A. Trắc nghiệm

Bài 2.28 (trang 47)

Đề bài: Đa thức $x^2 – 9x + 8$ được phân tích thành tích của hai đa thức:

A. $x – 1$ và $x + 8$.

B. $x – 1$ và $x – 8$.

C. $x – 2$ và $x – 4$.

D. $x – 2$ và $x + 4$.

Lời giải:

Ta cần tìm hai số có tổng bằng $-9$ và tích bằng $8$ (để khi nhân hai đa thức dạng $(x + m)(x + n)$ ta được $x^2 + (m + n)x + mn$). Thử các cặp số có tích $8$:

• $(-1)$ và $(-8)$: tổng là $-9$ ✓, tích là $(-1) \cdot (-8) = 8$ ✓.

Vậy:

$$x^2 – 9x + 8 = (x – 1)(x – 8).$$

Đáp án đúng là B.

Bài 2.29 (trang 47)

Đề bài: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(A – B)(A + B) = A^2 + 2AB + B^2$.

B. $(A + B)(A – B) = A^2 – 2AB + B^2$.

C. $(A + B)(A – B) = A^2 + B^2$.

D. $(A + B)(A – B) = A^2 – B^2$.

Lời giải:

Đây chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $(A + B)(A – B) = A^2 – B^2$ (hoặc viết theo chiều ngược: $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$).

Đáp án đúng là D.

Bài 2.30 (trang 47)

Đề bài: Biểu thức $25x^2 + 20xy + 4y^2$ viết dưới dạng bình phương của một tổng là:

A. $[5x + (-2y)]^2$.

B. $[2x + (-5y)]^2$.

C. $(2x + 5y)^2$.

D. $(5x + 2y)^2$.

Lời giải:

Nhận dạng $A^2 + 2AB + B^2$ trong biểu thức:

• $25x^2 = (5x)^2$ → chọn $A = 5x$.
• $4y^2 = (2y)^2$ → chọn $B = 2y$.
• Kiểm tra hạng tử giữa: $2AB = 2 \cdot 5x \cdot 2y = 20xy$ → đúng bằng $20xy$.

Áp dụng hằng đẳng thức $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ theo chiều ngược lại:

$$25x^2 + 20xy + 4y^2 = (5x + 2y)^2.$$

Đáp án đúng là D.

Bài 2.31 (trang 47)

Đề bài: Rút gọn biểu thức $A = (2x + 1)^3 – 6x(2x + 1)$ ta được:

A. $x^3 + 8$.

B. $x^3 + 1$.

C. $8x^3 + 1$.

D. $8x^3 – 1$.

Lời giải:

Khai triển $(2x + 1)^3$ bằng hằng đẳng thức $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ với $A = 2x$, $B = 1$:

$$(2x + 1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 + 1^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1.$$

Khai triển $6x(2x + 1)$:

$$6x(2x + 1) = 12x^2 + 6x.$$

Trừ hai kết quả:

$$A = (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) – (12x^2 + 6x) = 8x^3 + (12x^2 – 12x^2) + (6x – 6x) + 1 = 8x^3 + 1.$$

Đáp án đúng là C.

B. Tự luận

Bài 2.32 (trang 47)

Đề bài: Tính nhanh giá trị của các biểu thức:

a) $x^2 – 4x + 4$ tại $x = 102$;

b) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ tại $x = 999$.

Lời giải:

a) Nhận dạng $x^2 – 4x + 4$ có dạng $A^2 – 2AB + B^2$ với $A = x$, $B = 2$:

• $A^2 = x^2$ ✓.
• $2AB = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$ ✓.
• $B^2 = 4$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2$:

$$x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2.$$

Thay $x = 102$:

$$(102 – 2)^2 = 100^2 = 10\,000.$$

Vậy tại $x = 102$, giá trị của biểu thức là $10\,000$.

b) Nhận dạng $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ có dạng $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ với $A = x$, $B = 1$:

• $A^3 = x^3$ ✓; $3A^2B = 3x^2$ ✓; $3AB^2 = 3x$ ✓; $B^3 = 1$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$:

$$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3.$$

Thay $x = 999$:

$$(999 + 1)^3 = 1\,000^3 = 1\,000\,000\,000.$$

Vậy tại $x = 999$, giá trị của biểu thức là $1\,000\,000\,000$ (một tỉ).

Bài 2.33 (trang 47)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức:

a) $(2x – 5y)(2x + 5y) + (2x + 5y)^2$;

b) $(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) + (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)$.

Lời giải:

a) Hai số hạng trong biểu thức đều có nhân tử chung là $(2x + 5y)$. Đặt nhân tử chung ra ngoài:

$$(2x – 5y)(2x + 5y) + (2x + 5y)^2 = (2x + 5y) \cdot [(2x – 5y) + (2x + 5y)].$$

Tính trong dấu ngoặc vuông:

$$(2x – 5y) + (2x + 5y) = 2x – 5y + 2x + 5y = 4x.$$

Vậy:

$$(2x – 5y)(2x + 5y) + (2x + 5y)^2 = (2x + 5y) \cdot 4x = 4x(2x + 5y).$$

Có thể khai triển ra dạng đa thức: $4x(2x + 5y) = 8x^2 + 20xy$.

b) Ta phân tích từng tích bằng hai hằng đẳng thức tổng/hiệu hai lập phương.

Tích thứ nhất $(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$: có dạng $(A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 2y$. Kiểm tra: $A^2 = x^2$ ✓; $AB = 2xy$ ✓; $B^2 = 4y^2$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$:

$$(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3.$$

Tích thứ hai $(2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)$: có dạng $(A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = 2x$, $B = y$. Kiểm tra: $A^2 = 4x^2$ ✓; $AB = 2xy$ ✓; $B^2 = y^2$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$:

$$(2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2) = (2x)^3 – y^3 = 8x^3 – y^3.$$

Cộng hai kết quả:

$$(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) + (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2) = (x^3 + 8y^3) + (8x^3 – y^3).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$= x^3 + 8y^3 + 8x^3 – y^3 = (x^3 + 8x^3) + (8y^3 – y^3) = 9x^3 + 7y^3.$$

Vậy biểu thức rút gọn về $9x^3 + 7y^3$.

Bài 2.34 (trang 47)

Đề bài: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $6x^2 – 24y^2$;

b) $64x^3 – 27y^3$;

c) $x^4 – 2x^3 + x^2$;

d) $(x – y)^3 + 8y^3$.

Lời giải:

a) Đặt nhân tử chung $6$ ra ngoài:

$$6x^2 – 24y^2 = 6(x^2 – 4y^2).$$

Tiếp tục phân tích $x^2 – 4y^2 = x^2 – (2y)^2$ bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

$$x^2 – 4y^2 = (x – 2y)(x + 2y).$$

Vậy:

$$6x^2 – 24y^2 = 6(x – 2y)(x + 2y).$$

b) Nhận thấy $64x^3 = (4x)^3$ và $27y^3 = (3y)^3$, áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = 4x$, $B = 3y$:

$$64x^3 – 27y^3 = (4x)^3 – (3y)^3 = (4x – 3y)[(4x)^2 + 4x \cdot 3y + (3y)^2].$$

Tính các phần trong ngoặc vuông: $(4x)^2 = 16x^2$; $4x \cdot 3y = 12xy$; $(3y)^2 = 9y^2$. Vậy:

$$64x^3 – 27y^3 = (4x – 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2).$$

c) Đặt nhân tử chung $x^2$ ra ngoài:

$$x^4 – 2x^3 + x^2 = x^2(x^2 – 2x + 1).$$

Tiếp tục phân tích $x^2 – 2x + 1$ bằng hằng đẳng thức bình phương một hiệu $(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2$ với $A = x$, $B = 1$:

$$x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2.$$

Vậy:

$$x^4 – 2x^3 + x^2 = x^2(x – 1)^2.$$

d) Nhận thấy $8y^3 = (2y)^3$, áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x – y$, $B = 2y$.

Bước 1: Tính $A + B$.

$$A + B = (x – y) + 2y = x + y.$$

Bước 2: Tính $A^2 – AB + B^2$. Khai triển từng phần:

• $A^2 = (x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2$.
• $AB = (x – y) \cdot 2y = 2xy – 2y^2$.
• $B^2 = (2y)^2 = 4y^2$.

Tính $A^2 – AB + B^2$:

$$A^2 – AB + B^2 = (x^2 – 2xy + y^2) – (2xy – 2y^2) + 4y^2.$$

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc đứng sau dấu trừ) và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$= x^2 – 2xy + y^2 – 2xy + 2y^2 + 4y^2 = x^2 – 4xy + 7y^2.$$

Bước 3: Ghép lại.

$$(x – y)^3 + 8y^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) = (x + y)(x^2 – 4xy + 7y^2).$$

Bài 2.35 (trang 47)

Đề bài: Sử dụng Hình 2.3, bằng cách tính diện tích hình vuông $ABCD$ theo hai cách, hãy giải thích hằng đẳng thức $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Lời giải:

Cách 1: Tính diện tích hình vuông $ABCD$ theo cạnh.

Hình vuông $ABCD$ có độ dài một cạnh bằng $a + b$, nên diện tích là:

$$S_{ABCD} = (a + b)^2.$$

Cách 2: Tính diện tích hình vuông $ABCD$ bằng tổng diện tích bốn hình $P$, $Q$, $R$, $S$.

Quan sát Hình 2.3, hình vuông $ABCD$ được chia thành bốn phần:

• $P$ là hình vuông có độ dài cạnh bằng $a$, nên diện tích là $a^2$.
• $Q$ là hình chữ nhật có hai cạnh là $a$ và $b$, nên diện tích là $ab$.
• $R$ là hình chữ nhật có hai cạnh là $a$ và $b$, nên diện tích là $ab$.
• $S$ là hình vuông có độ dài cạnh bằng $b$, nên diện tích là $b^2$.

Tổng diện tích bốn hình:

$$S_{ABCD} = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Kết luận. Cùng một hình vuông $ABCD$ tính bằng hai cách phải cho cùng một kết quả, nên ta có:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một tổng. Cách chứng minh trên là chứng minh trực quan bằng hình học — biểu diễn hai vế của hằng đẳng thức như diện tích của cùng một hình.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du