1. Tổng hai lập phương

Hoạt động 1 (trang 37)

Đề bài: Với hai số $a$, $b$ bất kì, thực hiện phép tính $(a + b)(a^2 – ab + b^2)$. Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^3 + b^3$ và $(a + b)(a^2 – ab + b^2)$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân đa thức (nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia):

$$(a + b)(a^2 – ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2.$$

Tính từng tích:

• $a \cdot a^2 = a^3$.
• $a \cdot (-ab) = -a^2b$.
• $a \cdot b^2 = ab^2$.
• $b \cdot a^2 = a^2b$.
• $b \cdot (-ab) = -ab^2$.
• $b \cdot b^2 = b^3$.

Gộp lại và rút gọn các hạng tử đồng dạng:

• $a^3$.
• $-a^2b + a^2b = 0$ → triệt tiêu.
• $ab^2 – ab^2 = 0$ → triệt tiêu.
• $b^3$.

Vậy:

$$(a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3.$$

Từ đó ta có liên hệ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$. Tổng quát, với $A$, $B$ là hai biểu thức bất kì:

$$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2).$$

Luyện tập 1 (trang 38)

Đề bài:

1. Viết $x^3 + 27$ dưới dạng tích.
2. Rút gọn biểu thức $x^3 + 8y^3 – (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$.

Lời giải:

1. Nhận thấy $27 = 3^3$, ta áp dụng hằng đẳng thức $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 3$:

$$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 – x \cdot 3 + 3^2) = (x + 3)(x^2 – 3x + 9).$$

2. Trước hết phân tích tích $(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$. Đây có dạng $(A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 2y$. Kiểm tra:

• $A^2 = x^2$ ✓.
• $AB = x \cdot 2y = 2xy$ ✓ (khớp với hạng tử giữa $-AB = -2xy$).
• $B^2 = (2y)^2 = 4y^2$ ✓.

Vậy theo hằng đẳng thức:

$$(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) = A^3 + B^3 = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3.$$

Thay vào biểu thức cần rút gọn:

$$x^3 + 8y^3 – (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) = x^3 + 8y^3 – (x^3 + 8y^3) = 0.$$

Vậy biểu thức đã cho rút gọn về $0$.

2. Hiệu hai lập phương

Hoạt động 2 (trang 38)

Đề bài: Với hai số $a$, $b$ bất kì, viết $a^3 – b^3 = a^3 + (-b)^3$ và sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương để tính $a^3 + (-b)^3$. Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^3 – b^3$ và $(a – b)(a^2 + ab + b^2)$.

Lời giải:

Theo gợi ý, ta viết $a^3 – b^3 = a^3 + (-b)^3$ rồi áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = a$, $B = -b$:

$$a^3 + (-b)^3 = [a + (-b)] \cdot [a^2 – a \cdot (-b) + (-b)^2].$$

Tính từng phần (lưu ý dấu khi thao tác với $-b$):

• $a + (-b) = a – b$.
• $-a \cdot (-b) = ab$ (tích hai số đối dấu thành dấu cộng).
• $(-b)^2 = b^2$ (luỹ thừa bậc chẵn của số đối bằng luỹ thừa của số đó).

Thay vào:

$$a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2).$$

Tổng quát, với $A$, $B$ là hai biểu thức bất kì:

$$A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2).$$

Luyện tập 2 (trang 39)

Đề bài:

1. Viết đa thức $x^3 – 8$ dưới dạng tích.
2. Rút gọn biểu thức $(3x – 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) + 8y^3$.

Lời giải:

1. Nhận thấy $8 = 2^3$, ta áp dụng hằng đẳng thức $A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 2$:

$$x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x – 2)(x^2 + 2x + 4).$$

2. Trước hết phân tích tích $(3x – 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)$. Đây có dạng $(A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = 3x$, $B = 2y$. Kiểm tra:

• $A^2 = (3x)^2 = 9x^2$ ✓.
• $AB = 3x \cdot 2y = 6xy$ ✓.
• $B^2 = (2y)^2 = 4y^2$ ✓.

Vậy theo hằng đẳng thức:

$$(3x – 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) = A^3 – B^3 = (3x)^3 – (2y)^3 = 27x^3 – 8y^3.$$

Thay vào biểu thức cần rút gọn:

$$(3x – 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) + 8y^3 = (27x^3 – 8y^3) + 8y^3 = 27x^3 + (-8y^3 + 8y^3) = 27x^3.$$

Vậy biểu thức đã cho rút gọn về $27x^3$.

Vận dụng (trang 39)

Đề bài: Giải quyết tình huống mở đầu — viết đa thức $x^6 + y^6$ dưới dạng tích.

Lời giải:

Để dùng được hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta cần đưa $x^6$ và $y^6$ về dạng lập phương. Nhận thấy:

• $x^6 = x^{2 \cdot 3} = (x^2)^3$.
• $y^6 = y^{2 \cdot 3} = (y^2)^3$.

Vậy $x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3$, có dạng $A^3 + B^3$ với $A = x^2$, $B = y^2$. Áp dụng hằng đẳng thức $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$:

$$x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)\left[(x^2)^2 – x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2\right] = (x^2 + y^2)(x^4 – x^2y^2 + y^4).$$

Vậy bạn Tròn đã viết được $x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)(x^4 – x^2y^2 + y^4)$ bằng cách xem $x^6 = (x^2)^3$, $y^6 = (y^2)^3$ rồi áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương.

Bài tập (trang 39)

Bài 2.12 (trang 39)

Đề bài: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:

a) $(x + 4)(x^2 – 4x + 16)$;

b) $(4x^2 + 2xy + y^2)(2x – y)$.

Lời giải:

a) Biểu thức $(x + 4)(x^2 – 4x + 16)$ có dạng $(A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 4$. Kiểm tra:

• $A^2 = x^2$ ✓.
• $AB = x \cdot 4 = 4x$ ✓ (khớp với hạng tử giữa $-AB = -4x$).
• $B^2 = 4^2 = 16$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$ theo chiều ngược lại:

$$(x + 4)(x^2 – 4x + 16) = x^3 + 4^3 = x^3 + 64.$$

b) Đổi thứ tự hai thừa số cho dễ nhận dạng: $(4x^2 + 2xy + y^2)(2x – y) = (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)$.

Biểu thức này có dạng $(A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = 2x$, $B = y$. Kiểm tra:

• $A^2 = (2x)^2 = 4x^2$ ✓.
• $AB = 2x \cdot y = 2xy$ ✓.
• $B^2 = y^2$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$ theo chiều ngược lại:

$$(4x^2 + 2xy + y^2)(2x – y) = (2x)^3 – y^3 = 8x^3 – y^3.$$

Bài 2.13 (trang 39)

Đề bài: Thay $\boxed{?}$ bằng biểu thức thích hợp.

a) $x^3 + 512 = (x + 8)(x^2 – \boxed{?} + 64)$;

b) $27x^3 – 8y^3 = (\boxed{?} – 2y)(\boxed{?} + 6xy + 4y^2)$.

Lời giải:

a) Vế trái $x^3 + 512 = x^3 + 8^3$, áp dụng hằng đẳng thức $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 8$:

$$x^3 + 512 = (x + 8)(x^2 – x \cdot 8 + 8^2) = (x + 8)(x^2 – 8x + 64).$$

So với vế phải $(x + 8)(x^2 – \boxed{?} + 64)$, ta được $\boxed{?} = 8x$.

b) Vế trái $27x^3 – 8y^3 = (3x)^3 – (2y)^3$, áp dụng hằng đẳng thức $A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = 3x$, $B = 2y$:

$$27x^3 – 8y^3 = (3x – 2y)[(3x)^2 + 3x \cdot 2y + (2y)^2] = (3x – 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2).$$

So với vế phải $(\boxed{?} – 2y)(\boxed{?} + 6xy + 4y^2)$, ta được ô trống đầu là $3x$, ô trống thứ hai là $9x^2$.

Bài 2.14 (trang 39)

Đề bài: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) $27x^3 + y^3$;

b) $x^3 – 8y^3$.

Lời giải:

a) Nhận thấy $27x^3 = (3x)^3$, ta đưa biểu thức về dạng $A^3 + B^3$ với $A = 3x$, $B = y$:

$$27x^3 + y^3 = (3x)^3 + y^3 = (3x + y)[(3x)^2 – 3x \cdot y + y^2] = (3x + y)(9x^2 – 3xy + y^2).$$

b) Nhận thấy $8y^3 = (2y)^3$, ta đưa biểu thức về dạng $A^3 – B^3$ với $A = x$, $B = 2y$:

$$x^3 – 8y^3 = x^3 – (2y)^3 = (x – 2y)[x^2 + x \cdot 2y + (2y)^2] = (x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2).$$

Bài 2.15 (trang 39)

Đề bài: Rút gọn biểu thức

$$(x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2).$$

Lời giải:

Ta phân tích từng tích bằng hai hằng đẳng thức tổng/hiệu hai lập phương.

Tích thứ nhất $(x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$: có dạng $(A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 2y$. Kiểm tra:

• $A^2 = x^2$ ✓.
• $AB = x \cdot 2y = 2xy$ ✓.
• $B^2 = (2y)^2 = 4y^2$ ✓.

Áp dụng hằng đẳng thức $A^3 – B^3$:

$$(x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) = x^3 – (2y)^3 = x^3 – 8y^3.$$

Tích thứ hai $(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$: có dạng $(A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 2y$. Kiểm tra tương tự đều khớp. Áp dụng hằng đẳng thức $A^3 + B^3$:

$$(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3.$$

Cộng hai kết quả:

$$(x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) = (x^3 – 8y^3) + (x^3 + 8y^3).$$

Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$= x^3 + x^3 + (-8y^3 + 8y^3) = 2x^3 + 0 = 2x^3.$$

Vậy biểu thức đã cho rút gọn về $2x^3$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du