Bài tập (trang 56)

Bài 3.9 (trang 56)

Đề bài: Tứ giác $ABCD$ trong Hình 3.25 có phải là hình thang không? Vì sao?

Lời giải:

Xét tứ giác $ABCD$ với $\widehat{A} = 120^\circ$ và $\widehat{D} = 60^\circ$.

Hai góc $\widehat{A}$ (tức $\widehat{DAB}$) và $\widehat{D}$ (tức $\widehat{ADC}$) nằm tại hai đỉnh $A$, $D$ thuộc cùng một cạnh $AD$ của tứ giác. Coi $AD$ như cát tuyến cắt hai đường thẳng $AB$ và $CD$, hai góc $\widehat{DAB}$ và $\widehat{ADC}$ là hai góc trong cùng phía.

Ta có:

$$\widehat{A} + \widehat{D} = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ.$$

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (nếu hai đường thẳng bị một cát tuyến cắt tạo thành cặp góc trong cùng phía có tổng bằng $180^\circ$ thì hai đường thẳng đó song song), suy ra:

$$AB ;//; CD.$$

Vậy tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối song song, nên $ABCD$ là hình thang (với hai đáy là $AB$ và $CD$).

Bài 3.10 (trang 56)

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB // CD$) có $AB = AD$. Biết $\widehat{ABD} = 30^\circ$, tính số đo các góc của hình thang đó.

Lời giải:

Ta vẽ thêm đường chéo $BD$ để sử dụng tính chất tam giác cân và các góc so le trong.

Bước 1: Tính $\widehat{BAD}$ (góc $A$ của hình thang).

Xét tam giác $ABD$: vì $AB = AD$ (giả thiết) nên tam giác $ABD$ cân tại $A$. Suy ra hai góc ở đáy bằng nhau:

$$\widehat{ABD} = \widehat{ADB} = 30^\circ.$$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $ABD$:

$$\widehat{BAD} + \widehat{ABD} + \widehat{ADB} = 180^\circ.$$

$$\widehat{BAD} = 180^\circ – 30^\circ – 30^\circ = 120^\circ.$$

Vậy $\widehat{A} = \widehat{BAD} = 120^\circ$.

Bước 2: Tính $\widehat{ADC}$ (góc $D$ của hình thang).

Vì $AB // CD$ và $BD$ là cát tuyến nên:

$$\widehat{ABD} = \widehat{BDC} \quad \text{(hai góc so le trong)}.$$

Suy ra $\widehat{BDC} = 30^\circ$.

Ta có:

$$\widehat{ADC} = \widehat{ADB} + \widehat{BDC} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.$$

Vậy $\widehat{D} = 60^\circ$.

Bước 3: Tính $\widehat{C}$ và $\widehat{ABC}$ (góc $B$).

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên hai góc kề đáy lớn $CD$ bằng nhau:

$$\widehat{C} = \widehat{D} = 60^\circ.$$

Tương tự, hai góc kề đáy nhỏ $AB$ bằng nhau:

$$\widehat{ABC} = \widehat{A} = 120^\circ.$$

(Có thể kiểm tra lại bằng tổng góc tứ giác: $120^\circ + 120^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 360^\circ$ ✓.)

Kết luận: $\widehat{A} = 120^\circ$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$, $\widehat{C} = 60^\circ$, $\widehat{ADC} = 60^\circ$.

Bài 3.11 (trang 56)

Đề bài: Tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$ trong Hình 3.26.

Lời giải:

Tứ giác $ABCD$ có $AB = AD$ và $BC = CD$, cùng các dữ kiện về góc: $\widehat{ABD} = 40^\circ$ và $\widehat{ADC} = 120^\circ$.

Ta vẽ thêm đường chéo $BD$ để chia tứ giác thành hai tam giác cân $ABD$ và $BCD$.

Bước 1: Xét tam giác $ABD$ cân tại $A$ (vì $AB = AD$).

Hai góc ở đáy bằng nhau:

$$\widehat{ABD} = \widehat{ADB} = 40^\circ.$$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác:

$$\widehat{BAD} = 180^\circ – \widehat{ABD} – \widehat{ADB} = 180^\circ – 40^\circ – 40^\circ = 100^\circ.$$

Vậy $\widehat{A} = 100^\circ$.

Bước 2: Tính $\widehat{BDC}$.

Vì đường chéo $BD$ nằm trong góc $\widehat{ADC}$, ta có:

$$\widehat{ADC} = \widehat{ADB} + \widehat{BDC}.$$

Suy ra:

$$\widehat{BDC} = \widehat{ADC} – \widehat{ADB} = 120^\circ – 40^\circ = 80^\circ.$$

Bước 3: Xét tam giác $BCD$ cân tại $C$ (vì $BC = CD$).

Hai góc ở đáy bằng nhau:

$$\widehat{CBD} = \widehat{CDB} = 80^\circ.$$

(Lưu ý: $\widehat{CDB}$ chính là $\widehat{BDC}$ vừa tính ở Bước 2.)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác:

$$\widehat{BCD} = 180^\circ – \widehat{CBD} – \widehat{CDB} = 180^\circ – 80^\circ – 80^\circ = 20^\circ.$$

Vậy $\widehat{C} = 20^\circ$.

Bước 4: Tính $\widehat{ABC}$.

Đường chéo $BD$ nằm trong góc $\widehat{ABC}$, do đó:

$$\widehat{ABC} = \widehat{ABD} + \widehat{CBD} = 40^\circ + 80^\circ = 120^\circ.$$

Vậy $\widehat{B} = 120^\circ$.

(Có thể kiểm tra lại bằng tổng góc tứ giác: $100^\circ + 120^\circ + 20^\circ + 120^\circ = 360^\circ$ ✓.)

Kết luận: $\widehat{A} = 100^\circ$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$, $\widehat{C} = 20^\circ$, $\widehat{ADC} = 120^\circ$.

Bài 3.12 (trang 56)

Đề bài: Cho $M$ là một điểm nằm trong tam giác đều $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt cắt $AB$, $BC$, $CA$ tại các điểm $P$, $Q$, $R$.

a) Chứng minh tứ giác $APMR$ là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác $PQR$ bằng tổng độ dài $MA + MB + MC$.

c) Hỏi với vị trí nào của $M$ thì tam giác $PQR$ là tam giác đều?

Lời giải:

Vì tam giác $ABC$ đều nên:

$$\widehat{BAC} = \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 60^\circ.$$

Theo giả thiết:

• $PM // BC$ (vì $PM$ nằm trên đường thẳng qua $M$ song song với $BC$);
• $QM // CA$;
• $RM // AB$.

a) Chứng minh tứ giác $APMR$ là hình thang cân.

Xét tứ giác $APMR$ với các đỉnh: $A$ (đỉnh tam giác), $P$ (trên $AB$), $M$ (nằm trong), $R$ (trên $CA$).

Bước 1: $APMR$ là hình thang.

Vì $RM // AB$, mà $AP$ thuộc cạnh $AB$, nên $AP // RM$.

Tứ giác $APMR$ có hai cạnh đối $AP$ và $RM$ song song nên $APMR$ là hình thang (với hai đáy là $AP$ và $RM$).

Bước 2: $APMR$ là hình thang cân.

Ta sẽ chỉ ra hai góc kề đáy $AP$ bằng nhau, tức là $\widehat{PAR} = \widehat{APM}$.

• Góc $\widehat{PAR}$ tại đỉnh $A$ chính là góc $\widehat{BAC}$ của tam giác đều (vì tia $AP$ trùng tia $AB$, tia $AR$ trùng tia $AC$), nên $\widehat{PAR} = 60^\circ$.
• Góc $\widehat{APM}$ tại đỉnh $P$: vì $PM // BC$ và $AB$ là cát tuyến, nên $\widehat{APM} = \widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị). Mà $\widehat{ABC} = 60^\circ$, do đó $\widehat{APM} = 60^\circ$.

Vậy $\widehat{PAR} = \widehat{APM} = 60^\circ$ — hai góc kề đáy $AP$ bằng nhau. Theo dấu hiệu nhận biết, $APMR$ là hình thang cân (đpcm).

b) Chứng minh chu vi tam giác $PQR$ bằng $MA + MB + MC$.

Ý tưởng: Ta sẽ chỉ ra ba đẳng thức $PR = MA$, $PQ = MB$, $QR = MC$. Cộng lại sẽ được chu vi $\triangle PQR$ bằng $MA + MB + MC$.

(1) Chứng minh $PR = MA$.

Theo câu a), $APMR$ là hình thang cân. Hai đường chéo của hình thang $APMR$ là $AM$ và $PR$ (nối hai đỉnh đối nhau). Theo Định lí 2, trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, nên:

$$AM = PR.$$

(2) Chứng minh $PQ = MB$.

Xét tứ giác $BPMQ$ với các đỉnh: $B$ (đỉnh tam giác), $P$ (trên $AB$), $M$ (nằm trong), $Q$ (trên $BC$).

Vì $PM // BC$, mà $BQ$ thuộc cạnh $BC$, nên $PM // BQ$. Vậy $BPMQ$ là hình thang (hai đáy là $PM$ và $BQ$).

Hai góc kề đáy $BQ$:

• Tại $B$: $\widehat{PBQ}$ chính là $\widehat{ABC} = 60^\circ$ (vì tia $BP$ trùng tia $BA$, tia $BQ$ trùng tia $BC$).
• Tại $Q$: vì $QM // CA$ và $BC$ là cát tuyến, nên $\widehat{BQM} = \widehat{BCA}$ (hai góc đồng vị). Mà $\widehat{BCA} = 60^\circ$, do đó $\widehat{BQM} = 60^\circ$.

Vậy hai góc kề đáy $BQ$ bằng nhau, nên $BPMQ$ là hình thang cân. Hai đường chéo bằng nhau:

$$BM = PQ.$$

(3) Chứng minh $QR = MC$.

Xét tứ giác $QMRC$ với các đỉnh: $Q$ (trên $BC$), $M$ (nằm trong), $R$ (trên $CA$), $C$ (đỉnh tam giác).

Vì $QM // CA$, mà $RC$ thuộc cạnh $CA$, nên $QM // RC$. Vậy $QMRC$ là hình thang (hai đáy là $QM$ và $RC$).

Hai góc kề đáy $RC$:

• Tại $C$: $\widehat{RCQ}$ chính là $\widehat{ACB} = 60^\circ$.
• Tại $R$: vì $RM // AB$ và $CA$ là cát tuyến, nên $\widehat{MRC} = \widehat{BAC} = 60^\circ$ (hai góc đồng vị).

Vậy hai góc kề đáy $RC$ bằng nhau, nên $QMRC$ là hình thang cân. Hai đường chéo bằng nhau:

$$MC = QR.$$

Cộng lại:

Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$:

$$PR + PQ + QR = MA + MB + MC.$$

Vế trái là chu vi tam giác $PQR$, vậy:

$$\text{Chu vi } \triangle PQR = MA + MB + MC \quad (\text{đpcm}).$$

c) Vị trí của $M$ để tam giác $PQR$ là tam giác đều.

Tam giác $PQR$ là tam giác đều khi và chỉ khi ba cạnh của nó bằng nhau:

$$PR = PQ = QR.$$

Từ các đẳng thức $PR = MA$, $PQ = MB$, $QR = MC$ ở câu b), điều kiện trên tương đương với:

$$MA = MB = MC.$$

Tức là điểm $M$ cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$.

Theo tính chất đường trung trực, một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Vì $M$ cách đều cả ba cặp ${A, B}$, ${B, C}$, ${C, A}$, nên $M$ nằm trên ba đường trung trực của các cạnh tam giác $ABC$.

Vậy $M$ chính là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $ABC$ (cũng chính là tâm của tam giác đều $ABC$). Khi đó tam giác $PQR$ là tam giác đều.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du