Bài tập (trang 91–92)

Bài 9.11 (trang 92)

Đề bài: Cho $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$. Biết $\widehat{A} = 60^\circ$, $\widehat{E} = 80^\circ$, hãy tính số đo các góc $\widehat{B}$, $\widehat{C}$, $\widehat{D}$, $\widehat{F}$.

Lời giải:

Vì $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ nên các cặp góc tương ứng bằng nhau (theo thứ tự đỉnh):

$$\widehat{A} = \widehat{D}; \quad \widehat{B} = \widehat{E}; \quad \widehat{C} = \widehat{F}.$$

Từ đó:

• $\widehat{D} = \widehat{A} = 60^\circ$.
• $\widehat{B} = \widehat{E} = 80^\circ$.
• $\widehat{C} = 180^\circ – \widehat{A} – \widehat{B} = 180^\circ – 60^\circ – 80^\circ = 40^\circ$ (tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$).
• $\widehat{F} = \widehat{C} = 40^\circ$.

Kết luận: $\widehat{B} = 80^\circ$; $\widehat{C} = 40^\circ$; $\widehat{D} = 60^\circ$; $\widehat{F} = 40^\circ$.

Bài 9.12 (trang 92)

Đề bài: Cho $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$. Biết $AB = 3$ cm, $A’B’ = 6$ cm và tam giác $ABC$ có chu vi bằng $10$ cm. Hãy tính chu vi tam giác $A’B’C’$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm tỉ số đồng dạng. Vì $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$ nên các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với cùng tỉ số:

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC} = \dfrac{C’A’}{CA} = k.$$

Thay số: $k = \dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{6}{3} = 2$.

Bước 2: Liên hệ chu vi với tỉ số đồng dạng. Từ tỉ lệ trên: $A’B’ = 2 \cdot AB$, $B’C’ = 2 \cdot BC$, $C’A’ = 2 \cdot CA$. Cộng vế theo vế:

$$A’B’ + B’C’ + C’A’ = 2 \cdot (AB + BC + CA),$$

tức là chu vi $\triangle A’B’C’ = 2 \cdot$ chu vi $\triangle ABC$.

Bước 3: Chu vi $\triangle A’B’C’ = 2 \cdot 10 = 20$ (cm).

Kết luận: Chu vi tam giác $A’B’C’$ là $20$ cm.

Bài 9.13 (trang 92)

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $\widehat{DAB} = \widehat{DBC}$ (Hình 9.28).

a) Chứng minh rằng $\triangle ABD \backsim \triangle BDC$.

b) Giả sử $AB = 2$ cm, $AD = 3$ cm, $BD = 4$ cm. Tính độ dài các cạnh $BC$ và $DC$.

Lời giải:

a) Chứng minh $\triangle ABD \backsim \triangle BDC$.

Xét hai tam giác $\triangle ABD$ và $\triangle BDC$:

• $\widehat{DAB} = \widehat{DBC}$ — theo giả thiết.
• $\widehat{ABD} = \widehat{BDC}$ — hai góc so le trong (vì $AB \parallel CD$, $BD$ là cát tuyến).

Theo trường hợp g.g: $\triangle ABD \backsim \triangle BDC$ (với tương ứng $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow C$).

b) Tính $BC$ và $DC$.

Từ $\triangle ABD \backsim \triangle BDC$, các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ (theo đúng thứ tự đỉnh $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow C$):

$$\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AD}{BC}.$$

Thay số $AB = 2$, $BD = 4$, $AD = 3$:

$$\dfrac{2}{4} = \dfrac{4}{DC} = \dfrac{3}{BC}.$$

• $\dfrac{2}{4} = \dfrac{4}{DC} ;\Rightarrow; DC = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8$ (cm).
• $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{BC} ;\Rightarrow; BC = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$ (cm).

Kết luận: $BC = 6$ cm; $DC = 8$ cm.

Bài 9.14 (trang 92)

Đề bài: Cho các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ như Hình 9.29. Biết rằng $DE \parallel AB$, $EF \parallel BC$, $DE = 4$ cm, $AB = 6$ cm. Chứng minh rằng $\triangle AEF \backsim \triangle ECD$ và tính tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $\triangle AEF \backsim \triangle ECD$.

Xét hai tam giác $\triangle AEF$ và $\triangle ECD$:

Cặp góc thứ nhất: Vì $DE \parallel AB$ và đường thẳng $AC$ là cát tuyến (cắt $AB$ tại $A$ và cắt $DE$ tại $E$):

$$\widehat{FAE} = \widehat{DEC} \quad (\text{hai góc đồng vị}).$$

Cặp góc thứ hai: Vì $EF \parallel BC$ và đường thẳng $AC$ là cát tuyến (cắt $EF$ tại $E$ và cắt $BC$ tại $C$):

$$\widehat{AEF} = \widehat{ECD} \quad (\text{hai góc đồng vị, vì $D$ thuộc $BC$ nên góc $ECD$ chính là góc tại $C$ giữa $CA$ và $CB$}).$$

Theo trường hợp g.g: $\triangle AEF \backsim \triangle ECD$.

Bước 2: Tính tỉ số đồng dạng.

Trong $\triangle ABC$, vì $DE \parallel AB$ với $D \in BC$, $E \in AC$, theo định lí Thalès:

$$\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$$

Suy ra $\dfrac{AE}{CA} = 1 – \dfrac{CE}{CA} = 1 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$, hay $AE = \dfrac{CA}{3}$ và $CE = \dfrac{2 \cdot CA}{3}$. Do đó:

$$\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{CA/3}{2CA/3} = \dfrac{1}{2}.$$

Vì $AE$ và $EC$ là cặp cạnh tương ứng của $\triangle AEF$ và $\triangle ECD$ (theo thứ tự đỉnh $A \leftrightarrow E$, $E \leftrightarrow C$, $F \leftrightarrow D$), nên tỉ số đồng dạng là:

$$k = \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{1}{2}.$$

Kết luận: $\triangle AEF \backsim \triangle ECD$ với tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{1}{2}$.

Bài 9.15 (trang 92)

Đề bài: Cho các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ như Hình 9.30. Biết rằng $\widehat{BAC} = \widehat{CDB}$, hãy chứng minh rằng $\triangle AED \backsim \triangle BEC$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $\triangle ABE \backsim \triangle DCE$.

Xét hai tam giác $\triangle ABE$ và $\triangle DCE$:

• $\widehat{AEB} = \widehat{DEC}$ — hai góc đối đỉnh.
• $\widehat{BAE} = \widehat{BAC}$ (vì $E$ thuộc $AC$) và $\widehat{CDE} = \widehat{CDB}$ (vì $E$ thuộc $BD$). Theo giả thiết $\widehat{BAC} = \widehat{CDB}$, suy ra $\widehat{BAE} = \widehat{CDE}$.

Theo g.g: $\triangle ABE \backsim \triangle DCE$. Từ đó:

$$\dfrac{AE}{DE} = \dfrac{BE}{CE} ;\Rightarrow; \dfrac{AE}{BE} = \dfrac{DE}{CE}. \quad (\star)$$

Bước 2: Chứng minh $\triangle AED \backsim \triangle BEC$.

Xét hai tam giác $\triangle AED$ và $\triangle BEC$:

• $\widehat{AED} = \widehat{BEC}$ — hai góc đối đỉnh.
• $\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{ED}{EC}$ — theo $(\star)$ (đây là hai cặp cạnh xen quanh góc $\widehat{AED}$ và $\widehat{BEC}$).

Theo c.g.c: $\triangle AED \backsim \triangle BEC$.

Bài 9.16 (trang 92)

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$) và các điểm $M$, $N$ lần lượt trên cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $2AM = MD$, $2BN = NC$. Biết rằng $AB = 5$ cm, $CD = 6$ cm, hãy tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm tỉ số chia của $M$ và $N$.

Từ $2AM = MD$: $MD = 2AM$, do đó $AD = AM + MD = 3AM$, suy ra $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{1}{3}$.

Tương tự $2BN = NC$: $\dfrac{BN}{BC} = \dfrac{1}{3}$.

Bước 2: Kẻ thêm đường phụ.

Vẽ đường chéo $AC$. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ với $AC$. Ta sẽ chứng minh $MP \parallel CD$ và $PN \parallel AB$.

Xét trong $\triangle ACD$: Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $CD$, cắt $AC$ tại $P’$. Theo định lí Thalès:

$$\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AP’}{AC} = \dfrac{MP’}{CD}.$$

Thay $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{1}{3}$:

$$\dfrac{AP’}{AC} = \dfrac{1}{3} ;\text{và}; MP’ = \dfrac{CD}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 \text{ (cm)}.$$

Xét trong $\triangle ABC$: Qua $P’$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $BC$ tại $N’$. Theo định lí Thalès (với $CP’/CA = 1 – AP’/AC = 2/3$):

$$\dfrac{CN’}{CB} = \dfrac{CP’}{CA} = \dfrac{2}{3} ;\Rightarrow; \dfrac{BN’}{BC} = 1 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.$$

Mà ở Bước 1 ta có $\dfrac{BN}{BC} = \dfrac{1}{3}$, nên $N’ \equiv N$, suy ra $P’ \equiv P$ (vì $P’$ và $P$ đều là giao của $MN$ với $AC$).

Từ đó $MP \parallel CD$ với $MP = 2$ cm, và $PN \parallel AB$ với:

$$\dfrac{PN}{AB} = \dfrac{CP}{CA} = \dfrac{2}{3} ;\Rightarrow; PN = \dfrac{2}{3} \cdot 5 = \dfrac{10}{3} \text{ (cm)}.$$

Bước 3: $M$, $P$, $N$ thẳng hàng.

Qua $P$, vì $CD \parallel AB$ nên đường $MP$ (song song với $CD$) và đường $PN$ (song song với $AB$) là cùng một đường. Vậy $M$, $P$, $N$ thẳng hàng và $P$ nằm giữa $M$ và $N$.

Bước 4: Tính $MN$.

$$MN = MP + PN = 2 + \dfrac{10}{3} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{16}{3} \text{ (cm)}.$$

Kết luận: $MN = \dfrac{16}{3}$ cm (xấp xỉ $5{,}33$ cm).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du