Bài tập (trang 63)

Bài 3.19 (trang 63)

Đề bài: Trong các tứ giác ở Hình 3.39, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?

Lời giải:

Hình 3.39a: Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{C}$ và $\widehat{B} = \widehat{D}$, tức là các góc đối bằng nhau. Theo Định lí 3a, $ABCD$ là hình bình hành.

Hình 3.39b: Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B} = 70^\circ$ và $\widehat{D} = 75^\circ$. Hai góc đối $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$ không bằng nhau ($70^\circ \neq 75^\circ$). Vậy theo Định lí 3a, $ABCD$ không phải là hình bình hành.

Hình 3.39c: Đặt $\widehat{BCx} = 80^\circ$ là góc tạo bởi cạnh $CB$ và tia $Cx$ (tia $Cx$ là tia đối của tia $CD$, tức $Cx$ nằm trên đường thẳng $DC$ kéo dài qua $C$).

Coi đường thẳng $DC$ là cát tuyến cắt hai đường thẳng $AD$ và $BC$:

• Tại $D$, góc $\widehat{ADC} = 80^\circ$ giữa $DA$ và $DC$.
• Tại $C$, góc $\widehat{BCx} = 80^\circ$ giữa $CB$ và tia $Cx$ (cùng phương với $DC$).

Hai góc này nằm ở vị trí đồng vị đối với cát tuyến $DC$, và chúng bằng nhau ($= 80^\circ$). Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

$$AD ;//; BC.$$

Tứ giác $ABCD$ có:

• $AD // BC$ (chứng minh trên);
• $AD = BC$ (giả thiết, theo dấu tick trên hình).

Tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên theo Định lí 2b, $ABCD$ là hình bình hành.

Kết luận: Tứ giác trong Hình 3.39a và Hình 3.39c là hình bình hành; tứ giác trong Hình 3.39b không phải là hình bình hành.

Bài 3.20 (trang 63)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ và điểm $N$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $AM = CN$. Chứng minh rằng:

a) $AN = CM$;

b) $\widehat{AMC} = \widehat{ANC}$.

Lời giải:

Ý tưởng chung: Chứng minh tứ giác $AMCN$ là hình bình hành, từ đó suy ra các kết quả cần chứng minh.

Chứng minh tứ giác $AMCN$ là hình bình hành.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB // CD$.

• $M$ thuộc $AB$ nên $AM$ nằm trên đường thẳng $AB$.
• $N$ thuộc $CD$ nên $CN$ nằm trên đường thẳng $CD$.

Vì $AB // CD$ nên $AM // CN$.

Tứ giác $AMCN$ có:

• $AM // CN$ (chứng minh trên);
• $AM = CN$ (giả thiết).

Tứ giác $AMCN$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, theo Định lí 2b, $AMCN$ là hình bình hành.

a) Chứng minh $AN = CM$.

Hai cạnh đối còn lại của hình bình hành $AMCN$ là $AN$ và $CM$. Theo Định lí 1a, hai cạnh đối hình bình hành bằng nhau, nên:

$$AN = CM \quad (\text{đpcm}).$$

b) Chứng minh $\widehat{AMC} = \widehat{ANC}$.

Trong hình bình hành $AMCN$, hai đỉnh $M$ và $N$ là hai đỉnh đối nhau, nên $\widehat{AMC}$ và $\widehat{ANC}$ là hai góc đối. Theo Định lí 1b, hai góc đối hình bình hành bằng nhau, nên:

$$\widehat{AMC} = \widehat{ANC} \quad (\text{đpcm}).$$

Bài 3.21 (trang 63)

Đề bài: Vẽ tứ giác $ABCD$ theo hướng dẫn sau:

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB$ và đường thẳng $a$ song song với $AB$.
• Bước 2: Lấy điểm $C \in a$.
• Bước 3: Trên $a$ chọn $D$ sao cho $CD = AB$ và $A$, $D$ nằm cùng phía đối với $BC$.

Hãy giải thích tại sao tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải:

Thực hiện ba bước vẽ như đề bài, ta được tứ giác $ABCD$ với:

• $A$, $B$ thuộc đường thẳng chứa đoạn $AB$.
• $C$, $D$ thuộc đường thẳng $a$.
• Theo Bước 1, $a$ song song với $AB$. Mà $C$, $D \in a$ nên đường thẳng $CD$ (đi qua $C$, $D$) trùng với $a$. Do đó $CD // AB$.
• Theo Bước 3, $CD = AB$.

Tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối $AB$ và $CD$ vừa song song vừa bằng nhau. Theo Định lí 2b, $ABCD$ là hình bình hành.

(Điều kiện “$A$, $D$ nằm cùng phía đối với $BC$” trong Bước 3 đảm bảo tứ giác $ABCD$ không bị “tự cắt” — tức là các đỉnh sắp xếp đúng thứ tự quanh đường viền — nên đây là một tứ giác lồi thực sự, và do đó là một hình bình hành.)

Bài 3.22 (trang 63)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = 3$ cm, $AD = 5$ cm.

a) Hỏi tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $CD$ hay cạnh $BC$?

b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm $C$.

Lời giải:

a) Tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh nào?

Vì $AD = 5$ cm $> AB = 3$ cm, ta sẽ chứng minh tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$.

Gọi $E$ là giao điểm của tia phân giác $\widehat{DAB}$ với đường thẳng $BC$. Đặt $\widehat{A_1} = \widehat{A_2} = \dfrac{1}{2}\widehat{DAB}$ (do $AE$ là phân giác, trong đó $\widehat{A_1}$ là phần kề $AB$ và $\widehat{A_2}$ là phần kề $AD$).

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD // BC$. Coi $AE$ là cát tuyến, ta có:

$$\widehat{A_2} = \widehat{AEB} \quad (\text{hai góc so le trong, vì } AD // BC).$$

Mặt khác $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$ (phân giác), nên $\widehat{A_1} = \widehat{AEB}$.

Tam giác $ABE$ có $\widehat{BAE} = \widehat{A_1} = \widehat{BEA}$, nên tam giác $ABE$ cân tại $B$. Suy ra:

$$BE = AB = 3 \text{ cm}.$$

Mà $BC = AD = 5$ cm (hai cạnh đối hình bình hành) và $BE = 3$ cm $< BC = 5$ cm, nên điểm $E$ nằm giữa $B$ và $C$.

Vậy tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$ (tại điểm $E$ giữa $B$ và $C$).

b) Tính khoảng cách từ $E$ đến $C$.

Vì $E$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $BC = BE + EC$, suy ra:

$$EC = BC – BE = 5 – 3 = 2 \text{ (cm)}.$$

Vậy khoảng cách từ giao điểm $E$ đến điểm $C$ là $EC = 2$ cm.

Bài 3.23 (trang 63)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Lấy điểm $E$ sao cho $B$ là trung điểm của $AE$, lấy điểm $F$ sao cho $C$ là trung điểm của $DF$. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác $AEFD$, $ABFC$ là những hình bình hành;

b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng $AF$, $DE$, $BC$ trùng nhau.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB // CD$.

Theo giả thiết:

• $B$ là trung điểm $AE$ $\Rightarrow$ $AB = BE$ và $AE = 2AB$. Vậy $A$, $B$, $E$ thẳng hàng (trên đường thẳng $AB$).
• $C$ là trung điểm $DF$ $\Rightarrow$ $DC = CF$ và $DF = 2DC$. Vậy $D$, $C$, $F$ thẳng hàng (trên đường thẳng $DC$).

Do $AB = CD$ nên $AB = BE = CD = CF$.

a) Hai tứ giác $AEFD$ và $ABFC$ là hình bình hành.

Tứ giác $AEFD$ (các đỉnh theo thứ tự $A$, $E$, $F$, $D$):

• $AE$ nằm trên đường thẳng $AB$, $DF$ nằm trên đường thẳng $DC$. Vì $AB // DC$ nên $AE // DF$.
• $AE = 2AB = 2CD = DF$.

Tứ giác $AEFD$ có một cặp cạnh đối ($AE$ và $DF$) song song và bằng nhau. Theo Định lí 2b, $AEFD$ là hình bình hành.

Tứ giác $ABFC$ (các đỉnh theo thứ tự $A$, $B$, $F$, $C$):

• $AB$ nằm trên đường thẳng $AB$, $CF$ nằm trên đường thẳng $DC$. Vì $AB // DC$ nên $AB // CF$.
• $AB = CF$ (chứng minh trên).

Tứ giác $ABFC$ có một cặp cạnh đối ($AB$ và $CF$) song song và bằng nhau. Theo Định lí 2b, $ABFC$ là hình bình hành.

b) Các trung điểm của $AF$, $DE$, $BC$ trùng nhau.

Bước 1: Trong hình bình hành $AEFD$, hai đường chéo là $AF$ (nối $A$ và $F$ — hai đỉnh đối nhau) và $DE$ (nối $D$ và $E$ — hai đỉnh đối nhau). Theo Định lí 1c, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi giao điểm đó là $M$. Khi đó:

• $M$ là trung điểm của $AF$.
• $M$ là trung điểm của $DE$.

Bước 2: Trong hình bình hành $ABFC$, hai đường chéo là $AF$ (nối $A$ và $F$ — hai đỉnh đối nhau) và $BC$ (nối $B$ và $C$ — hai đỉnh đối nhau). Theo Định lí 1c, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vì $M$ là trung điểm của $AF$ (Bước 1), nên $M$ chính là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABFC$, và do đó $M$ cũng là trung điểm của $BC$.

Kết luận: Điểm $M$ vừa là trung điểm của $AF$, vừa là trung điểm của $DE$, vừa là trung điểm của $BC$. Vậy trung điểm của ba đoạn thẳng $AF$, $DE$, $BC$ trùng nhau tại $M$ (đpcm).

Bài 3.24 (trang 63)

Đề bài: Cho ba điểm không thẳng hàng.

a) Tìm một điểm sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình bình hành. Hãy vẽ hình và mô tả cách tìm.

b) Hỏi tìm được bao nhiêu điểm như vậy?

Lời giải:

Gọi ba điểm không thẳng hàng đã cho là $A$, $B$, $C$. Ta cần tìm điểm $D$ sao cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn đỉnh của một hình bình hành.

Ý tưởng: Trong một hình bình hành có bốn đỉnh, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (Định lí 1c). Vì vậy, trong số bốn đỉnh, mỗi đỉnh có đúng một đỉnh “đối diện” (qua đường chéo). Tuỳ vào việc $D$ đối diện với $A$, $B$, hay $C$, ta có ba trường hợp khác nhau.

a) Cách tìm điểm $D$ (ba trường hợp).

Trường hợp 1: $D$ đối diện với $A$.

Khi đó hai đường chéo là $AD$ và $BC$. Theo Định lí 1c, trung điểm của $AD$ trùng với trung điểm của $BC$.

Cách dựng:

• Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
• Trên tia $AM$, lấy điểm $D$ sao cho $M$ là trung điểm của $AD$ (tức kéo dài $AM$ thêm một đoạn nữa bằng $AM$).

Khi đó tứ giác $ABDC$ là hình bình hành (đỉnh $D$ đối diện với $A$).

Trường hợp 2: $D$ đối diện với $B$.

Khi đó hai đường chéo là $BD$ và $AC$. Trung điểm của $BD$ trùng với trung điểm của $AC$.

Cách dựng:

• Gọi $N$ là trung điểm của $AC$.
• Trên tia $BN$, lấy điểm $D$ sao cho $N$ là trung điểm của $BD$ (kéo dài $BN$ thêm một đoạn nữa bằng $BN$).

Khi đó tứ giác $ABCD$ là hình bình hành (đỉnh $D$ đối diện với $B$).

Trường hợp 3: $D$ đối diện với $C$.

Khi đó hai đường chéo là $CD$ và $AB$. Trung điểm của $CD$ trùng với trung điểm của $AB$.

Cách dựng:

• Gọi $P$ là trung điểm của $AB$.
• Trên tia $CP$, lấy điểm $D$ sao cho $P$ là trung điểm của $CD$ (kéo dài $CP$ thêm một đoạn nữa bằng $CP$).

Khi đó tứ giác $ACBD$ là hình bình hành (đỉnh $D$ đối diện với $C$).

b) Số điểm $D$ tìm được.

Theo câu a, có ba điểm $D$ thoả mãn yêu cầu, ứng với ba trường hợp:

• $D$ đối diện với $A$: ta có hình bình hành $ABDC$.
• $D$ đối diện với $B$: ta có hình bình hành $ABCD$.
• $D$ đối diện với $C$: ta có hình bình hành $ACBD$.

Vậy có tất cả $3$ điểm $D$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du