Khi các kết quả có thể là đồng khả năng, ta có

$$P(E) = \dfrac{\text{Số kết quả thuận lợi cho } E}{\text{Tổng số kết quả có thể}}.$$

Câu hỏi mở đầu (trang 63)

Đề bài: Một túi đựng $20$ viên kẹo giống hệt nhau nhưng khác loại, trong đó có $7$ viên kẹo sữa, $4$ viên kẹo chanh, $6$ viên kẹo dừa và $3$ viên kẹo bạc hà. Bạn Lan lấy ngẫu nhiên một viên kẹo từ túi. Tính xác suất để Lan lấy được viên kẹo sữa.

Lời giải: Vì $20$ viên kẹo giống hệt nhau (chỉ khác loại) nên khi lấy ngẫu nhiên, mỗi viên kẹo có khả năng được lấy như nhau — tức $20$ kết quả có thể là đồng khả năng. Cách tính cụ thể được trình bày ở Luyện tập 1 bên dưới.

Cách tính xác suất bằng tỉ số

Luyện tập 1 (trang 64)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Tính xác suất để Lan lấy được:

a) Viên kẹo sữa;

b) Viên kẹo chanh.

Lời giải:

Bước 1: Đếm và chỉ ra các kết quả đồng khả năng. Theo gợi ý của SGK, kí hiệu các viên kẹo:

• Kẹo sữa: $S_1, S_2, \ldots, S_7$ ($7$ viên);
• Kẹo chanh: $C_1, C_2, C_3, C_4$ ($4$ viên);
• Kẹo dừa: $D_1, D_2, \ldots, D_6$ ($6$ viên);
• Kẹo bạc hà: $B_1, B_2, B_3$ ($3$ viên).

Tổng cộng có $20$ kết quả có thể. Vì các viên kẹo giống hệt nhau nên $20$ kết quả này là đồng khả năng.

Bước 2: Áp dụng công thức.

a) Có $7$ kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được viên kẹo sữa” (là $S_1, S_2, \ldots, S_7$). Vậy:

$$P(\text{kẹo sữa}) = \dfrac{7}{20}.$$

b) Có $4$ kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được viên kẹo chanh” (là $C_1, C_2, C_3, C_4$). Vậy:

$$P(\text{kẹo chanh}) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}.$$

Luyện tập 2 (trang 65)

Đề bài: Trên giá sách của thư viện có $15$ cuốn sách, trong đó có một số cuốn tiểu thuyết. Thủ thư đặt thêm $5$ cuốn tiểu thuyết vào giá. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên một cuốn sách trên giá. Biết rằng xác suất để chọn được cuốn tiểu thuyết là $\dfrac{3}{4}$. Hỏi lúc đầu trên giá có bao nhiêu cuốn tiểu thuyết?

Lời giải:

Bước 1: Lập biểu thức xác suất. Gọi số cuốn tiểu thuyết lúc đầu là $x$ ($x \in \mathbb{N}$, $x \leq 15$).

• Sau khi đặt thêm, số cuốn tiểu thuyết là $x + 5$;
• Tổng số sách trên giá là $15 + 5 = 20$ cuốn.

Vì các cuốn sách đều có khả năng được chọn như nhau (chọn ngẫu nhiên), $20$ kết quả có thể là đồng khả năng. Xác suất chọn được cuốn tiểu thuyết là:

$$P = \dfrac{x + 5}{20}.$$

Bước 2: Giải phương trình. Theo đề: $\dfrac{x + 5}{20} = \dfrac{3}{4}$.

Nhân chéo: $4(x + 5) = 3 \cdot 20 ;;\Leftrightarrow;; 4(x + 5) = 60 ;;\Leftrightarrow;; x + 5 = 15 ;;\Leftrightarrow;; x = 10$.

Kết luận: Lúc đầu trên giá có $10$ cuốn tiểu thuyết.

Tranh luận (trang 65)

Đề bài: Một túi đựng $17$ viên bi cùng khối lượng và kích thước, chỉ khác màu: $8$ viên bi đỏ, $5$ viên bi xanh và $4$ viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Xét biến cố $E$: “Lấy được viên bi màu đỏ”. Bạn Tròn nói $P(E) = \dfrac{8}{17}$; bạn Vuông nói $P(E) = \dfrac{1}{3}$. Vuông và Tròn ai nói đúng? Tại sao?

Lời giải:

Bạn Tròn nói đúng. $P(E) = \dfrac{8}{17}$.

Giải thích: $17$ viên bi cùng khối lượng và kích thước, nên khi lấy ngẫu nhiên, mỗi viên bi có khả năng được lấy như nhau — tức $17$ kết quả có thể là đồng khả năng. Trong đó có $8$ kết quả thuận lợi cho $E$ (ứng với $8$ viên bi đỏ). Áp dụng công thức:

$$P(E) = \dfrac{8}{17}.$$

Bạn Vuông sai vì khi chỉ xét $3$ kết quả “lấy được bi đỏ, bi xanh, bi vàng”, các kết quả này không đồng khả năng (số viên ở mỗi màu khác nhau: $8 \neq 5 \neq 4$). Khi các kết quả không đồng khả năng, ta không được áp dụng công thức xác suất bằng tỉ số.

Bài tập (trang 66)

Bài 8.4 (trang 66)

Đề bài: Một tấm bìa cứng hình tròn được chia thành $20$ hình quạt như nhau, đánh số $1; 2; \ldots; 20$, gắn vào trục quay có mũi tên cố định (Hình 8.2). Tính xác suất để mũi tên:

a) Chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho $4$;

b) Chỉ vào hình quạt ghi số không phải là số nguyên tố.

Lời giải:

Vì $20$ hình quạt như nhau nên $20$ kết quả có thể (mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số $1, 2, \ldots, 20$) là đồng khả năng.

a) Các số chia hết cho $4$ từ $1$ đến $20$ là: $4, 8, 12, 16, 20$ — có $5$ số. Vậy:

$$P(\text{chia hết cho 4}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}.$$

b) Tìm số “không phải số nguyên tố” trong ${1, 2, \ldots, 20}$.

Trước hết liệt kê các số nguyên tố từ $1$ đến $20$: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ — có $8$ số. Vậy số “không phải số nguyên tố” có $20 – 8 = 12$ số (gồm $1$, các hợp số và lưu ý $1$ không phải nguyên tố).

$$P(\text{không phải số nguyên tố}) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}.$$

Bài 8.5 (trang 66)

Đề bài: Một túi đựng các viên kẹo giống hệt nhau, chỉ khác màu: $5$ viên kẹo đen, $3$ viên kẹo đỏ, $7$ viên kẹo trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên kẹo trong túi. Tính xác suất của các biến cố:

a) $E$: “Lấy được viên kẹo màu đen”;

b) $F$: “Lấy được viên kẹo màu đen hoặc màu đỏ”;

c) $G$: “Lấy được viên kẹo màu trắng”;

d) $H$: “Không lấy được viên kẹo màu đỏ”.

Lời giải:

Tổng số viên kẹo: $5 + 3 + 7 = 15$. Vì các viên kẹo giống hệt nhau nên $15$ kết quả có thể là đồng khả năng.

a) Có $5$ viên kẹo đen, nên $5$ kết quả thuận lợi cho $E$:

$$P(E) = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}.$$

b) Số kẹo đen hoặc đỏ là $5 + 3 = 8$, nên có $8$ kết quả thuận lợi cho $F$:

$$P(F) = \dfrac{8}{15}.$$

c) Có $7$ viên kẹo trắng, nên $7$ kết quả thuận lợi cho $G$:

$$P(G) = \dfrac{7}{15}.$$

d) “Không lấy được kẹo đỏ” tức là lấy được kẹo đen hoặc kẹo trắng, có $5 + 7 = 12$ kết quả thuận lợi:

$$P(H) = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}.$$

Bài 8.6 (trang 66)

Đề bài: Trong một chiếc hộp có $15$ tấm thẻ giống nhau, đánh số $10; 11; \ldots; 24$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố:

a) $A$: “Rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;

b) $B$: “Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố”.

Lời giải:

Có $15$ tấm thẻ giống nhau (chỉ khác số ghi), nên $15$ kết quả có thể là đồng khả năng.

a) Các số lẻ từ $10$ đến $24$: $11, 13, 15, 17, 19, 21, 23$ — có $7$ số. Vậy:

$$P(A) = \dfrac{7}{15}.$$

b) Các số nguyên tố từ $10$ đến $24$: $11, 13, 17, 19, 23$ — có $5$ số. Vậy:

$$P(B) = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}.$$

Bài 8.7 (trang 66)

Đề bài: Trò chơi vòng quay may mắn. Một bánh xe hình tròn chia thành $12$ hình quạt như nhau, trong đó có $2$ hình quạt ghi $100$ điểm, $2$ hình quạt ghi $200$ điểm, $2$ hình quạt ghi $300$ điểm, $2$ hình quạt ghi $400$ điểm, $1$ hình quạt ghi $500$ điểm, $2$ hình quạt ghi $1\,000$ điểm và $1$ hình quạt ghi $2\,000$ điểm (Hình 8.3). Bạn Lan quay bánh xe. Tính xác suất của các biến cố:

a) $A$: “Trong một lượt quay, Lan được $400$ điểm”;

b) $B$: “Trong một lượt quay, Lan được ít nhất $500$ điểm”.

Lời giải:

Vì $12$ hình quạt như nhau nên $12$ kết quả có thể (mũi tên dừng ở mỗi hình quạt) là đồng khả năng.

a) Có $2$ hình quạt ghi $400$ điểm, nên $2$ kết quả thuận lợi cho $A$:

$$P(A) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}.$$

b) “Được ít nhất $500$ điểm” nghĩa là số điểm từ $500$ trở lên, tức rơi vào hình quạt ghi $500$, $1\,000$ hoặc $2\,000$ điểm. Số hình quạt thỏa mãn:

$$1 \text{ (ghi 500)} + 2 \text{ (ghi 1\,000)} + 1 \text{ (ghi 2\,000)} = 4 \text{ hình quạt}.$$

Vậy có $4$ kết quả thuận lợi cho $B$:

$$P(B) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du