1. Hình chữ nhật

Hoạt động 1 (trang 64)

Đề bài: Trong các hình dưới đây (Hình 3.41), hình nào là hình chữ nhật? Tại sao?

Lời giải:

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Quan sát từng hình:

• Hình 3.41a: tứ giác $ABCD$ không có góc vuông nào → không là hình chữ nhật.
• Hình 3.41b: tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$ → là hình chữ nhật.
• Hình 3.41c: tứ giác $ABCD$ không có góc vuông (các góc xiên) → không là hình chữ nhật.

Hoạt động 2 (trang 64)

Đề bài: Hình chữ nhật có là hình bình hành không, có là hình thang cân không? Tại sao?

Lời giải:

Xét hình chữ nhật $ABCD$ với bốn góc vuông.

Hình chữ nhật là hình bình hành. Vì $\widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ$ nên $AB \perp AD$ và $AB \perp BC$, suy ra $AD \parallel BC$ (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba). Tương tự, $AB \parallel CD$. Tứ giác $ABCD$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Hình chữ nhật là hình thang cân. Do $AB \parallel CD$, $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB$ và $CD$. Lại có $\widehat{D} = \widehat{C} = 90^\circ$ (hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau), nên $ABCD$ là hình thang cân.

Vì hình chữ nhật vừa là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) vừa là hình thang cân (hai đường chéo bằng nhau), nên hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Luyện tập 1 (trang 65)

Đề bài: Cho hình chữ nhật $ABCD$. Hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Kẻ $OH \perp DC$ ($H \in DC$) (Hình 3.44). Chứng minh rằng $H$ là trung điểm của $DC$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường. Do đó:

$$OC = OD = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD.$$

Xét tam giác $OCD$ có $OC = OD$ nên là tam giác cân tại $O$.

Trong tam giác $OCD$ cân tại $O$, $OH \perp DC$ nên $OH$ là đường cao xuất phát từ đỉnh cân. Mà trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh cân cũng đồng thời là đường trung tuyến, do đó $OH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $DC$.

Vậy $H$ là trung điểm của $DC$.

2. Dấu hiệu nhận biết

Hoạt động 3 (trang 65)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ vuông. Tính các góc $B$, $C$, $D$. Tứ giác $ABCD$ có là hình chữ nhật không? Vì sao?

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên các góc đối bằng nhau: $\widehat{A} = \widehat{C}$ và $\widehat{B} = \widehat{D}$.

Từ $\widehat{A} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{C} = 90^\circ$.

Lại có tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $360^\circ$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ ;\Rightarrow; 90^\circ + \widehat{B} + 90^\circ + \widehat{D} = 360^\circ ;\Rightarrow; \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ.$$

Kết hợp với $\widehat{B} = \widehat{D}$, ta có $\widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ$.

Vậy $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$ — tứ giác $ABCD$ có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

Luyện tập 2 (trang 66)

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 90^\circ$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường. Hỏi tứ giác $ABCD$ là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành đã học, $ABCD$ là hình bình hành.

Hình bình hành $ABCD$ lại có một góc vuông là $\widehat{A} = 90^\circ$, nên theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông), $ABCD$ là hình chữ nhật.

Vận dụng (trang 66)

Đề bài: Hãy trả lời các câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Nhắc lại: Hai thanh tre thẳng dài bằng nhau, được gắn với nhau tại trung điểm của mỗi thanh. Khi các đầu mút của hai thanh tre đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác (Hình 3.40) thì tứ giác đó là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

Bốn đầu mút của hai thanh tre tạo thành bốn đỉnh của tứ giác. Hai thanh tre chính là hai đường chéo của tứ giác đó, và chúng có hai tính chất:

• Bằng nhau (vì hai thanh tre dài bằng nhau).
• Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (vì hai thanh được gắn tại trung điểm của mỗi thanh).

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì là hình chữ nhật (xem Ví dụ 2 trong SGK).

Vậy tứ giác tạo bởi bốn đầu mút hai thanh tre là hình chữ nhật.

Bài tập (trang 66)

Bài 3.25 (trang 66)

Đề bài: Bằng ê ke, nêu cách kiểm tra một tứ giác có là hình chữ nhật hay không. Hãy giải thích kết quả.

Lời giải:

Vì hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông, ta dùng ê ke đo lần lượt cả bốn góc của tứ giác:

• Nếu cả bốn góc đều vuông → tứ giác là hình chữ nhật.
• Nếu có ít nhất một góc không vuông → tứ giác không là hình chữ nhật.

Lưu ý nhanh: theo Chú ý trong SGK, nếu đã kiểm tra được ba góc đều vuông thì góc thứ tư chắc chắn cũng vuông, nên chỉ cần ê ke đo ba góc là đủ.

Bài 3.26 (trang 66)

Đề bài: Bằng compa, nêu cách kiểm tra một tứ giác có là hình chữ nhật hay không. Giải thích kết quả.

Lời giải:

Compa chỉ dùng để so sánh độ dài, nên ta kiểm tra qua độ dài cạnh và độ dài đường chéo theo hai bước:

Bước 1: Dùng compa so sánh hai cặp cạnh đối của tứ giác.

• Nếu có một cặp cạnh đối không bằng nhau → tứ giác không là hình bình hành, do đó không là hình chữ nhật.
• Nếu cả hai cặp cạnh đối đều bằng nhau → tứ giác là hình bình hành. Chuyển sang Bước 2.

Bước 2: Dùng compa so sánh độ dài hai đường chéo của tứ giác.

• Nếu hai đường chéo bằng nhau → theo dấu hiệu nhận biết (hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau), tứ giác là hình chữ nhật.
• Nếu hai đường chéo không bằng nhau → tứ giác không là hình chữ nhật.

Bài 3.27 (trang 66)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, $N$ là điểm sao cho $M$ là trung điểm của $HN$. Chứng minh tứ giác $AHCN$ là hình chữ nhật.

Lời giải:

Xét tứ giác $AHCN$ có hai đường chéo là $AC$ và $HN$. Theo đề bài:

• $M$ là trung điểm của $AC$.
• $M$ là trung điểm của $HN$.

Do đó hai đường chéo $AC$ và $HN$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường, nên $AHCN$ là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Lại có $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $AH \perp BC$ tại $H$. Vì $H$ và $C$ cùng nằm trên đường thẳng $BC$, suy ra $AH \perp HC$, tức là $\widehat{AHC} = 90^\circ$.

Hình bình hành $AHCN$ có một góc vuông $\widehat{AHC} = 90^\circ$, nên theo dấu hiệu nhận biết (hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật), $AHCN$ là hình chữ nhật.

Bài 3.28 (trang 66)

Đề bài: Xét một điểm $M$ trên cạnh huyền của tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Gọi $N$ và $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên các cạnh $AB$ và $AC$.

a) Hỏi tứ giác $MPAN$ là hình gì?

b) Hỏi $M$ ở vị trí nào thì đoạn thẳng $NP$ có độ dài ngắn nhất? Vì sao?

Lời giải:

a) Tứ giác $MPAN$ là hình gì?

Xét tứ giác $MPAN$ (với các đỉnh theo thứ tự $M \to P \to A \to N$):

• $P$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AC$ → $MP \perp AC$, suy ra $\widehat{APM} = 90^\circ$.
• $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AB$ → $MN \perp AB$, suy ra $\widehat{ANM} = 90^\circ$.
• Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ → $\widehat{NAP} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.

Tứ giác $MPAN$ có ba góc vuông: $\widehat{APM} = \widehat{NAP} = \widehat{ANM} = 90^\circ$, nên theo Chú ý trong SGK (tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật), $MPAN$ là hình chữ nhật.

b) Vị trí của $M$ để $NP$ ngắn nhất.

Tứ giác $MPAN$ là hình chữ nhật có hai đường chéo là $AM$ và $NP$. Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau nên:

$$NP = AM.$$

Do đó $NP$ ngắn nhất khi và chỉ khi $AM$ ngắn nhất.

$M$ là điểm trên đoạn $BC$, nên $AM$ ngắn nhất khi $AM$ là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$, tức là khi $AM \perp BC$ — khi đó $AM$ là đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh cân cũng đồng thời là đường trung tuyến, nên $M$ là trung điểm của $BC$.

Vậy khi $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ thì đoạn thẳng $NP$ có độ dài ngắn nhất (và bằng đường cao từ $A$ đến $BC$).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du