Nhân hai phân thức

Hoạt động 1 (trang 20)

Đề bài: Làm theo hướng dẫn của anh Pi trong tình huống mở đầu (nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau) để nhân hai phân thức $\dfrac{2x}{x + 1}$ và $\dfrac{x – 1}{x}$.

Lời giải:

$$\dfrac{2x}{x + 1} \cdot \dfrac{x – 1}{x} = \dfrac{2x \cdot (x – 1)}{(x + 1) \cdot x} = \dfrac{2x(x – 1)}{x(x + 1)} = \dfrac{2(x – 1)}{x + 1}.$$

(Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $x$ ở bước cuối.)

Luyện tập 1 (trang 20)

Đề bài: Làm tính nhân:

a) $\dfrac{x}{x + y} \cdot \dfrac{2x + 2y}{3xy}$;

b) $\dfrac{3x}{4x^2 – 1} \cdot \dfrac{-2x + 1}{2x^2}$.

Lời giải:

a) Phân tích $2x + 2y = 2(x + y)$:

$$\dfrac{x}{x + y} \cdot \dfrac{2x + 2y}{3xy} = \dfrac{x \cdot 2(x + y)}{(x + y) \cdot 3xy} = \dfrac{2x(x + y)}{3xy(x + y)} = \dfrac{2}{3y}.$$

(Chia cả tử và mẫu cho $x(x + y)$.)

b) Phân tích: $4x^2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)$ và $-2x + 1 = -(2x – 1)$:

$$\dfrac{3x}{4x^2 – 1} \cdot \dfrac{-2x + 1}{2x^2} = \dfrac{3x \cdot [-(2x – 1)]}{(2x – 1)(2x + 1) \cdot 2x^2} = \dfrac{-3x(2x – 1)}{2x^2(2x – 1)(2x + 1)} = \dfrac{-3}{2x(2x + 1)}.$$

Chia hai phân thức

Luyện tập 2 (trang 21)

Đề bài: Làm tính chia $\dfrac{3x}{2y^2} : \left(\dfrac{-5x^2}{12y^3}\right)$.

Lời giải:

Nhân với phân thức nghịch đảo:

$$\dfrac{3x}{2y^2} : \dfrac{-5x^2}{12y^3} = \dfrac{3x}{2y^2} \cdot \dfrac{12y^3}{-5x^2} = \dfrac{3x \cdot 12y^3}{2y^2 \cdot (-5x^2)} = \dfrac{36xy^3}{-10x^2y^2} = -\dfrac{18y}{5x}.$$

(Chia cả tử và mẫu cho $2xy^2$.)

Thử thách nhỏ (trang 21)

Đề bài: Kết luận sau đúng hay sai?

$$\left(\dfrac{1}{x} : \dfrac{1}{x}\right) : \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} : \left(\dfrac{1}{x} : \dfrac{1}{x}\right).$$

Lời giải:

Tính giá trị từng vế (với $x \neq 0$).

Vế trái: Tính trong ngoặc trước: $\dfrac{1}{x} : \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \cdot x = 1$. Sau đó:

$$\text{VT} = 1 : \dfrac{1}{x} = 1 \cdot x = x.$$

Vế phải: Tính trong ngoặc trước: $\dfrac{1}{x} : \dfrac{1}{x} = 1$. Sau đó:

$$\text{VP} = \dfrac{1}{x} : 1 = \dfrac{1}{x}.$$

So sánh: $\text{VT} = x$ và $\text{VP} = \dfrac{1}{x}$, hai vế không bằng nhau với mọi $x$ (chẳng hạn với $x = 2$ thì $\text{VT} = 2$ còn $\text{VP} = \dfrac{1}{2}$).

Kết luận: Khẳng định sai. Phép chia không có tính chất kết hợp như phép nhân.

Vận dụng (trang 22)

Vận dụng

Đề bài: Bác Châu vay ngân hàng $1{,}2$ tỉ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp. Số tiền bác Châu phải trả mỗi tháng bao gồm số tiền gốc phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc chia đều cho số tháng vay) và số tiền lãi phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc nhân với lãi suất tháng).

a) Gọi $r$ là lãi suất năm ($r$ viết dưới dạng số thập phân) của khoản vay trả góp này. Tính số tiền $x$ (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi tháng theo số tháng vay $y$ (tháng) và lãi suất năm $r$. Từ đó suy ra công thức tính lãi suất năm $r$ theo $x$ và $y$;

b) Tính giá trị của $r$ tại $x = 30$, $y = 48$ rồi cho biết, nếu trả góp mỗi tháng $30$ triệu đồng trong vòng $4$ năm thì lãi suất năm (tính theo $\%$) của khoản vay này là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Lập công thức. Đổi số tiền vay: $1{,}2$ tỉ đồng $= 1200$ triệu đồng. Lãi suất tháng $= \dfrac{r}{12}$.

• Số tiền gốc trả mỗi tháng $= \dfrac{1200}{y}$ (triệu đồng).
• Số tiền lãi trả mỗi tháng $= 1200 \cdot \dfrac{r}{12} = 100r$ (triệu đồng).

Số tiền phải trả mỗi tháng:

$$x = \dfrac{1200}{y} + 100r.$$

Từ đó suy ra:

$$100r = x – \dfrac{1200}{y} = \dfrac{xy – 1200}{y} ;;\Rightarrow;; r = \dfrac{xy – 1200}{100y}.$$

b) Tính tại $x = 30$, $y = 48$. Thay vào công thức:

$$r = \dfrac{30 \cdot 48 – 1200}{100 \cdot 48} = \dfrac{1440 – 1200}{4800} = \dfrac{240}{4800} = 0{,}05.$$

Vậy lãi suất năm là $r = 0{,}05 = 5\%$/năm.

Bài tập (trang 22)

Bài 6.26 (trang 22)

Đề bài: Làm tính nhân phân thức:

a) $\left(\dfrac{-3x}{5xy^2}\right) \cdot \left(\dfrac{-5y^2}{12xy}\right)$;

b) $\dfrac{x^2 – x}{2x + 1} \cdot \dfrac{4x^2 – 1}{x^3 – 1}$.

Lời giải:

a) Tích của hai số âm là số dương:

$$\left(\dfrac{-3x}{5xy^2}\right) \cdot \left(\dfrac{-5y^2}{12xy}\right) = \dfrac{(-3x) \cdot (-5y^2)}{5xy^2 \cdot 12xy} = \dfrac{15xy^2}{60x^2y^3} = \dfrac{1}{4xy}.$$

(Chia cả tử và mẫu cho $15xy^2$.)

b) Phân tích:

• $x^2 – x = x(x – 1)$;
• $4x^2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)$;
• $x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$.

$$\dfrac{x^2 – x}{2x + 1} \cdot \dfrac{4x^2 – 1}{x^3 – 1} = \dfrac{x(x – 1)(2x – 1)(2x + 1)}{(2x + 1)(x – 1)(x^2 + x + 1)} = \dfrac{x(2x – 1)}{x^2 + x + 1}.$$

Bài 6.27 (trang 22)

Đề bài: Làm tính chia phân thức:

a) $\left(\dfrac{-3x}{5xy^2}\right) : \left(\dfrac{-5y^2}{12xy}\right)$;

b) $\dfrac{4x^2 – 1}{8x^3 – 1} : \dfrac{4x^2 + 4x + 1}{4x^2 + 2x + 1}$.

Lời giải:

a) Nhân với phân thức nghịch đảo:

$$\left(\dfrac{-3x}{5xy^2}\right) : \left(\dfrac{-5y^2}{12xy}\right) = \dfrac{-3x}{5xy^2} \cdot \dfrac{12xy}{-5y^2} = \dfrac{(-3x) \cdot 12xy}{5xy^2 \cdot (-5y^2)} = \dfrac{-36x^2y}{-25xy^4} = \dfrac{36x}{25y^3}.$$

b) Phân tích:

• $4x^2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)$;
• $8x^3 – 1 = (2x)^3 – 1^3 = (2x – 1)(4x^2 + 2x + 1)$;
• $4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$.

Nhân với phân thức nghịch đảo:

$$\dfrac{4x^2 – 1}{8x^3 – 1} : \dfrac{4x^2 + 4x + 1}{4x^2 + 2x + 1} = \dfrac{(2x – 1)(2x + 1)}{(2x – 1)(4x^2 + 2x + 1)} \cdot \dfrac{4x^2 + 2x + 1}{(2x + 1)^2}.$$

Rút gọn các nhân tử chung $(2x – 1)$, $(4x^2 + 2x + 1)$ và $(2x + 1)$:

$$= \dfrac{1}{2x + 1}.$$

Bài 6.28 (trang 22)

Đề bài: Tìm hai phân thức $P$ và $Q$ thoả mãn:

a) $P \cdot \dfrac{x + 1}{2x + 1} = \dfrac{x^2 + x}{4x^2 – 1}$;

b) $Q : \dfrac{x^2}{x^2 + 4x + 4} = \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 – 2x}$.

Lời giải:

a) Từ $P \cdot \dfrac{x + 1}{2x + 1} = \dfrac{x^2 + x}{4x^2 – 1}$, suy ra $P = \dfrac{x^2 + x}{4x^2 – 1} : \dfrac{x + 1}{2x + 1}$.

Phân tích: $x^2 + x = x(x + 1)$ và $4x^2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)$. Nhân với phân thức nghịch đảo:

$$P = \dfrac{x(x + 1)}{(2x – 1)(2x + 1)} \cdot \dfrac{2x + 1}{x + 1} = \dfrac{x(x + 1)(2x + 1)}{(2x – 1)(2x + 1)(x + 1)} = \dfrac{x}{2x – 1}.$$

b) Từ $Q : \dfrac{x^2}{x^2 + 4x + 4} = \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 – 2x}$, suy ra $Q = \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x^2 – 2x} \cdot \dfrac{x^2}{x^2 + 4x + 4}$.

Phân tích: $x^2 – 2x = x(x – 2)$ và $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$:

$$Q = \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x(x – 2)} \cdot \dfrac{x^2}{(x + 2)^2} = \dfrac{x^2(x + 1)(x + 2)}{x(x – 2)(x + 2)^2} = \dfrac{x(x + 1)}{(x – 2)(x + 2)}.$$

Bài 6.29 (trang 22)

Đề bài: Cho hai phân thức $P = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x}$ và $Q = \dfrac{x^2 + 3x}{x^2 – 9}$.

a) Rút gọn $P$ và $Q$;

b) Sử dụng kết quả của câu a, tính $P \cdot Q$ và $P : Q$.

Lời giải:

a) Rút gọn.

$P$: phân tích tử $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ và mẫu $x^2 + 3x = x(x + 3)$:

$$P = \dfrac{(x + 3)^2}{x(x + 3)} = \dfrac{x + 3}{x}.$$

$Q$: phân tích tử $x^2 + 3x = x(x + 3)$ và mẫu $x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$:

$$Q = \dfrac{x(x + 3)}{(x – 3)(x + 3)} = \dfrac{x}{x – 3}.$$

b) Tính $P \cdot Q$ và $P : Q$.

$$P \cdot Q = \dfrac{x + 3}{x} \cdot \dfrac{x}{x – 3} = \dfrac{(x + 3) \cdot x}{x \cdot (x – 3)} = \dfrac{x + 3}{x – 3}.$$

$$P : Q = \dfrac{x + 3}{x} : \dfrac{x}{x – 3} = \dfrac{x + 3}{x} \cdot \dfrac{x – 3}{x} = \dfrac{(x + 3)(x – 3)}{x^2} = \dfrac{x^2 – 9}{x^2}.$$

Bài 6.30 (trang 22)

Đề bài: Trở lại tình huống trong Vận dụng.

a) Nếu mỗi tháng bác Châu trả $15$ triệu đồng trong $10$ năm thì lãi suất năm (tính theo $\%$) là bao nhiêu? Hãy cho biết tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch bao nhiêu so với khoản vay $1{,}2$ tỉ đồng;

b) Trong công thức tính lãi suất năm đã thiết lập ở phần Vận dụng, hai biến $x$, $y$ phải thoả mãn các điều kiện nào? Em hãy giải thích ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện đó.

Lời giải:

a) Tính lãi suất và chênh lệch.

$10$ năm $= 120$ tháng, nên $x = 15$ và $y = 120$. Áp dụng công thức $r = \dfrac{xy – 1200}{100y}$:

$$r = \dfrac{15 \cdot 120 – 1200}{100 \cdot 120} = \dfrac{1800 – 1200}{12000} = \dfrac{600}{12000} = 0{,}05.$$

Vậy lãi suất năm là $5\%$.

Tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả: $x \cdot y = 15 \cdot 120 = 1800$ (triệu đồng) $= 1{,}8$ tỉ đồng.

Chênh lệch so với khoản vay $1{,}2$ tỉ đồng:

$$1{,}8 – 1{,}2 = 0{,}6 \text{ (tỉ đồng)} = 600 \text{ (triệu đồng)}.$$

(Phần chênh lệch này chính là tổng tiền lãi bác Châu phải trả trong $10$ năm.)

b) Điều kiện của $x$ và $y$.

Từ công thức $r = \dfrac{xy – 1200}{100y}$, ta cần:

• $y > 0$ và $y$ là số nguyên dương (vì $y$ là số tháng vay, phải có ít nhất một tháng);
• $xy \geq 1200$ (để $r \geq 0$, tức lãi suất không âm).

Ý nghĩa thực tiễn:

• Điều kiện $y > 0$: phải có số tháng vay, không thể vay $0$ tháng.
• Điều kiện $xy \geq 1200$: tổng số tiền bác Châu thực tế trả phải lớn hơn (hoặc bằng) số tiền vay $1200$ triệu đồng — nếu không thì không đủ trả nợ gốc cho ngân hàng. Trong thực tế, $xy > 1200$ vì còn phải trả thêm tiền lãi (chênh lệch chính là tổng tiền lãi).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du