ có thể nhóm thành dạng bình phương sau khi đổi dấu. Cụ thể:

$$-y^2 + 4y – 4 = -(y^2 – 4y + 4) = -(y – 2)^2.$$

Vì vậy:

$$4x^2 – y^2 + 4y – 4 = 4x^2 – (y – 2)^2 = (2x)^2 – (y – 2)^2.$$

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với $A = 2x$, $B = y – 2$:

$$= [2x – (y – 2)] \cdot [2x + (y – 2)] = (2x – y + 2)(2x + y – 2).$$

c) Đa thức có $4$ hạng tử, ta tìm cách nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung. Thử nhóm $(xy + xz)$ và $(yz + z^2)$:

$$xy + z^2 + xz + yz = (xy + xz) + (yz + z^2).$$

Phân tích từng nhóm:

• $xy + xz = x(y + z)$ (đặt nhân tử chung $x$).
• $yz + z^2 = z(y + z)$ (đặt nhân tử chung $z$).

Khi đó:

$$xy + z^2 + xz + yz = x(y + z) + z(y + z).$$

Hai số hạng vừa nhận được có nhân tử chung là $(y + z)$, đặt ra ngoài:

$$= (y + z)(x + z).$$

d) Quan sát thấy ba hạng tử đầu $x^2 – 4xy + 4y^2$ có dạng bình phương của một hiệu:

$$x^2 – 4xy + 4y^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = (x – 2y)^2.$$

Hai hạng tử còn lại $xz – 2yz$ có thừa số chung là $z$:

$$xz – 2yz = z(x – 2y).$$

Khi đó:

$$x^2 – 4xy + 4y^2 + xz – 2yz = (x – 2y)^2 + z(x – 2y).$$

Hai số hạng đều có nhân tử chung là $(x – 2y)$, đặt ra ngoài:

$$= (x – 2y) \cdot [(x – 2y) + z] = (x – 2y)(x – 2y + z).$$

Bài 2.27 (trang 46)

Đề bài: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^3 + y^3 + x + y$;

b) $x^3 – y^3 + x – y$;

c) $(x – y)^3 + (x + y)^3$;

d) $x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 + y^2 – x^2$.

Lời giải:

a) Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối:

$$x^3 + y^3 + x + y = (x^3 + y^3) + (x + y).$$

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x$, $B = y$ cho nhóm thứ nhất:

$$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 – xy + y^2).$$

Khi đó:

$$x^3 + y^3 + x + y = (x + y)(x^2 – xy + y^2) + (x + y).$$

Hai số hạng có nhân tử chung là $(x + y)$, đặt ra ngoài:

$$= (x + y) \cdot [(x^2 – xy + y^2) + 1] = (x + y)(x^2 – xy + y^2 + 1).$$

b) Tương tự câu a), nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối:

$$x^3 – y^3 + x – y = (x^3 – y^3) + (x – y).$$

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = x$, $B = y$:

$$x^3 – y^3 = (x – y)(x^2 + xy + y^2).$$

Khi đó:

$$x^3 – y^3 + x – y = (x – y)(x^2 + xy + y^2) + (x – y).$$

Đặt nhân tử chung $(x – y)$:

$$= (x – y) \cdot [(x^2 + xy + y^2) + 1] = (x – y)(x^2 + xy + y^2 + 1).$$

c) Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x – y$ và $B = x + y$.

Bước 1: Tính $A + B$.

$$A + B = (x – y) + (x + y) = 2x.$$

Bước 2: Tính $A^2 – AB + B^2$. Khai triển từng phần:

• $A^2 = (x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2$.
• $AB = (x – y)(x + y) = x^2 – y^2$ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương).
• $B^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Tính $A^2 – AB + B^2$:

$$A^2 – AB + B^2 = (x^2 – 2xy + y^2) – (x^2 – y^2) + (x^2 + 2xy + y^2).$$

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc đứng sau dấu trừ) và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$= x^2 – 2xy + y^2 – x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 3y^2.$$

Bước 3: Ghép lại.

$$(x – y)^3 + (x + y)^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) = 2x \cdot (x^2 + 3y^2) = 2x(x^2 + 3y^2).$$

d) Nhận thấy bốn hạng tử đầu có dạng lập phương của một hiệu:

$$x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 = (x – y)^3.$$

Hai hạng tử cuối $y^2 – x^2$ có dạng hiệu hai bình phương, nhưng đảo vị trí: đổi sang $-(x^2 – y^2)$ rồi phân tích:

$$y^2 – x^2 = -(x^2 – y^2) = -(x – y)(x + y).$$

Khi đó:

$$x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 + y^2 – x^2 = (x – y)^3 – (x – y)(x + y).$$

Đặt nhân tử chung $(x – y)$:

$$= (x – y) \cdot [(x – y)^2 – (x + y)].$$

Có thể khai triển $(x – y)^2$ trong ngoặc vuông để được dạng cuối:

$$(x – y)^2 – (x + y) = (x^2 – 2xy + y^2) – (x + y) = x^2 – 2xy + y^2 – x – y.$$

Vậy:

$$x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 + y^2 – x^2 = (x – y)(x^2 – 2xy + y^2 – x – y).$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du