Câu hỏi mở đầu (trang 4)

Đề bài: Trong một cuộc đua xe đạp, các vận động viên phải hoàn thành ba chặng đua bao gồm $9$ km leo dốc; $5$ km xuống dốc và $36$ km đường bằng phẳng. Vận tốc của một vận động viên trên chặng đường bằng phẳng hơn vận tốc leo dốc $5$ km/h và kém vận tốc xuống dốc $10$ km/h. Nếu biết vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng thì có tính được thời gian hoàn thành cuộc đua của vận động viên đó không?

Lời giải:

Có thể tính được. Gọi vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng là $x$ (km/h), khi đó:

• Vận tốc trên chặng leo dốc là $x – 5$ (km/h);
• Vận tốc trên chặng xuống dốc là $x + 10$ (km/h).

Từ đó tính được thời gian đi từng chặng (quãng đường chia vận tốc) và cộng lại sẽ ra tổng thời gian. Chi tiết cách viết các biểu thức thời gian sẽ được trình bày ở HĐ1, còn cách tính cụ thể khi biết $x = 30$ km/h sẽ được giải ở phần Vận dụng bên dưới.

1. Phân thức đại số

Hoạt động 1 (trang 5)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, giả sử vận tốc trung bình của một vận động viên đi xe đạp trên $36$ km đường bằng phẳng là $x$ (km/h). Hãy viết biểu thức biểu thị thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng leo dốc, chặng xuống dốc, chặng đường bằng phẳng.

Lời giải:

Vận tốc trên chặng đường bằng phẳng là $x$ (km/h).

Bước 1: Tìm vận tốc trên mỗi chặng.

• Vận tốc bằng phẳng hơn vận tốc leo dốc $5$ km/h, nên vận tốc leo dốc là $x – 5$ (km/h).
• Vận tốc bằng phẳng kém vận tốc xuống dốc $10$ km/h, nên vận tốc xuống dốc là $x + 10$ (km/h).

Bước 2: Viết biểu thức thời gian. Áp dụng công thức thời gian $=$ quãng đường $\div$ vận tốc:

• Thời gian leo dốc ($9$ km): $\dfrac{9}{x – 5}$ (giờ);
• Thời gian xuống dốc ($5$ km): $\dfrac{5}{x + 10}$ (giờ);
• Thời gian bằng phẳng ($36$ km): $\dfrac{36}{x}$ (giờ).

Hoạt động 2 (trang 5)

Đề bài: Viết biểu thức biểu thị tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của một hình chữ nhật có chiều rộng là $x$ (cm) và chiều dài là $y$ (cm).

Lời giải:

Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài là:

$$\dfrac{x}{y}.$$

Luyện tập 1 (trang 5)

Đề bài: Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có cùng mẫu thức?

a) $\dfrac{-20x}{3y^2}$ và $\dfrac{4x^3}{5y^2}$;

b) $\dfrac{5x-10}{x^2+1}$ và $\dfrac{5x-10}{x^2-1}$;

c) $\dfrac{5x+10}{4x-8}$ và $\dfrac{4-2x}{4(x-2)}$.

Lời giải:

Để biết hai phân thức có cùng mẫu thức hay không, ta so sánh trực tiếp mẫu thức của chúng.

a) Mẫu thức lần lượt là $3y^2$ và $5y^2$ → khác nhau.

b) Mẫu thức lần lượt là $x^2 + 1$ và $x^2 – 1$ → khác nhau.

c) Mẫu thức thứ nhất là $4x – 8 = 4(x – 2)$, mẫu thức thứ hai là $4(x – 2)$ → giống nhau.

Kết luận: Chỉ có cặp c) là hai phân thức có cùng mẫu thức.

Tranh luận (trang 6)

Đề bài: Bạn áo vàng nói rằng $\dfrac{3 – 2x}{3 + \dfrac{1}{x}}$ không phải phân thức, còn bạn áo xanh nói rằng đó là phân thức. Theo em, bạn nào đúng?

Lời giải:

Theo định nghĩa: một phân thức đại số có dạng $\dfrac{A}{B}$, trong đó $A$ và $B$ là hai đa thức và $B$ khác đa thức $0$.

Xét biểu thức $\dfrac{3 – 2x}{3 + \dfrac{1}{x}}$:

• Tử là $3 – 2x$ — đây là một đa thức.
• Mẫu là $3 + \dfrac{1}{x}$ — biểu thức này có chứa $\dfrac{1}{x}$ nên không phải là một đa thức.

Vì mẫu không phải đa thức nên biểu thức đã cho không phải là phân thức đại số.

Kết luận: Bạn áo vàng đúng.

2. Hai phân thức bằng nhau

Luyện tập 2 (trang 6)

Đề bài: Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

$$\dfrac{1}{x^2 + x + 1} = \dfrac{1 – x}{1 – x^3}.$$

Lời giải:

Áp dụng định nghĩa: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $AD = BC$.

Ở đây: $A = 1$; $B = x^2 + x + 1$; $C = 1 – x$; $D = 1 – x^3$.

Tính $AD$:

$$AD = 1 \cdot (1 – x^3) = 1 – x^3.$$

Tính $BC$: Nhân hai đa thức $(x^2 + x + 1)$ và $(1 – x)$, ta nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai:

$$BC = (x^2 + x + 1)(1 – x) = x^2 \cdot 1 + x \cdot 1 + 1 \cdot 1 – x^2 \cdot x – x \cdot x – 1 \cdot x.$$

$$BC = x^2 + x + 1 – x^3 – x^2 – x.$$

Thu gọn (các hạng tử $x^2$ và $-x^2$ triệt tiêu; $x$ và $-x$ triệt tiêu):

$$BC = 1 – x^3.$$

So sánh: $AD = BC = 1 – x^3$. Do đó khẳng định đúng.

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

Luyện tập 3 (trang 7)

Đề bài: Viết điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x + 1}{x – 1}$ và tính giá trị của phân thức tại $x = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ). Điều kiện xác định của phân thức là điều kiện để mẫu thức khác $0$:

$$x – 1 \neq 0 ;;\Leftrightarrow;; x \neq 1.$$

Vậy ĐKXĐ của phân thức là $x \neq 1$.

Bước 2: Tính giá trị tại $x = 2$. Vì $x = 2$ thỏa mãn ĐKXĐ ($2 \neq 1$), ta thay $x = 2$ vào phân thức:

$$\dfrac{x + 1}{x – 1} = \dfrac{2 + 1}{2 – 1} = \dfrac{3}{1} = 3.$$

Vậy tại $x = 2$, giá trị của phân thức là $3$.

Vận dụng (trang 7)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Nếu biết vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng là $30$ km/h, hãy tính thời gian vận động viên đó hoàn thành mỗi chặng đua và tính tổng thời gian để hoàn thành cuộc đua.

Lời giải:

Từ HĐ1, ta đã có ba biểu thức thời gian theo $x$ (vận tốc bằng phẳng). Thay $x = 30$ vào từng biểu thức:

Thời gian chặng bằng phẳng $= \dfrac{36}{x} = \dfrac{36}{30} = \dfrac{6}{5}$ (giờ).

Thời gian chặng leo dốc $= \dfrac{9}{x – 5} = \dfrac{9}{30 – 5} = \dfrac{9}{25}$ (giờ).

Thời gian chặng xuống dốc $= \dfrac{5}{x + 10} = \dfrac{5}{30 + 10} = \dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}$ (giờ).

Tổng thời gian hoàn thành cuộc đua:

$$T = \dfrac{6}{5} + \dfrac{9}{25} + \dfrac{1}{8}.$$

Quy đồng ba phân số với mẫu số chung là $200$ (vì $200$ chia hết cho $5$, $25$ và $8$):

$$\dfrac{6}{5} = \dfrac{240}{200}; \quad \dfrac{9}{25} = \dfrac{72}{200}; \quad \dfrac{1}{8} = \dfrac{25}{200}.$$

Cộng lại:

$$T = \dfrac{240 + 72 + 25}{200} = \dfrac{337}{200} \text{ (giờ)} = 1{,}685 \text{ (giờ)}.$$

Kết luận: Tổng thời gian vận động viên hoàn thành cuộc đua là $\dfrac{337}{200}$ giờ (hay $1{,}685$ giờ).

Bài tập (trang 7)

Bài 6.1 (trang 7)

Đề bài: Viết tử thức và mẫu thức của phân thức $\dfrac{5x – 2}{3}$.

Lời giải:

Theo định nghĩa, phân thức $\dfrac{A}{B}$ có $A$ là tử thức, $B$ là mẫu thức. Đối chiếu với phân thức đã cho:

• Tử thức: $5x – 2$.
• Mẫu thức: $3$.

Bài 6.2 (trang 7)

Đề bài: Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau?

a) $\dfrac{-20x}{3y^2}$ và $\dfrac{4x}{5y^2}$;

b) $\dfrac{3x – 1}{x^2 + 1}$ và $\dfrac{3x – 1}{x + 1}$;

c) $\dfrac{x – 1}{3x + 6}$ và $\dfrac{x + 1}{3(x + 2)}$.

Lời giải:

So sánh trực tiếp mẫu thức của từng cặp:

a) Mẫu là $3y^2$ và $5y^2$ → khác nhau.

b) Mẫu là $x^2 + 1$ và $x + 1$ → khác nhau.

c) Mẫu thứ nhất là $3x + 6 = 3(x + 2)$, mẫu thứ hai là $3(x + 2)$ → giống nhau.

Kết luận: Chỉ có cặp c) có mẫu giống nhau.

Bài 6.3 (trang 7)

Đề bài: Các kết luận sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) $\dfrac{-6}{-4y} = \dfrac{3y}{2y^2}$;

b) $\dfrac{x + 3}{5} = \dfrac{x^2 + 3x}{5x}$;

c) $\dfrac{3x(4x + 1)}{16x^2 – 1} = \dfrac{-3x}{1 – 4x}$.

Lời giải:

Sử dụng quy tắc: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ khi và chỉ khi $AD = BC$.

a) Xét $A = -6$; $B = -4y$; $C = 3y$; $D = 2y^2$.

• $AD = (-6) \cdot 2y^2 = -12y^2$.
• $BC = (-4y) \cdot 3y = -12y^2$.

Vì $AD = BC$ nên đẳng thức đúng.

b) Xét $A = x + 3$; $B = 5$; $C = x^2 + 3x$; $D = 5x$.

• $AD = (x + 3) \cdot 5x = 5x \cdot x + 5x \cdot 3 = 5x^2 + 15x$.
• $BC = 5 \cdot (x^2 + 3x) = 5x^2 + 15x$.

Vì $AD = BC$ nên đẳng thức đúng.

c) Xét $A = 3x(4x + 1)$; $B = 16x^2 – 1$; $C = -3x$; $D = 1 – 4x$.

• Tính $AD = 3x(4x + 1)(1 – 4x)$. Trước hết nhân $(4x + 1)(1 – 4x)$:

$$(4x + 1)(1 – 4x) = 4x \cdot 1 – 4x \cdot 4x + 1 \cdot 1 – 1 \cdot 4x = 4x – 16x^2 + 1 – 4x = 1 – 16x^2.$$

Do đó $AD = 3x(1 – 16x^2) = 3x – 48x^3$.

• Tính $BC = (16x^2 – 1)(-3x) = -48x^3 + 3x = 3x – 48x^3$.

Vì $AD = BC$ nên đẳng thức đúng.

Kết luận: Cả ba kết luận a), b), c) đều đúng.

Bài 6.4 (trang 7)

Đề bài: Viết điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x^2 + x – 2}{x + 2}$. Tính giá trị của phân thức đó lần lượt tại $x = 0$; $x = 1$; $x = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ. Mẫu thức phải khác $0$:

$$x + 2 \neq 0 ;;\Leftrightarrow;; x \neq -2.$$

Vậy ĐKXĐ là $x \neq -2$.

Bước 2: Tính giá trị. Cả ba giá trị $x = 0$; $x = 1$; $x = 2$ đều khác $-2$, tức đều thỏa mãn ĐKXĐ. Lần lượt thay vào phân thức:

Tại $x = 0$:

$$\dfrac{0^2 + 0 – 2}{0 + 2} = \dfrac{-2}{2} = -1.$$

Tại $x = 1$:

$$\dfrac{1^2 + 1 – 2}{1 + 2} = \dfrac{0}{3} = 0.$$

Tại $x = 2$:

$$\dfrac{2^2 + 2 – 2}{2 + 2} = \dfrac{4}{4} = 1.$$

Kết luận: Giá trị của phân thức lần lượt là $-1$; $0$; $1$ tại $x = 0$; $x = 1$; $x = 2$.

Bài 6.5 (trang 7)

Đề bài: Cho $A$ là một đa thức khác $0$ tùy ý. Hãy giải thích vì sao $\dfrac{0}{A} = 0$ và $\dfrac{A}{A} = 1$.

Lời giải:

Nhắc lại nhận xét trong SGK: số $0$ và số $1$ cũng là những phân thức đại số, có thể viết $0 = \dfrac{0}{1}$ và $1 = \dfrac{1}{1}$. Ta dùng quy tắc $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $AD = BC$ để chứng minh từng đẳng thức.

Chứng minh $\dfrac{0}{A} = 0$: Viết $0 = \dfrac{0}{1}$, ta cần kiểm tra $\dfrac{0}{A} = \dfrac{0}{1}$. Tính tích chéo:

• $0 \cdot 1 = 0$;
• $A \cdot 0 = 0$.

Hai tích chéo bằng nhau nên $\dfrac{0}{A} = \dfrac{0}{1} = 0$.

Chứng minh $\dfrac{A}{A} = 1$: Viết $1 = \dfrac{1}{1}$, ta cần kiểm tra $\dfrac{A}{A} = \dfrac{1}{1}$. Tính tích chéo:

• $A \cdot 1 = A$;
• $A \cdot 1 = A$.

Hai tích chéo bằng nhau nên $\dfrac{A}{A} = \dfrac{1}{1} = 1$.

(Lưu ý: ở cả hai phân thức trên, $A$ là đa thức khác $0$ nên mẫu thức luôn là đa thức khác đa thức $0$, các phân thức đều có nghĩa.)

Bài 6.6 (trang 7)

Đề bài: Một ô tô chạy với vận tốc là $x$ (km/h).

a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô (tính bằng giờ) chạy hết quãng đường $120$ km.

b) Tính thời gian ô tô đi được $120$ km trong trường hợp vận tốc của ô tô là $60$ km/h.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức thời gian $=$ quãng đường $\div$ vận tốc, thời gian ô tô chạy hết $120$ km là:

$$t = \dfrac{120}{x} \text{ (giờ)}.$$

b) ĐKXĐ của phân thức $\dfrac{120}{x}$ là $x \neq 0$. Giá trị $x = 60$ thỏa mãn ĐKXĐ. Thay vào:

$$t = \dfrac{120}{60} = 2 \text{ (giờ)}.$$

Kết luận: Khi vận tốc là $60$ km/h, ô tô đi hết $120$ km trong $2$ giờ.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du