Cách trình bày bám sát hai công thức đã học: $P(E) = \dfrac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả có thể}}$ khi các kết quả đồng khả năng; và $P(E) \approx \dfrac{k}{n}$ (xác suất thực nghiệm) khi dùng dữ liệu thống kê để ước lượng/dự đoán.

A. Trắc nghiệm

Bài 8.18 (trang 76)

Đề bài (dữ liệu chung cho Bài 8.18; 8.19): Lớp 8A gồm $38$ học sinh, trong đó có $18$ bạn nữ. Có $6$ bạn nữ tham gia câu lạc bộ (CLB) thể thao và $8$ bạn nam không tham gia CLB thể thao. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp.

Xác suất để học sinh đó là một bạn nam có tham gia CLB thể thao là:

A. $\dfrac{7}{20}$; B. $\dfrac{6}{19}$; C. $\dfrac{8}{21}$; D. $\dfrac{9}{23}$.

Lời giải:

Bước 1: Tính số học sinh nam và số nam tham gia CLB.

• Số nữ: $18$, nên số nam $= 38 – 18 = 20$ bạn.
• Số nam không tham gia CLB: $8$, nên số nam có tham gia CLB $= 20 – 8 = 12$ bạn.

Bước 2: Tính xác suất. Vì chọn ngẫu nhiên $1$ trong $38$ học sinh nên $38$ kết quả có thể là đồng khả năng. Số kết quả thuận lợi là $12$. Vậy:

$$P = \dfrac{12}{38} = \dfrac{6}{19}.$$

Chọn đáp án B.

Bài 8.19 (trang 76)

Đề bài: (cùng dữ liệu Bài 8.18). Xác suất để học sinh đó là một bạn không tham gia CLB thể thao là:

A. $\dfrac{11}{20}$; B. $\dfrac{12}{19}$; C. $\dfrac{13}{21}$; D. $\dfrac{10}{19}$.

Lời giải:

Bước 1: Đếm số học sinh không tham gia CLB.

• Nữ không tham gia CLB: $18 – 6 = 12$ bạn.
• Nam không tham gia CLB: $8$ bạn (theo đề).
• Tổng số học sinh không tham gia CLB: $12 + 8 = 20$ bạn.

Bước 2: Tính xác suất.

$$P = \dfrac{20}{38} = \dfrac{10}{19}.$$

Chọn đáp án D.

Bài 8.20 (trang 76)

Đề bài (dữ liệu chung cho Bài 8.20; 8.21): Một túi đựng các quả cầu giống hệt nhau, chỉ khác màu, trong đó có $26$ quả đỏ, $62$ quả tím, $8$ quả vàng, $9$ quả trắng và $12$ quả đen. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi.

Xác suất để lấy được quả cầu màu tím là:

A. $\dfrac{62}{117}$; B. $\dfrac{60}{117}$; C. $\dfrac{63}{118}$; D. $\dfrac{65}{118}$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tổng số quả cầu.

$$n = 26 + 62 + 8 + 9 + 12 = 117 \text{ (quả)}.$$

Bước 2: Tính xác suất. Số quả màu tím là $62$. Vậy:

$$P = \dfrac{62}{117}.$$

Chọn đáp án A.

Bài 8.21 (trang 76)

Đề bài: (cùng dữ liệu Bài 8.20). Xác suất để lấy được quả cầu màu trắng là:

A. $\dfrac{11}{117}$; B. $\dfrac{9}{117}$; C. $\dfrac{13}{118}$; D. $\dfrac{15}{118}$.

Lời giải:

Số quả trắng là $9$, tổng số quả là $117$. Vậy:

$$P = \dfrac{9}{117}.$$

Chọn đáp án B.

B. Tự luận

Bài 8.22 (trang 76)

Đề bài: Trong một hộp có $10$ tấm thẻ giống nhau được đánh số $11; 12; \ldots; 20$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp.

a) Liệt kê các kết quả có thể của hành động trên.

b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố:

• $E$: “Rút được tấm thẻ ghi số là bội của $3$”;
• $F$: “Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố”.

Lời giải:

a) Các kết quả có thể là rút được tấm thẻ ghi số $11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20$. Tổng cộng có $10$ kết quả có thể.

b) Xét trên tập số ${11; 12; \ldots; 20}$:

Biến cố $E$ — bội của $3$. Các số chia hết cho $3$: $12 = 3 \cdot 4$, $15 = 3 \cdot 5$, $18 = 3 \cdot 6$.

→ Kết quả thuận lợi cho $E$: $12; 15; 18$.

Biến cố $F$ — số nguyên tố. Kiểm tra từng số:

• $11, 13, 17, 19$: là số nguyên tố;
• Các số còn lại đều có ước khác $1$ và chính nó (ví dụ $12 = 2 \cdot 6$, $14 = 2 \cdot 7$, $15 = 3 \cdot 5$, …), nên không phải nguyên tố.

→ Kết quả thuận lợi cho $F$: $11; 13; 17; 19$.

Bài 8.23 (trang 77)

Đề bài: Một túi đựng các viên bi giống hệt nhau, chỉ khác màu, trong đó có $5$ viên bi xanh, $3$ viên bi đỏ và $7$ viên bi trắng. Bạn Việt lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất của các biến cố:

a) $E$: “Việt lấy được viên bi màu xanh”;

b) $F$: “Việt lấy được viên bi màu đỏ”;

c) $G$: “Việt lấy được viên bi màu trắng”;

d) $H$: “Việt lấy được viên bi màu xanh hoặc màu đỏ”;

e) $K$: “Việt không lấy được viên bi màu đỏ”.

Lời giải:

Tổng số viên bi: $n = 5 + 3 + 7 = 15$. Vì các viên bi giống hệt nhau (chỉ khác màu) nên $15$ kết quả có thể là đồng khả năng.

a) Có $5$ viên xanh:

$$P(E) = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}.$$

b) Có $3$ viên đỏ:

$$P(F) = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}.$$

c) Có $7$ viên trắng:

$$P(G) = \dfrac{7}{15}.$$

d) “Xanh hoặc đỏ” có $5 + 3 = 8$ viên:

$$P(H) = \dfrac{8}{15}.$$

e) “Không lấy được bi đỏ” tức là lấy được bi xanh hoặc trắng, có $5 + 7 = 12$ viên:

$$P(K) = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}.$$

Bài 8.24 (trang 77)

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một số có hai chữ số. Tính xác suất của các biến cố:

a) $A$: “Số được chọn nhỏ hơn $20$”;

b) $B$: “Số được chọn là số chính phương”.

Lời giải:

Bước 1: Đếm tổng số kết quả có thể. Các số có hai chữ số là $10, 11, 12, \ldots, 99$, tổng cộng:

$$99 – 10 + 1 = 90 \text{ (số)}.$$

Vì chọn ngẫu nhiên, $90$ kết quả này là đồng khả năng.

Bước 2: Tính xác suất từng biến cố.

a) Số có hai chữ số nhỏ hơn $20$ là: $10, 11, 12, \ldots, 19$, có $10$ số.

$$P(A) = \dfrac{10}{90} = \dfrac{1}{9}.$$

b) Số chính phương có hai chữ số: liệt kê bình phương của các số tự nhiên rồi giữ những bình phương có $2$ chữ số:

$$4^2 = 16; ;; 5^2 = 25; ;; 6^2 = 36; ;; 7^2 = 49; ;; 8^2 = 64; ;; 9^2 = 81.$$

($3^2 = 9$ chỉ có $1$ chữ số, $10^2 = 100$ đã sang $3$ chữ số). Có $6$ số chính phương.

$$P(B) = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}.$$

Bài 8.25 (trang 77)

Đề bài: Trong một phòng có $15$ học sinh lớp 8A gồm $9$ bạn nam, $6$ bạn nữ và $15$ học sinh lớp 8B gồm $12$ bạn nam, $3$ bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong phòng. Tính xác suất của các biến cố:

a) $E$: “Chọn được một học sinh nam”;

b) $F$: “Chọn được một học sinh nam lớp 8B”;

c) $G$: “Chọn được một học sinh nữ lớp 8A”.

Lời giải:

Bước 1: Tính tổng số học sinh.

$$n = 15 + 15 = 30 \text{ (học sinh)}.$$

Vì chọn ngẫu nhiên nên $30$ kết quả có thể là đồng khả năng.

Bước 2: Đếm và tính xác suất từng biến cố.

a) Tổng số nam $= 9$ (lớp 8A) $+ 12$ (lớp 8B) $= 21$ bạn:

$$P(E) = \dfrac{21}{30} = \dfrac{7}{10}.$$

b) Số học sinh nam lớp 8B là $12$:

$$P(F) = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}.$$

c) Số học sinh nữ lớp 8A là $6$:

$$P(G) = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}.$$

Bài 8.26 (trang 77)

Đề bài: Bảng sau đây thống kê kết quả khảo sát số người thích một bộ phim mới tại $5$ phường A, B, C, D, E của thành phố X:

a) Chọn ngẫu nhiên một người ở phường C. Ước lượng xác suất của biến cố $A$: “Người được chọn thích bộ phim đó”.

b) Chọn ngẫu nhiên một người ở phường E. Ước lượng xác suất của biến cố $B$: “Người được chọn không thích bộ phim đó”.

c) Chọn ngẫu nhiên $600$ người ở thành phố X. Ước lượng trong đó có bao nhiêu người thích bộ phim đó.

d) Chọn ngẫu nhiên $500$ người nữ ở thành phố X. Ước lượng trong đó có bao nhiêu người thích bộ phim đó.

Lời giải:

a) Phường C.

Tổng số người khảo sát ở phường C: $52 + 49 = 101$.

Số người thích phim ở phường C: $13 + 13 = 26$.

$$P(A) \approx \dfrac{26}{101} \approx 0{,}257.$$

Vậy ước lượng xác suất biến cố $A$ là khoảng $0{,}257$ (hay $25{,}7\%$).

b) Phường E.

Tổng số người khảo sát ở phường E: $40 + 39 = 79$.

Số người thích phim ở phường E: $7 + 4 = 11$. Số người không thích phim: $79 – 11 = 68$.

$$P(B) \approx \dfrac{68}{79} \approx 0{,}861.$$

Vậy ước lượng xác suất biến cố $B$ là khoảng $0{,}861$ (hay $86{,}1\%$).

c) Ước lượng trong $600$ người ở thành phố X.

Tổng số người được khảo sát ở $5$ phường: $201 + 214 = 415$ người.

Tổng số người thích phim ở $5$ phường: $48 + 44 = 92$ người.

Xác suất một người ở thành phố X thích phim:

$$P(\text{thích phim}) \approx \dfrac{92}{415}.$$

Gọi $k$ là số người thích phim trong $600$ người. Ta có $\dfrac{k}{600} \approx \dfrac{92}{415}$, suy ra:

$$k \approx 600 \cdot \dfrac{92}{415} \approx 133.$$

Vậy dự đoán có khoảng $133$ người thích bộ phim đó.

d) Ước lượng trong $500$ người nữ ở thành phố X.

Vì đề bài giới hạn ở nữ, ta chỉ dùng dữ liệu của nữ:

• Tổng số nữ được khảo sát: $214$;
• Số nữ thích phim: $44$.

Xác suất một người nữ ở thành phố X thích phim:

$$P(\text{nữ thích phim}) \approx \dfrac{44}{214}.$$

Gọi $h$ là số nữ thích phim trong $500$ người nữ. Ta có $\dfrac{h}{500} \approx \dfrac{44}{214}$, suy ra:

$$h \approx 500 \cdot \dfrac{44}{214} \approx 103.$$

Vậy dự đoán có khoảng $103$ người nữ thích bộ phim đó.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du